河北省邯郸市狄邱中学高三数学理联考试题含解析

河北省邯郸市狄邱中学高三数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. =（　　） A． i B． C． D． i 参考答案： D 【考点】复数代数形式的混合运算． 【分析】由于i4=1，可得i2013=（i4）503?i=i，i2015=﹣i，再利用复数的运算法则即可得出． 【解答】解：∵i4=1，∴i2013=（i4）503?i=i，i2015=（i4）503?i3=﹣i， ∴原式===， 故选：D． 2. 实数x，y满足不等式组，若的最大值为5，则正数m的值为（    ） A．2 B． C．10 D． 参考答案： A 先由画可行域， 发现，所以可得到，且为正数． 画出可行域为（含边界）区域． ，转化为，是斜率为的一簇平行线，表示在轴的截距， 由图可知在点时截距最大， 解，得，即， 此时，解得，故选A项． 3. 下列命题：①若，为两个命题，则“且为真”是“或为真”的必要不充分条件； ②若为：，则为：；③命题为真命题，命题 为假命题。则命题，都是真命题；④命题“若，则”的逆否命题 是“若，则”.其中正确结论的个数是     A．1                 B. 2                 C.3                   D.4 参考答案： A 4. 已知函数 数列满足，且是单调递增数列，则实数的取值范围是（     ） A．       B．       C．       D． 参考答案： C 略 5. 一个几何体的三视图如右上图所示，则这个几何体的体积是   A．   B．    C．    D． 参考答案： C 6. 复数= A．-4+ 2i        B．4- 2i       C．2- 4i          D．2+4i 参考答案： A 7. 在各项均为正数的等比数列中， A．有最小值6 B．有最大值6 C．有最大值9 D．有最小值3 参考答案： A 8. 已知函数的部分图象如图所示，若，，则的值为（    ） A. B. C. D. 参考答案： A 由题设中提供的图像信息可知，则，所以，结合图像可知，则，所以。则由题意，即，又因为，所以，即，所以，故，应选答案A。 9. 平面向量，共线的充要条件是（    ） A. ，方向相同           B. ，两向量中至少有一个为零向量           C. ，        D. 存在不全为零的实数，， 参考答案： D 10. 下列说法正确的是(     ) A．命题“?x0∈R，x02+x0+2013＞0”的否定是“?x∈R，x2+x+2013＜0” B．命题p：函数f（x）=x2﹣2x仅有两个零点，则命题p是真命题 C．函数在其定义域上是减函数 D．给定命题p、q，若“p且q”是真命题，则?p是假命题 参考答案： D 【考点】命题的真假判断与应用． 【专题】转化思想；定义法；简易逻辑． 【分析】A．对存在命题的否定，应把存在一个改为对任意的，再把结论取反面； B．零点问题转换为函数的交点问题，通过图象可知，应有三个交点； C．中函数的减区间为（﹣∞，0）和（0，+∞），但整个区间不是递减； D．“p且q”是真命题，则p和q都是真命题； 【解答】解：A．对存在命题的否定，应把存在一个改为对任意的，再把结论取反面，应是“?x∈R，x2+x+2013≤0”，故错误； B．做出x2和2x的图象可知，应有三个交点，故错误； C．中函数的减区间为（﹣∞，0）和（0，+∞），但在其定义域上不是减函数，故错误； D．“p且q”是真命题，则p为真命题，得?p是假命题，故正确， 故选D． 【点评】考查了存在命题的否定，函数零点的概念，单调区间的理解和且命题的概念．属于基础题型，应牢记． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如图，点P在椭圆上，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过点P作椭圆右准线的垂线，垂足为M，若四边形为菱形，则椭圆的离心率是             参考答案： 略 12. 下列说法：     ①“”的否定是“”；     ②函数的最小正周期是     ③命题“函数处有极值，则”的否命题是真命题；     ④上的奇函数，时的解析式是，则时的解析式为 其中正确的说法是   　　　  （填正确答案的序号）。 参考答案： ①④ 13. 已知数列的前项和为，对一切正整数，点都在函数的图象上. （1）求，； （2）求数列的通项公式；ks5u （3）若，求证数列的前项和． 参考答案： 解：（1）∵点都在函数的图象上，ks5u ∴，                                       （1分） ∴，                                                （2分） 又，∴.                         （4分） （2）由（1）知，， 当时，                              （6分） 由（1）知，满足上式，                           （7分） 所以数列的通项公式为.                            （8分） （3）由（2）得                                                                （11分） （12分）                                 （13分） .                              （14分）   14. 如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8n mile．此船的航速是　     　n mile/h． 参考答案： 32 【考点】解三角形的实际应用． 【分析】由题意及图形在△ABS中，已知∠BAS=30°，∠ASB=45°，又已知三角形ABS中边BS=8，先求出边AB的长，再利用物理知识解出． 【解答】解：因为在△ABS中，已知∠BAS=30°，∠ASB=45°，且边BS=8，利用正弦定理可得： ??AB=16， 又因为从A到S匀速航行时间为半个小时，所以速度应为：（mile/h）． 故答案为：32． 15. 三棱锥中，两两垂直且相等，点，分别是和上的动点，且满足，，则和所成角余弦值的取值范围是        ． 参考答案： 考点：空间向量的数量积计算公式及运用． 【易错点晴】本题借助几何体的几何特征,将问题合理转化为:过点作的平行线,则的运动相当于点在图中的四边形内运动,显然最大;最小的问题.求解时巧妙地构建空间直角坐标系.得到,则,所以;由于,所以,最后求得和所成角余弦值的取值范围是,进而使得问题获解. 16. 函数的减区间是  ********       参考答案： （0, 1） 17. 某人在微信群中发了一个7元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领取的钱数不少于其他任何人的概率是___________． 参考答案：         由题意得共有 这15种， 其中甲领取的钱数不少于其他任何人的事件有 这6种，所以概率为 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法. (3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本小题满分12分) 在四边形ABCD中，，，， ，在方向上的投影为8； （1）求的正弦值；（2）求的面积. 参考答案： 解：（1），，         ————1分 在中，，，，，，——3分 在方向上的投影为8，，，—5分 ，    —7分 （2），———8分   ，————9分  ———10分 ———12分   略 19. 为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的身体素质，学校对他们的体重进行了测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3,其中第2小组的频数为12. （1）求该校报考飞行员的总人数； （2）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的学生中（人数很多）任选2人，设表示体重超过60公斤的学生人数，求的分布列和数学期望. 参考答案： （1)设报考飞行员的人数为，前3个小组的频率分别为，则由条件可得： 解得， 又因为，所以. (2)由（1)可得，一个报考学生体重超过60公斤的概率为， 由题意知服从二项分布， ， 所以随机变量的分布列为 . 20. （13分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=4，Sn=nan+2﹣（n≥2，n∈N*） （1）求数列{an}的通项公式； （2）设数列{bn}满足：b1=4且bn+1=bn2﹣（n﹣1）bn﹣2（n∈N*），求证：bn＞an（n≥2，n∈N*）； （3）求证：（1+）（1+）…（1+）＜． 参考答案： 【考点】： 不等式的证明． 【专题】： 点列、递归数列与数学归纳法；不等式的解法及应用． 【分析】： （1）运用下标变为n﹣1相减的方法，结合数列的通项和前n项和的关系，即可求得通项； （2）运用数学归纳法证明，注意两个解题步骤，特别是假设的运用； （3）设f（x）=ln（1+x）﹣x，通过导数判断单调性，可得ln（1+x）＜x，又n≥2时，＜=，结合裂项相消和累加法，及对数的运算性质即可得证． （1）解：Sn=nan+2﹣（n≥2，n∈N*）① Sn﹣1=（n﹣1）an﹣1+2﹣（n≥3，n∈N*）② ①﹣②得an=nan﹣（n﹣1）an﹣1﹣（n﹣1）， 即有an﹣an﹣1=1（n≥3，n∈N*） ①中令n=2，a1+a2=2a2+2﹣1，a2=3， 综上an=； （2）证明：①当n=2时，b2=b12﹣2=14＞3=a2，不等式成立； ②假设n=k（k≥2）时，不等式bk＞k+1（k≥2时ak=k+1）， 那么当n=k+1时， bk+1=bk2﹣（k﹣1）bk﹣2=bk（bk﹣k+1）﹣2 ＞bk（k+1﹣k+1）﹣2=2bk﹣2＞2（k+1）﹣2（由归设）=2k≥k+2 ∴n=k+1命题真； 综合①②知当n≥2时，bn＞an． （3）证明：设f（x）=ln（1+x）﹣x，f′（x）=﹣1=﹣＜0， f（x）在（0，+∞）递减，则f（x）＜f（0）=0， 即ln（1+x）＜x，又n≥2时，＜=， 则ln（1+）＜＜=﹣， 即有ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）＜（﹣）+（﹣）+…+（﹣） =﹣． 则有（1+）（1+）…（1+）＜． 【点评】： 本题考查数列的通项公式的求法，同时考查数学归纳法证明数列不等式的方法，以及构造函数由函数的单调性，结合裂项和累加法证明不等式的方法，属于中档题和易错题． 21. 已知数列满足，（且）． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）令，记数列的前项和为， 若恒为一个与无关的常数，试求常数和.