山西省吕梁市第二中学高三数学理模拟试卷含解析

山西省吕梁市第二中学高三数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若将函数的图象向左平移个单位后所得图象关于y辅对   称，则m的最小值为 (A)       (B)           (C)        ( D) 参考答案： C 略 2. 若平面内共线的A、B、P三点满足条件，，其中{an}为等差数列，则a2008等于（　　） A．1 B．﹣1 C． D． 参考答案： C 【考点】数列与向量的综合． 【分析】利用A、B、P三点共线，可得，结合条件，利用等差数列的性质，即可求得结论． 【解答】解：∵A、B、P三点共线 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴a1+a4015=1 ∵{an}为等差数列 ∴2a2008=1 ∴a2008= 故选C． 3. 如图，设区域，向区域内随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落入到阴影区域的概率为 （A）               （B） （C）               （D） 参考答案： A 4. 的常数项与系数的差为                                     A．5                B．-5               C．2                D．0 参考答案： A 5. 已知命题p：?x∈R，sinx≤1，则￢p为（　　） A．?x∈R，sinx≤1 B．?x∈R，sinx＞1 C．?x∈R，sinx≥1 D．?x∈R，sinx＞1 参考答案： D 【考点】命题的否定． 【分析】命题p是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等号的变化． 【解答】解：命题p：?x∈R，sinx≤1”是全称命题， 否定时将量词对任意的x变为?x，再将不等号≤变为＞即可． 故￢p为：?x∈R，sinx＞1． 故选：D 【点评】本题考查命题的否定，全称命题和特称命题，属基本知识的考查．注意在写命题的否定时量词的变化．属基础题． 　 6. 已知定义在上的奇函数f(x)，满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程在区间[-8,8]上有四个不同的根,则=（   ） （A） 0    （B）8     （C） -8  （D）16 参考答案： C 7. 已知为抛物线上不同两点，且直线倾斜角为锐角，为抛物线焦点，若 则直线倾斜角为     A．         B.          C.          D.    参考答案： D 略 8. 关于函数和，下列说法中正确的是（   ） （A）都是奇函数  （B）都是偶函数  （C）函数的值域为 （D）函数的值域为 参考答案： C 试题分析：的定义域为，所以为非奇非偶函数，在定义域上为单调减函数，值域为；的定义域为，且，所以为非奇非偶函数，在定义域上为单调减函数，值域为；因此选C. 考点：函数性质 9. 如果执行右边框图，，则输出的数s与输入的N的关系是（     ） A.             B. C.             D. 参考答案： A 10. 若曲线y=a（x﹣1）﹣lnx在x=2处的切线垂直于直线y=﹣2x+2，则a=（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 参考答案： D 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】求出函数的导数，利用x=2处的切线垂直于直线y=﹣2x+2，列出方程求解即可． 【解答】解：由y=a（x﹣1）﹣lnx，求导得f′（x）=a﹣， 依题意曲线y=a（x﹣1）﹣lnx在x=2处的切线垂直于直线y=﹣2x+2， 得，a﹣，即a=1． 故选：D． 【点评】本题考查函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力． 　 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为              . 参考答案： 由，解得，即，所以所求面积为。 12. △ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为，重心为G，若，则∠A=      . 参考答案： 略 13. 已知实数x，y满足约束条件，则的最大值为_____ 参考答案： 【分析】 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求的最大值． 【详解】解：作出实数x，y满足约束条件，对应的平面区域如图：（阴影部分） 由的得，平移直线由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大．由解得．代入目标函数得．即的最大值为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键． 14. 设满足约束条件，若目标函数的最大值为，则的最大值为 __________.                          参考答案： 2 15. 设函数的定义域为R，且是以3为周期的奇函数， （）， 则实数的取值范围是     ▲      . 参考答案： 略 16. 已知共有项的数列，，定义向量、，若，则满足条件的数列的个数为     ． 参考答案： 17. 设不等式组表示的平面区域为M，若直线l：上存在区域M内的点，则k的取值范围是　       　． 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，，点为线段的中点，点在线段上． （1）若，求证：； （2）设平面与平面所成二面角的平面角为， 试确定点的位置，使得． 