山西省临汾市寨圪塔中学高三数学理测试题含解析

山西省临汾市寨圪塔中学高三数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若复数z满足，其中i为虚数单位，则共轭复数（   ） A．1+i B．1－i C．－1－i D．－1+i 参考答案： C 2. 一种零件加工由两道工序组成，第一道工序的废品率是p, 第二道工序的废品率是p,  则零件加工的成品率是                   （　　）       A．1－p－q       B． 1－pq        C．1－p－q+pq         D．1－p 参考答案： C 3. 已知一个平面α，l为空间中的任意一条直线，那么在平面α内一定存在直线b使得（    ） A. l //b      B. l与b相交       C. l与b是异面直线      D. l⊥b 参考答案： D 当或l∥α时，在平面α内，显然存在直线b使得⊥b;当与α斜交时，只需要b垂直于在平面内的射影即可得到 4. 点A是抛物线与双曲线的一条渐近线的交点（异于原点），若点A到抛物线的准线的距离为，则双曲线的离心率等于（   ） A．       B．2      C．      D．4 参考答案： 点A到抛物线C1的准线的距离为p，适合，，   故选C. 5. 在区间内随机取出两个数，则这两个数的平方和在区间内的概率为（    ）    A.      B.       C.        D. 参考答案： D 6. （5分）（2014?天津学业考试）已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m?β，给出下列四个命题： ①若α∥β，则l⊥m； ②若l⊥m，则α∥β； ③若α⊥β，则l∥m； ④若l∥m，则α⊥β 其中正确命题的个数是（　　） 　 A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 参考答案： C 【分析】： 利用直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系逐一判断，成立的证明，不成立的可举出反例． 解；①∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，又∵m?β，∴l⊥m，①正确． ②由l⊥m推不出l⊥β，②错误． ③当l⊥α，α⊥β时，l可能平行β，也可能在β内，∴l与m的位置关系不能判断，③错误． ④∵l⊥α，l∥m，∴m∥α，又∵m?β，∴α⊥β 故选C 【点评】： 本题主要考查显现，线面，面面位置关系的判断，属于概念题． 7. 如图，已知正方体ABCD﹣A'B'C'D'的外接球的体积为π，将正方体割去部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则剩余几何体的表面积为（　　） A． B．3+或 C．2+ D．或2+ 参考答案： A 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】设正方体的棱长为a，则=，解得a=1．该几何体为正方体截去一角，如图，即可得出． 【解答】解：设正方体的棱长为a，则=，解得a=1． 该几何体为正方体截去一角，如图 则剩余几何体的表面积为S=3×12++ =． 故选：A． 　 8. 已知数列，若点在经过点的定直线上，则数列的前15项和 A.12 B.32 C.60 D.120 参考答案： C 略 9. 复数等于（   ） A．                B．                 C．         D． 参考答案： 答案：A 解析：故选A 10. 已知复数是纯虚数，则实数a=（　　） A．﹣2 B．4 C．﹣6 D．6 参考答案： D 【考点】A7：复数代数形式的混合运算． 【分析】化简复数，由纯虚数的定义可得关于a的式子，解之可得． 【解答】解：化简可得复数==， 由纯虚数的定义可得a﹣6=0，2a+3≠0， 解得a=6 故选：D 【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，涉及纯虚数的定义，属基础题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 数列中，若，（），则       . 参考答案： 略 12. 已知的展开式中，二项式系数和为，各项系数和为，则       ．   参考答案： 答案：2 13. 甲、乙、丙、丁四个小朋友正在教室里玩耍，忽听“砰”的一声，讲台上的花盆被打破了，甲说：“是乙不小心闯的祸”乙说：“是丙闯的祸”，丙说：“乙说的不是实话．”丁说：“反正不是我闯的祸．”如果刚才四个小朋友中只有一个人说了实话，那么这个小朋友是　　． 参考答案： 丙 【考点】进行简单的合情推理． 【分析】运用反证法，假设结论成立，再经过推理与证明，即可得出正确的结论． 【解答】解：假设甲说的是实话，则“是乙不小心闯的祸”正确，丙、丁说的都是实话， 这与四个小朋友中只有一个人说了实话矛盾，假设错误； 假设乙说的是实话，则“是丙闯的祸”正确，丁说的也是实话， 这与四个小朋友中只有一个人说了实话矛盾，假设错误； 假设丙说的是实话，则“乙说的不是实话”正确，甲、乙、丁说的都是不实话， 得出丁闯的祸，符合题意； 假设丁说的是实话，则“反正不是我闯的祸”正确，甲、乙、丁中至少有一人说的是实话， 这与四个小朋友中只有一个人说了实话矛盾，假设错误． 故答案为：丙． 14. 关于x的方程2x2+3ax+a2﹣a=0至少有一个模为1的复数根，则实数a的所有可能值为　  　． 参考答案： 【考点】7H：一元二次方程的根的分布与系数的关系． 【分析】原方程的根是实根与虚根讨论：（1）对于方程 2x2+3ax+a2﹣a=0 若方程有实根，（2）若方程有共轭复数根，则可设两根为cosθ+isinθ、cosθ﹣isinθ，分别求出a的值，从而得到答案． 