2022年福建省莆田市城南中学高三数学理期末试题含解析

2022年福建省莆田市城南中学高三数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知向量a=（2,1），b=（-1，k），a·（2a-b）=0，则k=（  ） A.  -12            B.  -6         C.  6          D.  12 参考答案： D 略 2. 已知椭圆的中点在原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为，则椭圆的方程为（    ）． A. B. C. D. 参考答案： D 【分析】 根据长轴长以及离心率，可求出，，再由，进而可求出结果. 【详解】解：由题意知， ，， 所以，， ∴， 又因为焦点在轴上， ∴椭圆方程：． 故选． 【点睛】本题主要考查根据求椭圆方程，熟记椭圆的标准方程即可，属于基础题型. 3. 阅读如图所示的程序框图，若输入变量n为100，则输出变量S为 （A）2500      （B）2550      （C）2600      （D）2650 参考答案： 4. 设是虚数单位，则复数=（      ） A．             B． C．             D． 参考答案： A 命题意图：本题考查复数的基本运算，简单题． 5. 已知，，则满足的集合的个数是（     ） A．1          B．2          C．3          D．4 参考答案： D 略 6. 函数的图象按向量平移后恰在此时好经过原点，则a等于（  ） A．          B．2             C．             D． 参考答案： 答案：D 7. 已知定义在R上的函数是奇函数且满足，数列满足（其中为的前项和），则 A.3 B.2 C. D. 参考答案： 【知识点】函数奇偶性的性质；函数的周期性．B4 A  解析：由函数为奇函数得，又所以，所以，， 即函数是以3为周期的周期函数. 由两式相减并整理得，，即，所以数列是以2为公比的等比数列，首项为，故，所以， 所以故选A. 【思路点拨】先由函数f（x）是奇函数和，推知f（3+x）=f（x），得到f（x）是以3为周期的周期函数．再由a1=﹣1，且Sn=2an+n，推知a5=﹣31，a6=﹣63计算即可． 8. 已知和2是函数的两个零点，则不等式的解集为    A.       B.       C.         D.   参考答案： C 略 9. 一枚硬币连掷三次至少出现一次正面朝上的概率是（   ）. (A)              (B)              (C)            (D) 参考答案： D 10. 已知抛物线C1：y2=8ax（a＞0），直线l倾斜角是45°且过抛物线C1的焦点，直线l被抛物线C1截得的线段长是16，双曲线C2：﹣=1的一个焦点在抛物线C1的准线上，则直线l与y轴的交点P到双曲线C2的一条渐近线的距离是（　　） A．2 B． C． D．1 参考答案： D 【考点】K8：抛物线的简单性质． 【分析】利用弦长，求出抛物线中的a，可得双曲线中的c，再利用点到直线的距离公式，即可得出结论． 【解答】解：由题意，设直线方程为y=x﹣2a， 代入y2=8ax，整理可得x2﹣12ax+4a2=0， ∵直线l被抛物线C1截得的线段长是16， ∴=16， ∵a＞0，∴a=1． ∴抛物线C1的准线为x=﹣2， ∵双曲线C2：﹣=1的一个焦点在抛物线C1的准线上， ∴c=2，b= 直线l与y轴的交点P（0，﹣2）到渐近线bx﹣ay=0的距离d==1， 故选D． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数，下列命题正确的是          。（写出所有正确命题的序号） ①是奇函数；    ②对定义域内任意x，<1恒成立；  ③当 时，取得极小值； ④； ⑤当x>0时，若方程||=k有且仅有两个不同的实数解·cos=－sin。 参考答案： ②④⑤ 略 12. 某人5次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为,已知这组数据的平均数为,则其方差为___________. 参考答案： 2 13. 已知=     ； 参考答案： -2 14. 在等比数列中，，则公比        ，       参考答案： 在等比数列中，所以，即。所以，所以，即数列是一个公比为2的等比数列，所以。 15. 下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天． (Ⅰ)求此人到达当日空气重度污染的概率; (Ⅱ)设X是此人停留期间空气质量优良的天数,求X的分布列与数学期望; 参考答案： 略 16. 