2022-2023学年山西省阳泉市矿务局二矿中学高一数学理下学期期末试题含解析

2022-2023学年山西省阳泉市矿务局二矿中学高一数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是（　　） A．（﹣，+∞） B．（﹣，1） C．（﹣，） D．（﹣∞，﹣） 参考答案： B 【考点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．[来源:学科网] 【专题】计算题． 【分析】依题意可知要使函数有意义需要1﹣x＞0且3x+1＞0，进而可求得x的范围． 【解答】解：要使函数有意义需， 解得﹣＜x＜1． 故选B． 【点评】本题主要考查了对数函数的定义域．属基础题． 2. 如果，，，那么（  ）   A、     B、       C、       D、 参考答案： A 3. 已知，则的表达式是（    ） A、f(x)=   B、f(x)=  C、f(x)=  D、f(x)= 参考答案： A 4. 函数y=lncosx（）的图象是（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】35：函数的图象与图象变化． 【分析】利用函数的奇偶性可排除一些选项，利用函数的有界性可排除一些个选项．从而得以解决． 【解答】解：∵cos（﹣x）=cosx， ∴是偶函数， 可排除B、D， 由cosx≤1?lncosx≤0排除C， 故选A． 5. 已知为等差数列，若，则（    ） A.                                    B.             C.                                 D. 参考答案： B 6. 已知集合，，，则P的子集共有（    ）   A. 2个                               B.4个           C. 6个                               D.8个 参考答案： B 略 7. （4分）若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的体积为（） A． 8 B． C． 8 D． 4 参考答案： C 考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积． 专题： 空间位置关系与距离． 分析： 由三视图可知：该正三棱柱的高为2，底面正三角形的一边上的高为2，可得边长为4．即可得出底面正三角形的面积与这个正三棱柱的体积． 解答： 由三视图可知：该正三棱柱的高为2，底面正三角形的一边上的高为2，可得边长为4． ∴底面正三角形的面积==4． ∴这个正三棱柱的体积V==8． 故选：C． 点评： 本题考查了正三棱柱的三视图及其体积计算公式、正三角形的边角关系及其面积，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 8. 若关于x的方程ax﹣x﹣a=0有两个不同的实数根，则实数a的取值范围为（　　） A．（0，+∞） B．（0，1） C．（0，2） D．（1，+∞） 参考答案： D 【考点】函数的零点与方程根的关系． 【分析】由ax﹣x﹣a=0得ax=x+a，再画出a＞1和0＜a＜1时的两种函数y=ax，y=x+a的图象，根据图象可直接得出答案． 【解答】解：由ax﹣x﹣a=0得ax=x+a， 则等价为函数y=ax，的图象与直线y=x+a有两个不同的交点． ①a＞1时，此时满足两个函数的图象有两个交点， ②0＜a＜1时，此时两个函数只有一个交点，不满足两个函数的图象有两个交点， 综上，若关于x的方程ax﹣x﹣a=0（a＞0）有两个解，则实数a的取值范围为 （1，+∞） 故选：D 9. （5分）下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（） A． y=x2 B． y=x﹣1 C． y=x D． y=x3 参考答案： D 考点： 函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 根据奇函数、偶函数的定义，奇偶函数定义域的特点，反比例函数在其定义域上的单调性，以及单调性的定义即可找出正确选项． 解答： 解：y=x2是偶函数； 反比例函数y=x﹣1在其定义域上没有单调性； 的定义域为[0，+∞），不关于原点对称，所以是非奇非偶函数； y=x3是奇函数，根据单调性的定义知该函数在其定义域上是增函数； ∴D正确． 故选D． 点评： 考查奇函数、偶函数的定义，奇偶函数定义域的特点，函数单调性的定义，以及反比例函数在其定义域上的单调性． 10. 函数的定义域为(     ) A．{x|x≤1}       B．{x|x≥0}    C．{x|x≥1或x≤0}       D．{x|0≤x≤1} 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数y=loga（x﹣1）（a＞0，a≠1）的图象过定点A，若点A也在函数f（x）=2x+b的图象上，则f（log23）=　　． 参考答案： ﹣1 【考点】对数函数的单调性与特殊点；指数函数的单调性与特殊点． 【专题】计算题；函数思想；方程思想；函数的性质及应用． 【分析】先利用函数y=loga（x+3）﹣1的解析式得出其图象必过哪一个定点，再将该定点的坐标代入函数函数f（x）=2x+b式中求出b，最后即可求出相应的函数值f（log23）． 