2022-2023学年福建省宁德市福安第五中学高一数学理下学期期末试题含解析

2022-2023学年福建省宁德市福安第五中学高一数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知，，则的值是（    ） A .              B .            C.               D. 参考答案： A 由已知，，又，故，所以,选A 2. 已知定义在[0,+∞)上的函数满足，当时，．设在上的最大值为，且{an}的前n项和为Sn，则Sn的取值范围是（    ）． A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 由题得数列是首项为1、公比为的等比数列，再求的前项和为及其取值范围. 【详解】∵函数满足， ∴，即函数向右平移2个单位，最大值变为原来的， 又∵当时，， ∴， ∴数列是首项为1、公比为的等比数列， ∴． 故选：A 【点睛】本题主要考查函数的性质，考查等比数列的判定和求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 3. 下列给出函数f（x）与g（x）的各组中，是同一个关于x的函数的是（　　） A．f（x）=x﹣1，g（x）= B．f（x）=2x﹣1，g（x）=2x+1 C．f（x）=x2，g（x）= D．f（x）=1，g（x）=x0 参考答案： C 考点： 判断两个函数是否为同一函数． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 分别判断两个函数的定义域和对应法则是否完全相同即可． 解答： 解：A．函数g（x）的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不相同，不是同一函数． B．函数f（x）和g（x）的定义域为R，两个函数的定义域相同，但对应法则不相同，不是同一函数． C．函数g（x）=x2，两个函数的定义域相同，对应法则相同，是同一函数． D．函数g（x）的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不相同，不是同一函数． 故选C． 点评： 本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的依据是判断两个函数的定义域和对应法则是否完全相同． 4. 已知,,且,则等于---------(    ) A．1                B．－9             C．9              D．—1 参考答案： D 略 5. 函数f（x）=ax﹣b的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是(     ) A．a＞1，b＜0 B．a＞1，b＞0 C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0 参考答案： D 【考点】指数函数的图像变换． 【专题】计算题． 【分析】根据函数的图象，确定函数的单调性，求出a的范围，结合指数函数的图象，推出b的范围，确定选项． 【解答】解：由图象得函数是减函数， ∴0＜a＜1． 又分析得，图象是由y=ax的图象向左平移所得， ∴﹣b＞0，即b＜0．从而D正确． 故选D 【点评】本题是基础题，考查学生视图能力，指数函数的图象变换，掌握指数函数的性质，才能正确解题． 6. 函数的图像必经过点（   ） A. (0,1)    B. (2,1)     C. (3,1)        D.(3,2) 参考答案： D 略 7. 设集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2≤x}，则M∩N=（　　） A．{0} B．{0，1} C．{﹣1，1} D．{﹣1，0，1} 参考答案： B 【考点】交集及其运算． 【专题】计算题． 【分析】求出集合N，然后直接求解M∩N即可． 【解答】解：因为N={x|x2≤x}={x|0≤x≤1}，M={﹣1，0，1}， 所以M∩N={0，1}． 故选B． 【点评】本题考查集合的基本运算，考查计算能力，送分题． 8. 已知函数f（x）=2x2+（4﹣m）x+4﹣m，g（x）=mx，若对于任一实数x，f（x）与g（x）的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是（　　） A．[﹣4，4] B．（﹣4，4） C．（﹣∞，4） D．（﹣∞，﹣4） 参考答案： C 【考点】一元二次不等式的应用． 【分析】对函数f（x）判断△=m2﹣16＜0时一定成立，可排除D，再对特殊值m=4和﹣4进行讨论可得答案． 【解答】解：当△=m2﹣16＜0时，即﹣4＜m＜4，显然成立，排除D 当m=4，f（0）=g（0）=0时，显然不成立，排除A； 当m=﹣4，f（x）=2（x+2）2，g（x）=﹣4x显然成立，排除B； 故选C． 【点评】本题主要考查对一元二次函数图象的理解．对于一元二次不等式，一定要注意其开口方向、对称轴和判别式． 　 9. 对任意实数规定取三个值中的最小值，则函数(     )  A．有最大值2，最小值1              B.有最大值2，无最小值 C．有最大值1，无最小值              D.无最大值，无最小值 参考答案： B 略 10. 已知是R上的增函数，那么实数的取值范围是(   ) A． B．   C．（0，1） D． 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数的值域是_________________________. 