四川省南充市高坪区凤凰乡中学高三数学文下学期期末试题含解析

四川省南充市高坪区凤凰乡中学高三数学文下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….即，，此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列，又记数列满足，，，则的值为（    ） A. 4 B. -728 C. -729 D. 3 参考答案： D 【分析】 先列出数列、的前面的有限项，再观察数列的周期性，运算即可得解. 【详解】解：由题意有数列为1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0,1,1,…, 即数列为周期为6的数列， 则数列为1,1,1,1，-2，-1,1,0,1,1，-2，-1,1,0,1,1，-2，-1,…, 观察数列可知数列从第三项开始后面所有数列构成一周期为6的数列， 且每一个周期的和为0， 所以=， 故选D. 【点睛】本题考查了阅读能力及数列的周期性，属中档题. 2. 在中，是的  (    ) A．充要条件 B．必要不充分条件        C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： C 3. 已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M(x，y) 为D上的动点，点A的坐标为(，1)，则z＝·的最大值为 A．4     B．3      C．4       D．3 参考答案： C 4. 已知i是虚数单位，则（    ）． A. i B. －i C. 1－i D. 1+i 参考答案： C 【分析】 根据复数的除法运算法则，即可求解. 【详解】. 故选：C． 【点睛】本题考查复数的代数运算，属于基础题. 5. 一个袋子里装有红、黄、绿三种颜色的球各2个，这6个球除颜色外完全相同，从中摸出2个球，则这2个球中至少有1个是红球的概率是（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】古典概型及其概率计算公式． 【分析】先求出基本事件总数n=，这2个球中至少有1个是红球的对立事件是这2个球都不是红球，由此能求出这2个球中至少有1个是红球的概率． 【解答】解：一个袋子里装有红、黄、绿三种颜色的球各2个， 这6个球除颜色外完全相同，从中摸出2个球， 基本事件总数n=， 这2个球中至少有1个是红球的对立事件是这2个球都不是红球， 这2个球中至少有1个是红球的概率是p=1﹣=1﹣=． 故选：D． 【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用． 6. 在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域面积是（   ）． A．          B．          C．          D． 参考答案： 答案:D 7. 下列各小题中，是的充要条件的是                         (    ) （1）或；有两个不同的零点。 （2）     是偶函数. （3）  . （4）     . A.      B.      C.      D. 参考答案： D 8. 已知函数，且，则等于（    ） A.－2013B．－2014C．2013D．2014 参考答案： D 当为奇数时, 当为偶数时， 所以 9. 将函数的图象向左平移个单位，得到的图象，则等于（     ）      A．                B．            C．            D． 参考答案： Ｃ 10. 若复数是纯虚数，其中i是虚数单位，则实数a的值为    A.        B．       C．       D.2 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设向量，，则向量在向量方向上的投影为           ． 参考答案： 12. 设是函数的一个零点，则函数在区间内所有极值点之和为   ． 参考答案： 13. 求 的二项展开式中所有项的系数之和等于          ． 参考答案： 6561 14. 已知数列的通项公式为，其前  n项和为，则在数列中，有理数项的项数为________． 参考答案： 略 15. 若某多面体的三视图如图所示（单位：cm），则此多面体的体积是　     　cm3． 参考答案： 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】根据三视图得该几何体是由棱长为1cm的正方体、沿相邻三个侧面的对角线截去一个三棱锥得到一个多面体，画出图，由正方体的体积和椎体的体积公式求出此多面体的体积即可． 【解答】解：根据三视图得该几何体是由棱长为1cm的正方体ABCD﹣EFGH、 如图所示： ， 沿相邻三个侧面的对角线截去一个三棱锥E﹣AFH得到一个多面体， 此多面体的体积V=1﹣××1×1×1=（cm3）； 故答案为：． 【点评】本题考查三视图求几何体的体积、由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力． 16. 过点的直线与圆交于A、B两点，C为圆心，当最小时，直线的方程为___． 参考答案： 当∠ACB最小时，弦长AB最短，此时CP⊥AB. 由于C(1,0)，P(，1)，∴kCP＝－2，∴kAB＝，∴直线l方程为y－1＝ (x－)，即2x－4y＋3＝0. 17. 已知，则=__________ 参考答案： 0 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 参考答案： 19. (12分)     已知双曲线的左、右两个焦点为, ，动点P满足|P|+| P |=4.     (I)求动点P的轨迹E的方程；     (1I)设过且不垂直于坐标轴的动直线l交轨迹E于A、B两点，问：终段O 上是否存在一点D，使得以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形?作出判断并证明. 参考答案： 解析：（Ⅰ）双曲线的方程可化为          …………1分     ,     ∴P点的轨迹E是以为焦点，长轴为4的椭圆            …………2分 设E的方程为          …………4分 （Ⅱ）满足条件的D                                           …………5分     设满足条件的点D（m,0）,则     设l的方程为y=k(x-)(k≠0),     代人椭圆方程，得           …………6分 ∵以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形，                                              …………6分 ∴存在满足条件点D                                             …………12分 20. 已知函数 （Ⅰ）求的解析式及减区间； （Ⅱ）若的最小值. 参考答案： 解：（Ⅰ）令 得，  ——————————1 ，所以，————————————2 ，                       ，————————————5 由得， 的减区间为（）.——————————————7分 （Ⅱ）由题意  ，             ，————————————8                设， .      当时，恒成立，无最大值；——————10 当时，由得，得. 在上为增函数，在上为减函数. ，，——13 ，                        设，， 由得，得， ，所以的最小值为.   ———15 21. 几何证明选讲    如图6，AB是⊙O的弦，C、F是⊙O上的点，OC垂直于弦AB，过F点作⊙O的切线交AB的延长线于D，连结CF交AB于E点。    （I）求证：DE2=DB·DA.    （II）若BE=1，DE=2AE，求DF的长. 参考答案： 略 22. (本小题满分12分) 已知函数， (1) 若，求的取值范围； （2）证明：. 参考答案： （1）[﹣1，+∞）;（2）见解析   【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值B12 解析：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞） 求导函数，可得，…（2分） ∴xf′（x）=xlnx+1， 题设xf′（x）≤x2+ax+1等价于lnx﹣x≤a， 令g（x）=lnx﹣x，则g′（x）=．…（4分） 当0＜x＜1时，g′（x）＞0；当x≥1时，g′（x）≤0， ∴x=1是g（x）的最大值点， ∴g（x）≤g（1）=﹣1．…（6分） 综上，a的取值范围是[﹣1，+∞）．…（7分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）≤g（1）=﹣1，即lnx﹣x+1≤0； 当0＜x＜1时，f（x）=（x+1）lnx﹣x+1=xlnx+（lnx﹣x+1）≤0；…（10分） 当x≥1时，f（x）=lnx+（xlnx﹣x+1）=lnx+x（lnx+﹣1）≥0 所以（x﹣1）f（x）≥0…（12分） 【思路点拨】（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）求导函数，可得，从而xf′（x）≤x2+ax+1可转化为lnx﹣x≤a，令g（x）=lnx﹣x，求出函数的最值，即可求得a的取值范围；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）≤g（1）=﹣1，即lnx﹣x+1≤0，可证0＜x＜1时，f（x）≤0；x≥1时，f（x）≥0，从而可得结论．