参考答案： （1）在中，， ∵为的中点，∴平分，， ∴在中，，                            …………2分 过作于，则，连结，∵，∴四边形是矩形，……4分 ∴，又，，∴平面， 又平面，∴．                                   …………5分   （2）∵，，∴，又，∴平面， 又平面，∴平面平面．                      …………6分 过作交于点，则由平面平面知，平面， 故两两垂直，以为原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，又知为的中点，，设，，则，，，．……7分 设平面的法向量为， 则∴ 取，可求得平面的一个法向量，          …………8分 设平面的法向量为，则 所以取．                              …………10分 ∴，解得 ∴当时满足．                              …………12分 19. 若函数y= f(x)在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点. 设函数，，. （1）若g(x)为f(x)在处的切线. ①当f(x)有两个极值点x1、x2，且满足时，求b的值及a的取值范围； ②当函数g(x)与f(x)的图象只有一个交点，求a的值； （2）若对满足“函数g(x)与f(x)的图象总有三个交点P，Q，R”的任意实数k，都有PQ=QR成立，求a，b，k满足的条件. 参考答案： （1）①由，因函数有两个极值点， 所以两个不等的实数根，                            ……………2分 所以，即，又，所以，或.     ……………4分 ②因为函数在处的切线， 所以，                                                     ……………5分 联立方程组，即， 所以，                             ……………7分 整理得，解得或， 因与只有一个交点，所以，解得.                        ……………9分 （2）联立方程组，由②得， 即，方程有一根 因与有三个交点， 所以有两个不等实根，                         ……………11分 因与有三个交点且满足， 所以实数根满足，或，或，              ……………12分 因为满足与有三个交点的任意实数， 令，则，解得，， 当时，得，， 此时，令，则， 解得，，不满足与，不符题意； 同理也不符题意；                                                   ……………14分 当时，由，得， 此时总满足， 为此只需有两个不等的实根即可， 所以，化简得， 综上所述，应满足条件与.                                  ……………16分 （另解，仿解法一给分） 法二：同法一得有两个不等实根，                    ……11分 所以， 由，解得，， 此时，所以为常数， 不满足“为满足与有三个交点的任意实数”，故不符题意； 类似的也不符题意；                                                ……………14分 余下同方法一. 20. 对于任意的实数()和,不等式恒成立,记实数的最大值是. (1)求的值;            (2)解不等式. 参考答案： 解: (1)不等式恒成立,即对于任意的实数 ()和恒成立,只要左边恒小于或等于右边的最小值. 因为,当且仅当时等号成立, 即时,成立,也就是的最小值是2. (2) . 解法1:利用绝对值的意义得: 解法2:当时,原不等式化为,解得,所以的取值范围是.当时,原不等式化为 ,得的取值范围是.当时,原不等式化为,解得, 所以的取值范围是.综上所述: 的取值范围是. 解法3:构造函数作 的图象,利用图象有得: .        略 21. 设数列{an}的前n项和为Sn，an是Sn和1的等差中项． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设数列bn=an?log2an+1，求{bn}的前n项和Tn． 参考答案： 【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（Ⅰ）通过等差中项的性质可知2an=Sn+1，并与2an﹣1=Sn﹣1+1（n≥2）作差，进而整理可知数列{an}是首项为1、公比为2的等比数列，计算即得结论； （Ⅱ）求解得出bn=an?log2an=n?2n﹣1，利用错位相减法求解数列的和． 【解答】解：（Ⅰ）∵an是Sn和1的等差中项， ∴2an=Sn+1，2an﹣1=Sn﹣1+1（n≥2）， 两式相减得：2an﹣2an﹣1=an，即an=2an﹣1， 又∵2a1=S1+1，即a1=1， ∴数列{an}是首项为1、公比为2的等比数列， ∴an=2n﹣1； （Ⅱ）∵由（Ⅰ）知，an=2n﹣1． ∴bn=an?log2an+1=n?2n﹣1． ∴Tn=1×20+2×21+3×22…+（n﹣1）?2n﹣2+n?2n﹣1，① 2Tn=1×21+2×22+3×23+…+（n﹣1）×2n﹣1+n?2n，② ①﹣②得出：﹣Tn=1+（21+22+23+…+2n﹣1）﹣n?2n=1+﹣n?2n=（﹣n）×2n， ∴Tn=（﹣n）×2n． 22. （本题满分14分） 已知抛物线C:与直线相切，且知点和直线，若动点在抛物线C上（除原点外），点处的切线记为，过点且与直线垂直的直线记为. (1)求抛物线C的方程；   （2）求证：直线相交于同一点. 参考答案： （1）解：联立消去得            因为抛物线C与直线相切，所以       ………3分      解得（舍）或