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2022年福建省莆田市城南中学高三数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a·(2a-b)=0,则k=( )
A. -12 B. -6 C. 6 D. 12
参考答案:
D
略
2. 已知椭圆的中点在原点,焦点在x轴上,且长轴长为12,离心率为,则椭圆的方程为( ).
A. B. C. D.
参考答案:
D
【分析】
根据长轴长以及离心率,可求出,,再由,进而可求出结果.
【详解】解:由题意知,
,,
所以,,
∴,
又因为焦点在轴上,
∴椭圆方程:.
故选.
【点睛】本题主要考查根据求椭圆方程,熟记椭圆的标准方程即可,属于基础题型.
3. 阅读如图所示的程序框图,若输入变量n为100,则输出变量S为
(A)2500 (B)2550 (C)2600 (D)2650
参考答案:
4. 设是虚数单位,则复数=( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
命题意图:本题考查复数的基本运算,简单题.
5. 已知,,则满足的集合的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
D
略
6. 函数的图象按向量平移后恰在此时好经过原点,则a等于( )
A. B.2 C. D.
参考答案:
答案:D
7. 已知定义在R上的函数是奇函数且满足,数列满足(其中为的前项和),则
A.3 B.2 C. D.
参考答案:
【知识点】函数奇偶性的性质;函数的周期性.B4
A 解析:由函数为奇函数得,又所以,所以,,
即函数是以3为周期的周期函数. 由两式相减并整理得,,即,所以数列是以2为公比的等比数列,首项为,故,所以,
所以故选A.
【思路点拨】先由函数f(x)是奇函数和,推知f(3+x)=f(x),得到f(x)是以3为周期的周期函数.再由a1=﹣1,且Sn=2an+n,推知a5=﹣31,a6=﹣63计算即可.
8. 已知和2是函数的两个零点,则不等式的解集为
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
9. 一枚硬币连掷三次至少出现一次正面朝上的概率是( ).
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
D
10. 已知抛物线C1:y2=8ax(a>0),直线l倾斜角是45°且过抛物线C1的焦点,直线l被抛物线C1截得的线段长是16,双曲线C2:﹣=1的一个焦点在抛物线C1的准线上,则直线l与y轴的交点P到双曲线C2的一条渐近线的距离是( )
A.2 B. C. D.1
参考答案:
D
【考点】K8:抛物线的简单性质.
【分析】利用弦长,求出抛物线中的a,可得双曲线中的c,再利用点到直线的距离公式,即可得出结论.
【解答】解:由题意,设直线方程为y=x﹣2a,
代入y2=8ax,整理可得x2﹣12ax+4a2=0,
∵直线l被抛物线C1截得的线段长是16,
∴=16,
∵a>0,∴a=1.
∴抛物线C1的准线为x=﹣2,
∵双曲线C2:﹣=1的一个焦点在抛物线C1的准线上,
∴c=2,b=
直线l与y轴的交点P(0,﹣2)到渐近线bx﹣ay=0的距离d==1,
故选D.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数,下列命题正确的是 。(写出所有正确命题的序号)
①是奇函数; ②对定义域内任意x,<1恒成立;
③当 时,取得极小值; ④; ⑤当x>0时,若方程||=k有且仅有两个不同的实数解·cos=-sin。
参考答案:
②④⑤
略
12. 某人5次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为,已知这组数据的平均数为,则其方差为___________.
参考答案:
2
13. 已知= ;
参考答案:
-2
14. 在等比数列中,,则公比 ,
参考答案:
在等比数列中,所以,即。所以,所以,即数列是一个公比为2的等比数列,所以。
15. 下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.
(Ⅰ)求此人到达当日空气重度污染的概率;
(Ⅱ)设X是此人停留期间空气质量优良的天数,求X的分布列与数学期望;
参考答案:
略
16. 函数f(x)的定义域为(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞),且f(x+1)为奇函数,当x>1时,f(x)=2x2﹣12x+16,则函数y=f(x)﹣2的所有零点之和是 .