函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），且f（x+1）为奇函数，当x＞1时，f（x）=2x2﹣12x+16，则函数y=f（x）﹣2的所有零点之和是         ． 参考答案： 5 【考点】函数零点的判定定理；函数奇偶性的性质． 【专题】计算题；函数的性质及应用． 【分析】f（x+1）为奇函数可得函数f（x）的图象关于（1，0）对称，从而可求x＜1时的函数解析式，进而解方程f（x）=2可得． 【解答】解：∵f（x+1）为奇函数， ∴函数图象关于（0，0）对称， 即函数f（x）的图象关于（1，0）对称 ∵当x＞1时，f（x）=2x2﹣12x+16， 当x＜1时，f（x）=﹣2x2﹣4x 令2x2﹣12x+16=2， 即x2﹣6x+7=0， 可得x1+x2=6， 令﹣2x2﹣4x=2， 即x2+2x+1=0，可得x3=﹣1 ∴横坐标之和为x1+x2+x3=6﹣1=5 故答案为：5． 【点评】本题主要考查了函数的平移、奇函数的对称性，利用对称性求函数在对称区间上的解析式．考查性质的灵活应用． 17. 已知函数y=f（x）为R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=log2（x+2）﹣3，则f（6）=        ，f（f（0））=        ． 参考答案： 0,-1. 考点：函数奇偶性的性质． 专题：函数的性质及应用． 分析：运用解析式得出f（6）=log2（6+2）﹣3，结合函数的奇偶性f（f（0））=f（﹣2）=f（2）求解即可． 解答： 解：∵当x≥0时，f（x）=log2（x+2）﹣3， ∴f（6）=log2（6+2）﹣3=3﹣3=0 f（0）=1﹣3=﹣2， ∵函数y=f（x）为R上的偶函数， ∴f（f（0））=f（﹣2）=f（2）=2﹣3=﹣1 故答案为：0，﹣1 点评：本题简单的考查了函数的性质，解析式，奇偶性的运用，属于简单计算题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题满分12分）在直三棱柱中，，，。 （1）设、分别为、的中点， 求证：平面； （2）求证：； （3）求点到平面的距离。 参考答案： 证明：（1）过E、F分别作于H，于G，∵E、F是中点， ∴，且， ∴，即四边形为平行四边形。……………2分 ∴，而平面， 且平面， ∴平面。…………………………4分 （2）在直三棱柱中， ∵，∴四边形为正方形，∴，………………………5分 又，且，∴平面，……………………6分 而平面，∴，…………………7分 再∵，∴平面，。…………………8分 （3）∵平面，∴、到平面距离相等，…………………9分 而平面，∴平面…………………10分 ，过作于K。则为所求。…………………11分 在中，，∴…………………12分 略 19. （本小题满分12分）(1) 若，求的最大值和最小值； (2)若，求的值域。 参考答案： (1)    (2) 20. （本小题满分12分） 已知函数（为常数）在处取得最大值 （1）求的值；    （2）求在上的增区间； 参考答案： 解：（1）…………2分      由题意：，即，…………4分 解得………………………………………………………6分 （2）……………………………8分 由，解得，………10分 所以在上的增区间为，……………………………12分 略 21.    已知数列的前项和为，且. 求数列的通项公式； 各项均为正数的等比数列中，，求数列的前项和为. 参考答案： 略 22. （本小题满分14分）已知函数． （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）若在上恒成立，求所有实数的值； （Ⅲ）对任意的，证明： 参考答案： （1），                                 1分    当时，，减区间为                           2分    当时，由得，由得                3分    ∴递增区间为，递减区间为                           4分 （2）由（1）知：当时，在上为减区间，而      ∴在区间上不可能恒成立                           5分 当时，在上递增，在上递减， ，令，                6分 依题意有，而，且 ∴在上递减，在上递增， ∴，故                                        9分 （3）由（2）知：时，且恒成立 即恒成立                                          则                               11分 又由知在上恒成立， ∴        13分 综上所述：对任意的，证明：  14分