江西省鹰潭市坞桥中学2022年高三数学理期末试卷含解析

江西省鹰潭市坞桥中学2022年高三数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 有3张奖券，其中2张可中奖，现3个人按顺序依次从中抽一张，小明最后抽，则他抽到中奖券的概率是（    ） A.                       B.                     C.                     D. 参考答案： C 2. 已知函数是R上的增函数，则的取值范围是（     ） A、≤＜0        B、≤≤     C、≤             D、＜0 参考答案： B 3. 已知复数满足为虚数单位），则的共轭复数是（    ） A．    B．    C．    D．    参考答案： C 由， 得，则的共轭复数是，故选C． 4. 已知两点为坐标原点，点在第二象限，且，设，则（   ） A.           B.             C.           D. 参考答案： C 试题分析：由题设可得,三角函数的定义可得,即,解之得,故应选C. 考点：向量的坐标运算及三角函数的定义与运用. 5. 如图，正方形的边长为6，点，分别在边，上，且，.若对于常数，在正方形的四条边上，有且只有6个不同的点P使得成立，那么的取值范围是   （A）   （B）   （C）   （D） 参考答案： C 考点：平面向量基本定理 因为P在AB上， ;P在CD上， ; P在AE或BF上，; P在DE或CF上， 所以，综上可知当时，有且只有6个不同的点P使得成立。 故答案为：C 6. 已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的实轴长2，则该双曲线的离心率为(     ) A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】双曲线的简单性质． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】首先根据实轴长为2，解得双曲线的方程为：x2﹣y2=1，进一步求出离心率． 【解答】解：已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的实轴长2，即2m=2 解得：m=1 即a=1 所以双曲线方程为：x2﹣y2=1 离心率为 故选：B 【点评】本题考查的知识要点：双曲线的方程，及离心率的求法 7. 若函数y=f(x)的图像关于点(,)对称.则f(-3)+f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)的值　                                                                    （     ） A．2                             B．3                       C．－2                        D．－4 参考答案： D 8.        A．     B．     C．     D． 参考答案： 答案：A 9. 已知A（3，1），B（6，1），C（4，3），D为线段BC的中点，则向量与的夹角为                                                 （    ）        A．     B．           C．      D．－ 参考答案： 答案：C 10. 已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜x， 且f（2）=1，则不等式f（x）＜x2﹣1的解集为（　　） A．（﹣2，+∞） B．（0，+∞） C．（1，+∞） D．（2，+∞） 参考答案： D 【考点】函数的单调性与导数的关系． 【专题】转化思想；构造法；导数的综合应用． 【分析】根据条件构造函数g（x）=f（x）﹣（x2﹣1），求出函数g（x）的导数，利用导数和单调性之间的关系即可求出解集． 【解答】解：设g（x）=f（x）﹣（x2﹣1）， 则函数的导数g′（x）=f′（x）﹣x， ∵f′（x）＜x， ∴g′（x）=f′（x）﹣x＜0， 即函数g（x）为减函数， 且g（2）=f（2）﹣（×4﹣1）=1﹣1=0， 即不等式f（x）＜x2﹣1等价为g（x）＜0， 即等价为g（x）＜g（2）， 解得x＞2， 故不等式的解集为{x|x＞2}． 故选：D． 【点评】本题主要考查了不等式的求解以及构造函数，利用导数研究函数的单调性问题，是综合性题目． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数，则的值为           ； 参考答案： ，所以 . 12. 若复数(1+2i)(1+ai)是纯虚数，(i为虚数单位)，则实数a的值是      ． 参考答案： 略 13. 已知，若，则     _______。 参考答案： 0或2 略 14. 