【解答】解：∵函数y=loga（x﹣1）（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（2，0）， 将x=2，y=0代入y=2x+b得： 22+b=0，∴b=﹣4， ∴f（x）=2x﹣4， 则f（log23）=﹣4=﹣1， 故答案为：﹣1 【点评】本题考查对数函数、指数函数的图象的图象与性质，考查数形结合的数学思想，属于基础题． 12. 若不等式的解集是，则     ； 参考答案： ； 13. 已知等差数列则n=        ． 参考答案： 10 试题分析：根据公式，，将代入，计算得n=10． 考点：等差数列的通项公式． 14. 若函数在区间有最大值，最小值，则的取值范围是__________． 参考答案： 由题意可知抛物线的对称轴为，开口向上，由于，则函数在上单调递减或者先减后增，∵函数在上有最大值，最小值，且， ，∴，∵抛物线的图象关于对称即， ∴，故答案为． 点睛：本题考查了抛物线的图象和性质，做题时一定要记清抛物线的性质和图象，根据抛物线的图象及性质我们可知函数最小值为，然后利用抛物线图象关于对称轴对称的性质判定即可． 15. 设, ,且，则        ；        。 参考答案：    解析：∵∴            又∵∴，∴ 16. 如图，已知，，任意点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则向量_______（用，表示向量） 参考答案： 【分析】 先求得，然后根据中位线的性质，求得. 【详解】依题意，由于分别是线段中点，故. 【点睛】本小题主要考查平面向量减法运算，考查三角形中位线，属于基础题. 17. 在中，若，则的形形状是   ▲   . 参考答案： 钝角三角形 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数，其中、分别为正、反比例函数，且 。 (I)求函数的解析式；　　(II)判断函数在[, +∞上的单调性，并用定义证明。 参考答案： 解：（1）设       ∴   （2）设，则 ∵    ∴ ∴ 故函数在[, +∞上为增函数 略 19. （12分）已知函数    （1）若的定义域为,求实数的取值范围.    （2）若的值域为，则实数的取值范围. 参考答案： （1）若的定义域为,则的解集为    （2）若的值域为,则能取到一切正数 或 20. 已知二次函数f（x）满足f（0）=1，且f（x+1）﹣f（x）=2x． （1）求f（x）的解析式； （2）若g（x）=f（logax）（a＞0且a≠1），，试求g（x）的最值． 参考答案： 【考点】二次函数的性质． 【专题】函数思想；换元法；函数的性质及应用． 【分析】（1）使用待定系数法求出解析式； （2）利用换元法转化成二次函数求出． 【解答】解：（1）设f（x）=ax2+bx+c， ∵f（0）=1，∴c=1， ∴f（x+1）﹣f（x）=2ax+a+b， ∵f（x+1）﹣f（x）=2x， ∴， ∴f（x）=x2﹣x+1． （2）∵f（x）=x2﹣x+1 ∴，． 令t=logax， 则g（x）=h（t）=t2﹣t+1， ∵∴， ∴t=logax在上单减， ∴﹣1≤t≤1， 又g（t）的对称轴为， ∴t=时，hmin（t）=， ∴t=﹣1时，hmax（t）=3， ∴g（x）的最大值是3，g（x）的最小值是． 【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，换元法解决复合函数问题，属于中档题． 21. 直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）． （1）若l在两坐标轴上的截距相等，求a的值； （2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】直线的一般式方程． 【分析】（1）通过讨论2﹣a是否为0，求出a的值即可； （2）根据一次函数的性质判断a的范围即可． 【解答】解：（1）当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，当然相等， ∴a=2，方程即3x+y=0；（2分） 若a≠2，则=a﹣2，即a+1=1， ∴a=0　即方程为x+y+2=0， ∴a的值为0或2．（6分） （2）∵过原点时，y=﹣3x经过第二象限不合题意， ∴直线不过原点（10分） ∴a≤﹣1．（12分） 【点评】本题考查了直线方程问题，考查分类讨论，是一道基础题． 22. 已知函数f（x）=x2﹣2ax+1． （1）若对任意的实数x都有f（1+x）=f（1﹣x）成立，求实数 a的值； （2）若f（x）在区间[1，+∞）上为单调递增函数，求实数a的取值范围； （3）当x∈[﹣1，1]时，求函数f（x）的最大值． 参考答案： 【考点】函数的最值及其几何意义；二次函数的性质． 【分析】（1）由题意可得x=1为对称轴，求得f（x）的对称轴方程，即可得到a； （2）求得f（x）的递增区间，[1，+∞）为它的子区间，可得a的范围； （3）由函数图象开口向上，对称轴x=a，可得最大值只能在端点处取得，讨论a=0，a＞0，a＜0，即可得到所求最大值． 【解答】解：（1）由对任意的实数x都有f（1+x）=f（1﹣x）成立， 知函数f（x）=x2﹣2ax+1的对称轴为x=a，即a=1； （2）函数f（x）=x2﹣2ax+1的图象的对称轴为直线x=a， 由f（x）在[a，+∞）上为单调递增函数， y=f（x）在区间[1，+∞）上为单调递增函数，得，a≤1；                                              （3）函数图象开口向上，对称轴x=a，可得最大值只能在端点处取得． 当a＜0时，x=1时，函数取得最大值为：2﹣2a； 当a＞0时，x=﹣1时，函数取得最大值为：2+2a； 当a=0时，x=1或﹣1时，函数取得最大值为：2．