2022-2023学年湖南省衡阳市市第二中学高三数学理期末试题含解析

2022-2023学年湖南省衡阳市市第二中学高三数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知直线按向量平移后得到的直线与曲线相切，则为（   ） （A）（0，1）        （B）（1，0）      （C）（0，2）      （D）（2，0） 参考答案： A 2. 已知是函数的零点，，则 ①；②；③；④ 其中正确的命题是（   ） （A）①④      （B）②④      （C）①③   （D）②③ 参考答案： A 略 3. 若向量||=2sin15°与||=4sin75°，与的夹角为30°，则?等于（　　） A． B． C．2 D． 参考答案： A 考点：平面向量数量积的运算． 专题：平面向量及应用． 分析：直接由已知结合向量数量积的运算求得答案． 解：∵||=2sin15°，||=4sin75°，且与的夹角为30°， 则?==2sin15°×4sin75°×cos30° =4×sin30°×cos30°=2sin60°=2×=． 故选：A． 【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查二倍角公式的应用，是基础的计算题． 4. 函数f（x）=log2（x2+2x﹣3）的定义域是（　　） A．[﹣3，1] B．（﹣3，1） C．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞） 参考答案： D 【考点】74：一元二次不等式的解法；4K：对数函数的定义域． 【分析】利用对数函数的真数大于0求得函数定义域． 【解答】解：由题意得：x2+2x﹣3＞0，即（x﹣1）（x+3）＞0 解得x＞1或x＜﹣3 所以定义域为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞） 故选D． 5. 某校开设A类选修课3门,B类选修课4门,一位同学从中共选3门,若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有(    )种 A. 30              B. 60                C   48          D  52 参考答案： A 6.   一动圆过点A (0，)，圆心在抛物线y =x2上，且恒与定直线l相切，则直线l的方程为（  ） A．x =      B．x =          C．y =－           D．y =－ 参考答案： 答案：D  7. 把函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于 轴对称，则的最小值是（    ） A.             B.                C.           D. 参考答案： D 8. 已知函数f（x）=+a，若f（x）是奇函数，则a=（　　） A．0 B． C． D． 参考答案： B 考点： 函数奇偶性的性质． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 根据奇函数的定义f（x）+f（﹣x）=0，x=1，特殊值求解即可． 解答： 解：∵函数f（x）=+a，f（x）是奇函数， ∴f（1）+f（﹣1）=0， 即++a=0， 2a=1，a=， 故选：B 点评： 本题考查了奇函数的定义性质，难度很小，属于容易题． 9. 执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的（    ） A．         B．            C．         D． 参考答案： C 10. （5分）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，则（　　） 　 A． α∥β且l∥α B． α⊥β且l⊥β 　 C． α与β相交，且交线垂直于l D． α与β相交，且交线平行于l 参考答案： D 【考点】： 平面与平面之间的位置关系；平面的基本性质及推论． 【专题】： 空间位置关系与距离． 【分析】： 由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论． 解：由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l?α，所以l∥α， 又n⊥平面β，l⊥n，l?β，所以l∥β． 由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n， 与m，n异面矛盾． 故α与β相交，且交线平行于l． 故选D． 【点评】： 本题考查了平面与平面之间的位置关系，考查了平面的基本性质及推论，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，靠考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知变量x，y满足约束条件则z=4x·2y的最大值为            。 参考答案： 略 12. 设函数______.　 参考答案： 令得，即。令得。令得。 13. 已知关于的方程的两个实根分别为，且，则的取值范围是            参考答案：   14. 执行如下图所示的程序框图，则输出的结果n=          ． 参考答案： 9 模拟程序的运行，可得，，第一次执行循环，，，不满足，则返回继续循环；，，不满足，则返回继续循环；，，不满足，则返回继续循环； 当时，，则，，最小值为，此时. 故答案为.   15. 设是函数的两个极值点，若，则实数a的     取值范围是＿＿＿＿＿ 参考答案： 略 16. 已知若f(x)＝2，则x＝________. 参考答案： －1或 17. 若函数对于任意的、，当时，恒有成立，则的取值范围是： ； 参考答案： 因为当时，恒有成立，所以函数在内单调递减，令，易知函数在在内单调递减，，所以函数单调递增，所以……………………①，又由题意知函数的定义域为R，所以…………………………② 由①②知：的取值范围是。 