参考答案： 12. 已知函数,则   ▲    . 参考答案： 13. 如果一个数列从第2项开始，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列。已知等和数列的第一项为2，公和为7，求这个数列的通项公式an。 参考答案： 略 14. 在平面直角坐标系中，已知，，点C在第一象限内，，且，     若，则的值是__________． 参考答案： 15. 如图，圆锥中，为底面圆的两条直径，交于，且，，为的中点，则异面直线与所成角的正切值为________ 参考答案： 16. 设是定义在上最小正周期为的函数，且在上_________. ，则的值为 参考答案： 略 17. 已知圆内有一点过点的直线交圆于 两点。若，则直线的方程为                     参考答案： 或 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 当时，解关于的不等式。 参考答案： 解：因为，不等式可化为，下面对和1的大小讨论： ①当，即时，不等式化为，解集为空集； ②当，即时，不等式解集为； ③当，即时，不等式解集为。   19. 2015年春，某地干旱少雨，农作物受灾严重，为了使今后保证农田灌溉，当地政府决定建一横断面为等腰梯形的水渠（水渠的横断面如图所示），为减少水的流失量，必须减少水与渠壁的接触面，若水渠横断面的面积设计为定值S，渠深为h，则水渠壁的倾斜角α（0＜α＜）为多大时，水渠中水的流失量最小？ 参考答案： 【考点】基本不等式在最值问题中的应用． 【分析】作BE⊥DC于E，令y=AD+DC+BC，由已知可得y=+（0＜α＜），令u=，求出u取最小值时α的大小，可得结论． 【解答】解：作BE⊥DC于E， 在Rt△BEC中，BC=，CE=hcotα， 又AB﹣CD=2CE=2hcotα，AB+CD=， 故CD=﹣hcotα． 设y=AD+DC+BC， 则y=﹣hcotα+=+（0＜α＜）， 由于S与h是常量，欲使y最小，只需u=取最小值， u可看作（0，2）与（﹣sinα，cosα）两点连线的斜率， 由于α∈（0，）， 点（﹣sinα，cosα）在曲线x2+y2=1 （﹣1＜x＜0，0＜y＜1）上运动， 当过（0，2）的直线与曲线相切时，直线斜率最小， 此时切点为（﹣，）， 则有sinα=，且cosα=， 那么α=， 故当α=时，水渠中水的流失量最小． 20. 设函数f（x）=x2﹣mlnx，h（x）=x2﹣x+a． （1）当a=0时，f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围； （2）当m=2时，若函数k（x）=f（x）﹣h（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围； （3）是否存在实数m，使函数f（x）和函数h（x）在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由． 参考答案： 【考点】3R：函数恒成立问题；3F：函数单调性的性质；53：函数的零点与方程根的关系． 【分析】（1）当a=0时，f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立，即：x2﹣mlnx≥x2﹣x，转化为即：m≤在（1，+∞）上恒成立，从而得出实数m的取值范围． （2）当m=2时，若函数k（x）=f（x）﹣h（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，即：k（x）=x﹣2lnx﹣a，设y1=x﹣2lnx，y2=a，分别画出它们的图象，由图得实数a的取值范围． （3）先假设存在实数m，使函数f（x）和函数h（x）在公共定义域上具有相同的单调性，由图可知，只须函数f（x）=x2﹣mlnx在x=处取得极小值即可． 【解答】解：（1）当a=0时，f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立， 即：x2﹣mlnx≥x2﹣x， mlnx≤x，即：m≤在（1，+∞）上恒成立， 因为在（1，+∞）上的最小值为：e， ∴m≤e． 实数m的取值范围：m≤e （2）当m=2时，若函数k（x）=f（x）﹣h（x）在[1，3]上恰有两个不同零点， 即：k（x）=x﹣2lnx﹣a， 设y1=x﹣2lnx，y2=a，分别画出它们的图象， 由图得： 实数a的取值范围（2﹣2ln2，3﹣2ln3]； （3）假设存在实数m，使函数f（x）和函数h（x）在公共定义域上具有相同的单调性， 由图可知，只须函数f（x）=x2﹣mlnx在x=处取得极小值即可． ∵f（x）=x2﹣mlnx ∴f′（x）=2x﹣m×，将x=代入得： 1﹣2m=0， ∴m= 故存在实数m=，使函数f（x）和函数h（x）在公共定义域上具有相同的单调性． 　 21. 已知函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f()＝，求函数f(x)的解析式． 参考答案： 解：∵f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数． ∴f(0)＝0，即＝0，∴b＝0， 又f ()＝＝，∴a＝1， ∴f(x)＝. 22. 设函数． （1）求； （2）求函数在区间上的值域． 参考答案： （1）；（2）. 【分析】 （1）把直接带入，或者先化简 （2）化简得，，根据求出的范围即可解决。 【详解】（1）因为， ， 所以； （2）当时，， 所以， 所以.