2021-2022学年湖南省永州市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案及部分解析)

2021-2022学年湖南省永州市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案及部分解析) 学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________ 一、单选题(20题) 1.  2. 3. 4.  5. 6.设f(0)=0，且存在，则等于( )． A.A.f'(x) B.f'(0) C.f(0) D.f(x) 7.=（）。 A. B. C. D. 8.设函数为( )． A.A.0 B.1 C.2 D.不存在 9.  10.二次积分等于( ) A.A. B. C. D. 11. 12.下列反常积分收敛的是（）。 A. B. C. D. 13.若∫f(x)dx=F(x)+C，则∫f(2x)dx等于( )． A.A.2F(2x)+C B.F(2x)+C C.F(x)+C D.F(2x)/2+C 14.  15. A.1/2f(2x)+C B.f(2x)+C C.2f(2x)+C D.1/2f(x)+C 16.（　　） A.A. B. C. D. 17.设x2是f(x)的一个原函数，则f(x)= A.A.2x B.x3 C.(1/3)x3+C D.3x3+C 18.  19.  A.1 B.2 C.x2+y2 D.TL 20. A. B. C. D. 二、填空题(20题) 21. 22. 23.  24.微分方程y"+y=0的通解为______． 25. 26. 27.  28.  29. 30.  31.空间直角坐标系中方程x2+y2=9表示的曲线是________。 32. 33. 34. 35. 36.设y=xe，则y'=_________. 37.设，则y'=________。 38.  39.y=ln(1+x2)的单调增加区间为______． 40.  三、计算题(20题) 41. 42. 43. 将f(x)=e-2X展开为x的幂级数． 44.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0． 45.  46.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点． 47.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解． 48.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为 S(x)． (1)写出S(x)的表达式； (2)求S(x)的最大值． 49.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度 u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m． 50. 51.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几? 52. 求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值． 53. 求微分方程的通解． 54.当x一0时f(x)与sin 2x是等价无穷小量，则 55. 求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程． 56. 求曲线在点(1，3)处的切线方程． 57.  58.证明： 59. 60.  四、解答题(10题) 61. 62. 63. 64. 求微分方程y＋y-2y=0的通解． 65.  66. 67. 68. 69.设函数f(x)=x3-3x2-9x，求f(x)的极大值。 70.  五、高等数学(0题) 71. 六、解答题(0题) 72.  参考答案 1.A 2.D 3.A 4.C解析： 5.D 6.B 本题考查的知识点为导数的定义． 由于存在，因此 可知应选B． 7.D 8.D 本题考查的知识点为极限与左极限、右极限的关系． 由于f(x)为分段函数，点x=1为f(x)的分段点，且在x=1的两侧，f(x)的表达式不相同，因此应考虑左极限与右极限． 9.B解析： 10.A 本题考查的知识点为交换二次积分的积分次序． 由所给二次积分限可知积分区域D的不等式表达式为： 0≤x≤1， 0≤y≤1-x， 其图形如图1-1所示． 交换积分次序，D可以表示为 0≤y≤1， 0≤x≤1-y， 因此 可知应选A． 11.D 12.D 13.D 本题考查的知识点为不定积分的第一换元积分法(凑微分法)． 由题设知∫f(x)dx=F(x)+C，因此 可知应选D． 14.C解析： 15.A 本题考查了导数的原函数的知识点。 16.C 17.A 由于x2为f(x)的一个原函数，由原函数的定义可知f(x)=(x2)'=2x，故选A。 18.D解析： 19.A  20.D 本题考查的知识点为牛顿一莱布尼茨公式和定积分的换元法。 因此选D。 21. 22. 23. 24.y=C1cosx+C2sinx 本题考查的知识点为二阶线性常系数齐次微分方程的求解． 特征方程为r2+1=0，特征根为r=±i，因此所给微分方程的通解为y=C1cosx+C2sinx． 25. 26. 27.2x-4y+8z-7=0 28. 解析： 29. 30.(-33)(-3,3) 解析： 31.以Oz为轴的圆柱面方程。 F(x，y)=0表示母线平行于Oz轴的柱面，称之为柱面方程，方程x2+y2=32=0表示母线平行Oz轴的圆柱面方程。 32.1． 本题考查的知识点为反常积分，应依反常积分定义求解． 33. 34.本题考查的知识点为无穷小的性质。 35.0 本题考查的知识点为无穷小量的性质． 36.(x+1)ex 本题考查了函数导数的知识点。 37. 38. 解析： 39.(0，+∞) 本题考查的知识点为利用导数符号判定函数的单调性． 由于y=ln(1+x2)，其定义域为(-∞，+∞)． 又由于，令y'=0得唯一驻点x=0． 当x＞0时，总有y'＞0，从而y单调增加． 可知y=ln(1+x2)的单调增加区间为(0，+∞)． 40.2 41. 42. 43. 44. 45. 则 46. 列表： 说明 47.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0， 48. 49.由二重积分物理意义知 50. 51.需求规律为Q=100ep-2.25p ∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p, ∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％ 52. 函数的定义域为 注意 53. 54.由等价无穷小量的定义可知 55. 56.曲线方程为，点(1，3)在曲线上． 因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0． 如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点 (x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为 57. 58. 59. 60. 由一阶线性微分方程通解公式有 61.由题意知，使f(x)不成立的x值，均为f(x)的间断点.故sin(x-3)=0或x-3=0时f(x)无意义，则间断点为 x-3=kπ(k=0，±1，±2…) 即x=3+kπ(k=0，±1，±2…) 62. 63.解 64. 解方程的特征方程为 65. 66. 67. 68. 69. 70. 71.   72.