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本题满分14分) 已知数列满足，且，为的前项和. （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）如果对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 参考答案： （Ⅰ）;（Ⅱ）. 试题分析：（Ⅰ）根据已知条件变形可得,根据等比数列的定义可知数列为等比数列.从而可得.（Ⅱ）根据等比数列的前项和先求.再将变形恒成立. 令,讨论的单调性求其最大值.只需即可. 试题解析：解：（I）由题意得 则成等比数列,首项为，公比为       ………………………4分 故                                 …………………………6分 考点：1构造法求数列的通项公式;2等比数列的前项和. 19. （本小题满分12分）已知、，圆：，一动圆在轴右侧与轴相切，同时与圆相外切，此动圆的圆心轨迹为曲线，曲线是以，为焦点的椭圆． （1）求曲线的方程； （2）设曲线与曲线相交于第一象限点，且，求曲线的标准方程； （3）在（1）、（2）的条件下，直线与椭圆相交于，两点，若的中点在曲线上，求直线的斜率的取值范围． 参考答案： 20. （12分）如图，直三棱柱A1B1C1—ABC中，C1C=CB=CA=2，AC⊥CB.  D、E分别为棱C1C、B1C1的中点. (１)求二面角B—A1D—A的平面角余弦值； (2)在线段AC上是否存在一点F，使得EF⊥平面A1BD？若存在，确定其位置并证明结论；若不存在，说明理由. 参考答案： 解析：解法一：（1）分别延长AC，A1D交于G. 过C作CM⊥A1G 于M，连结BM ∵BC⊥平面ACC-1A1   ∴CM为BM在平面A1C1CA的内射影 ∴BM⊥A1G    ∴∠CMB为二面角B—A1D—A的平面角   平面A1C1CA中，C1C=CA=2，D为C1C的中点 ∴CG=2，DC=1 在直角三角形CDG中，    ,  余弦值为   …………6分 （2）在线段AC上存在一点F，使得EF⊥平面A1BD其位置为AC中点，证明如下： ∵A1B1C1—ABC为直三棱柱 ， ∴B1C1//BC ∵由（1）BC⊥平面A1C1CA，∴B1C1⊥平面A1C1CA ∵EF在平面A1C1CA内的射影为C1F ，F为AC中点 ∴C1F⊥A1D   ∴EF⊥A1D同理可证EF⊥BD,         ∴EF⊥平面A1BD ∵E为定点，平面A1BD为定平面,点F唯一    …………12分 解法二：（1）∵A1B1C1—ABC为直三棱住   C1C=CB=CA=2 , AC⊥CB  D、E分别为C1C、B1C1的中点, 建立坐标系得 C（0，0，0） B（2，0，0）  A（0，2，0） C1（0，0，2）  B1（2，0，2）  A-1（0，2，2） D（0，0，1）  E（1，0，2）                设平面A1BD的法向量为n=(1,)   平面ACC1A1-的法向量为=（1，0，0）    （2）在线段AC上存在一点F，设F（0，y，0）使得EF⊥平面A1BD 欲使EF⊥平面A1BD    由（2）知，当且仅当//    ∴存在唯一一点F（0，1，0）满足条件. 即点F为AC中点 21. 设函数＝，∈R，为自然对数的底数， ，如果对任意的∈(0,3]，恒有≤4成立，求的取值范围. 参考答案： 解：(x)= ()(2ln x+1－). 当时，对于任意的实数a,恒有成立； 当，由题意，首先有， 解得， ，∵ ∴，， 且=。 又在（0，+∞）内单调递增，所以函数在（0，+∞）内有唯一零点，记此零点为，则，。从而，当时，；当时，；当时，，即在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增。所以要使对恒成立， 只要成立。，ks5u 知③，将③代入①得，又，注意到函数在[1,+∞)内单调递增，故。再由③以及函数2xlnx+x在（1，+∞)内单调递增，可得。由②解得，。所以 综上，a的取值范围为。   22. 如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A、B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC=EB，AB=4，tan∠EAB=． （1）证明：平面ADE⊥平面ACD； （2）当三棱锥C﹣ADE体积最大时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值． 参考答案： 【考点】MJ：与二面角有关的立体几何综合题；LY：平面与平面垂直的判定． 【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出BC⊥平面ACD，BC∥DE，由此证明DE⊥平面ACD，从而得到平面ADE⊥平面ACD． （Ⅱ）依题意推导出当且仅当时三棱锥C﹣ADE体积最大，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D﹣AE﹣B的余弦值． 【解答】（Ⅰ）证明：∵AB是直径，∴BC⊥AC…， ∵CD⊥平面ABC，∴CD⊥BC…， ∵CD∩AC=C，∴BC⊥平面ACD… ∵CD∥BE，CD=BE，∴BCDE是平行四边形，BC∥DE， ∴DE⊥平面ACD…， ∵DE?平面ADE，∴平面ADE⊥平面ACD… （Ⅱ）依题意，…， 由（Ⅰ）知 = = ， 当且仅当时等号成立                              … 如图所示，建立空间直角坐标系， 则D（0，0，1），， ， ∴，， ，… 设面DAE的法向量为， ，即，∴，… 设面ABE的法向量为， ，即，∴， ∴… ∵与二面角D﹣AE﹣B的平面角互补， ∴二面角D﹣AE﹣B的余弦值为．                                   …