参考答案:
5
【考点】函数零点的判定定理;函数奇偶性的性质.
【专题】计算题;函数的性质及应用.
【分析】f(x+1)为奇函数可得函数f(x)的图象关于(1,0)对称,从而可求x<1时的函数解析式,进而解方程f(x)=2可得.
【解答】解:∵f(x+1)为奇函数,
∴函数图象关于(0,0)对称,
即函数f(x)的图象关于(1,0)对称
∵当x>1时,f(x)=2x2﹣12x+16,
当x<1时,f(x)=﹣2x2﹣4x
令2x2﹣12x+16=2,
即x2﹣6x+7=0,
可得x1+x2=6,
令﹣2x2﹣4x=2,
即x2+2x+1=0,可得x3=﹣1
∴横坐标之和为x1+x2+x3=6﹣1=5
故答案为:5.
【点评】本题主要考查了函数的平移、奇函数的对称性,利用对称性求函数在对称区间上的解析式.考查性质的灵活应用.
17. 已知函数y=f(x)为R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=log2(x+2)﹣3,则f(6)= ,f(f(0))= .
参考答案:
0,-1.
考点:函数奇偶性的性质.
专题:函数的性质及应用.
分析:运用解析式得出f(6)=log2(6+2)﹣3,结合函数的奇偶性f(f(0))=f(﹣2)=f(2)求解即可.
解答: 解:∵当x≥0时,f(x)=log2(x+2)﹣3,
∴f(6)=log2(6+2)﹣3=3﹣3=0
f(0)=1﹣3=﹣2,
∵函数y=f(x)为R上的偶函数,
∴f(f(0))=f(﹣2)=f(2)=2﹣3=﹣1
故答案为:0,﹣1
点评:本题简单的考查了函数的性质,解析式,奇偶性的运用,属于简单计算题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题满分12分)在直三棱柱中,,,。
(1)设、分别为、的中点,
求证:平面;
(2)求证:;
(3)求点到平面的距离。
参考答案:
证明:(1)过E、F分别作于H,于G,∵E、F是中点,
∴,且,
∴,即四边形为平行四边形。……………2分
∴,而平面,
且平面,
∴平面。…………………………4分
(2)在直三棱柱中,
∵,∴四边形为正方形,∴,………………………5分
又,且,∴平面,……………………6分
而平面,∴,…………………7分
再∵,∴平面,。…………………8分
(3)∵平面,∴、到平面距离相等,…………………9分
而平面,∴平面…………………10分
,过作于K。则为所求。…………………11分
在中,,∴…………………12分
略
19. (本小题满分12分)(1) 若,求的最大值和最小值;
(2)若,求的值域。
参考答案:
(1) (2)
20. (本小题满分12分)
已知函数(为常数)在处取得最大值
(1)求的值;
(2)求在上的增区间;
参考答案:
解:(1)…………2分
由题意:,即,…………4分
解得………………………………………………………6分
(2)……………………………8分
由,解得,………10分
所以在上的增区间为,……………………………12分
略
21. 已知数列的前项和为,且.
求数列的通项公式;
各项均为正数的等比数列中,,求数列的前项和为.
参考答案:
略
22. (本小题满分14分)已知函数.
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)若在上恒成立,求所有实数的值;
(Ⅲ)对任意的,证明:
参考答案:
(1), 1分
当时,,减区间为 2分
当时,由得,由得 3分
∴递增区间为,递减区间为 4分
(2)由(1)知:当时,在上为减区间,而
∴在区间上不可能恒成立 5分
当时,在上递增,在上递减,
,令, 6分
依题意有,而,且
∴在上递减,在上递增,
∴,故 9分
(3)由(2)知:时,且恒成立
即恒成立
则
11分
又由知在上恒成立,
∴ 13分
综上所述:对任意的,证明: 14分
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