【解答】解：（1）对于方程 2x2+3ax+a2﹣a=0 若方程有实根，则实根中有一个根为1或﹣1， △=9a2﹣8（a2﹣a）=a（a+8）≥0，得a≤﹣8或a≥0， 将x=1代入方程，得2+3a+a2﹣a=0，即a2+2a+2=0，a无实根； 将x=﹣1代入方程，得2﹣3a+a2﹣a=0，即a2﹣4a+2=0，得a=2± （2）若方程有共轭复数根，则可设两根为cosθ+isinθ、cosθ﹣isinθ， △=9a2﹣8（a2﹣a）=a（a+8）＜0，得﹣8＜a＜0 由韦达定理， 有 cosθ+isinθ+cosθ﹣isinθ=2cosθ=﹣a， 得cosθ=﹣a， （cosθ+isinθ）（cosθ﹣isinθ）=cos2θ+sin2θ=1=（a2﹣a）， 即（a+1）（a﹣2）=0，?a=2或a=﹣1， a=﹣1时，cosθ=∈[﹣1，1]； a=2不在﹣8＜a＜0的范围内，舍去． ∴a=﹣1 故答案为：a=2±或﹣1 15. 已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是　   　． 参考答案： 2 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】可令x=c，代入双曲线的方程，求得y=±，再由题意设出A，B，C，D的坐标，由2|AB|=3|BC|，可得a，b，c的方程，运用离心率公式计算即可得到所求值． 【解答】解：令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b=±， 由题意可设A（﹣c，），B（﹣c，﹣），C（c，﹣），D（c，）， 由2|AB|=3|BC|，可得 2?=3?2c，即为2b2=3ac， 由b2=c2﹣a2，e=，可得2e2﹣3e﹣2=0， 解得e=2（负的舍去）． 故答案为：2． 【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用方程的思想，正确设出A，B，C，D的坐标是解题的关键，考查运算能力，属于中档题． 16. 若函数（）为偶函数，则的最小正值是        。 参考答案： 略 17. 若，则f(x)的定义域为____________ 参考答案： 【分析】 根据幂函数和对数函数的性质即可求得。 【详解】由题解得 【点睛】本题考查函数定义域，属于基础题。 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，三棱锥P-ABC中，G是的重心. （1）请在棱AC上确定一点D，使得直线DG//平面PAB，并说明理由； （2）若，平面PAB⊥平面ABC，，求直线PB与平面PCA所成角的正弦值. 参考答案： （1）见解析 （2）． 【分析】 (1)由题意利用重心的性质和线面平行的判定定理即可确定点D的位置； (2)由题意利用等体积法求得点B到平面PCA的距离，然后结合几何性质可得线面角的正弦值. 【详解】（1）连接延长交于，连接， 因为是△的重心，所以， 在上取一点使得，连接，则在平面三角形中， 因为平面，平面，所以平面． （2）取的中点，连接，， 因为，，所以，且 又因为平面平面，平面平面，所以平面， 所以，，由题知， 所以，且， 而，所以平面， 设到平面的距离为，与平面所成角为， 由得:， ， 解得:，所以到平面的距离为， ， 直线与平面所成角的正弦值为． 【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，直线与平面所成的角的度量等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 19. 已知函数，M为不等式的解集. （Ⅰ）求M； （Ⅱ）证明：当a，b时，. 参考答案： （Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析. 试题分析：（I）先去掉绝对值，再分，和三种情况解不等式，即可得；（II）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当，时，． 试题解析：（I） 当时，由得解得； 当时，； 当时，由得解得. 所以的解集. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，，从而 ， 因此 【考点】绝对值不等式，不等式证明. 【名师点睛】形如（或）型的不等式主要有两种解法： （1）分段讨论法：利用绝对值号内式子对应的方程的根，将数轴分为，，（此处设）三个部分，在每个部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式进行求解，然后取各个不等式解集的并集． （2）图象法：作出函数和的图象，结合图象求解． 20. 已知函数f（x）=lnx﹣ax2+x，a∈R． （1）当a=0时，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程； （2）令g（x）=f（x）﹣（ax﹣1），求函数g（x）的极值． 参考答案： 【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），求出切线方程即可； （2）求出函数g（x）的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可． 【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=lnx+x， 则f（1）=1，所以切点为（1，1）， 又f′（x）=+1，则切线斜率k=f′（1）=2， 故切线方程为：y﹣1=2（x﹣1），即2x﹣y﹣1=0； （2）g（x）=f（x）﹣（ax﹣1）=lnx﹣ax2+（1﹣a）x+1， 所以g′（x）=﹣ax+（1﹣a）=， 当a≤0时，因为x＞0，所以g′（x）＞0． 所以g（x）在（0，+∞）上是递增函数，无极值； 当a＞0时，g′（x）=， 令g′（x）=0，得x=， 所以当x∈（0，）时，g′（x）＞0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＜0， 因此函数g（x）在x∈（0，）是增函数，在（，+∞）是减函数， 当a＞0时，函数g（x）的递增区间是（0，），递减区间是（，+∞）， ∴x=时，g（x）有极大值g（）=﹣lna， 综上，当a≤0时，函数g（x）无极值； 当a＞0时，函数g（x）有极大值﹣lna，无极小值． 【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题． 21. （本小题满分12分） 已知函数，