已知二次函数的值域是[1,＋∞)，则的最小值是    ▲    ． 参考答案： 3 15. 已知实数a，b满足ab=1，且a＞b≥，则的最大值为　　． 参考答案： 【考点】有理数指数幂的化简求值． 【分析】由题意，化简==，求出a﹣b的取值范围，从而求的最大值． 【解答】解：由题意， =， ∵ab=1，a＞b≥， ∴0＜a﹣b≤﹣=， ∴= =， ∵y=x+在（0，）上是减函数， ∴≤=． 故答案为：． 16. 若二项式的展开式中的常数项为m，则___________． 参考答案：   二项式的展开式的通项公式为：， 令，则．即有．则． 17. 一盒子中有编号为1至7的7个红球和编号为1至6的6个白球，现从中摸出5个球，并从左到右排成一列，使得这5个球的颜色与编号奇偶数均相间排列，则不同的排法有______种.（用数字作答） 参考答案： 288 【分析】 由题意先确定取球的4种方法，再按要求排列即可． 【详解】要满足这5个球的颜色与编号奇偶数均相间排列，则从中摸出5个球可能是2个红色奇数号球和3个白色偶数号球；也可能是2个白色奇数号球和3个红色偶数号球；或2个红色偶数号球和3个白色奇数号球；也可能是2个白色偶数号球和3个红色奇数号球； 当2个红色奇数号球和3个白色偶数号球按要求排列时，有种方法； 当2个白色奇数号球和3个红色偶数号球按要求排列时，有种方法； 当2个红色偶数号球和3个白色奇数号球按要求排列时，有种方法； 当2个白色偶数号球和3个红色奇数号球按要求排列时，有种方法； 综上共有72+36+36+144=288种排法. 【点睛】本题考查排列组合的实际应用问题，考查了分析问题的逻辑思维能力，注意合理地进行分类． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的方程为x2﹣2x+y2=0，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ=（ρ∈R）． （Ⅰ）写出C的极坐标方程，并求l与C的交点M，N的极坐标； （Ⅱ）设P是椭圆+y2=1上的动点，求△PMN面积的最大值． 参考答案： 【考点】简单曲线的极坐标方程． 【分析】（Ⅰ）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ写出C的极坐标方程，并求l与C的交点M，N的极坐标； （Ⅱ）设P点坐标为（cosθ，sinθ），则P到直线y=x的距离d=，利用三角形的面积公式，可得结论． 【解答】解：（Ⅰ）因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以C的极坐标方程为ρ=2cosθ，（2分） 直线l的直角坐标方程为y=x， 联立方程组，解得或，（4分） 所以点M，N的极坐标分别为（0，0），（，）． （Ⅱ）由（Ⅰ）易得|MN|= （6分） 因为P是椭圆+y2=1上的点，设P点坐标为（cosθ，sinθ），（7分） 则P到直线y=x的距离d=，（8分） 所以S△PMN==≤1，（9分） 当θ=kπ﹣，k∈Z时，S△PMN取得最大值1．（10分） 【点评】本小题考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的相互转化，考查化归与转化思想，数形结合思想． 19. 已知椭圆的离心率为,且过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线 AC、BD过原点O，若, 求的最大值. 参考答案： 解：(1)由题意，，又…………………2分 解得,椭圆的标准方程为……………………………4分 (2)设直线AB的方程为，设 联立，得   ----------①        …………6分         …………………7分 =      …………………8分                                …………………9分      略 20. （本小题满分12分） 已知函数，. （I）求函数的最大值； （II）当时，函数有最小值，记g(x)的最小值为h(a)，求函数h(a)的值域.   参考答案： 解：（I）的定义域为，. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以当时，取得最大值. ……………… 4分 （II），由（I）及得： ①若，，，单调递减， 当时，的最小值. ……………… 6分 ②若，，，所以存在，且， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以的最小值. ……………… 9分 令，. ， 当时，，所以在单调递减， 此时，即.    ………………11分 由①②可知，的值域是. ……………… 12分   21. 在中，，过点的直线与其外接圆 交于点，交延长线于点    （1）求证： ；    （2）求证：． 参考答案： 略 22. （本小题满分1４分）如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，，E是CD的中点， （1）证明：平面平面PAB； （2）求二面角A—BE—P的大小。 参考答案：