湖南省怀化市岩桥乡中学2022-2023学年高三数学理联考试卷含解析

湖南省怀化市岩桥乡中学2022-2023学年高三数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 集合 ，则   (A)(-∞,1]U(2,+∞)     (B)   (C)[1，2)            (D)(1，2] 参考答案： 【知识点】集合  A1 D 解析：所以D正确. 【思路点拨】根据交集的概念可求出正确结果. 2. 正方形的四个顶点都在椭圆上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 参考答案： B 3. 已知,，那么的值为                 （    ）     A．            B．               C．           D． 参考答案： A 4. 设复数，其中为实数，若的实部为2，则的虚部为（     ） A． B． C． D． 参考答案： C 5. 设若是与的等比中项，则的最小值为（    ） A．8       　B．4     　C．1       　D．    参考答案： B 6. 已知等比数列的首项公比，则(     ) A.50            B.35           C.55         D.46 参考答案： C 7. 要完成下列两项调查：（1）某社区有100户高收入家庭，210户中等收入家庭，90户低收入家庭，从中抽取100户调查消费购买力的某项指标；（2）从某中学高二年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习负担情况，应采取的抽样方法是（） A.（1）用系统抽样法，（2）用简单随机抽样法 B.（1）用分层抽样法，（2）用系统抽样法 C.（1）用分层抽样法，（2）用简单随机抽样法 D.（1）（2）都用分层抽样法 参考答案： C 试题分析：：（1）由于家庭收入差异较大，故（1）应该使用分层抽样． （2）从某中学高二年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习负担情况，由于人数较少，故使用简单随机抽样，1 考点：抽样方法 8. 设为等差数列的前n项和．若，则使成立的最小正整数n为(  ) A．6            B．7                C.8                  D．9 参考答案： C 9. 已知直线x﹣9y﹣8=0与曲线C：y=x3﹣px2+3x相交于A，B，且曲线C在A，B处的切线平行，则实数p的值为（　　） A．4 B．4或﹣3 C．﹣3或﹣1 D．﹣3 参考答案： B 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】求出原函数的导函数，设出A，B点的坐标，得到函数在A，B点处的导数值，由A，B点处的导数值相等得到3x12﹣2px1+3=3x22﹣2px2+3=m，把x1，x2看作方程3x2﹣2px+3﹣m=0的两个根，利用根与系数关系得到x1+x2=p，进一步得到AB的中点坐标，然后再证明AB的中点在曲线C上，最后由AB中点的纵坐标相等求得实数p的值，注意检验． 【解答】解：由y=x3﹣px2+3x，得y′=3x2﹣2px+3， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则曲线C在A，B处的切线的斜率分别为3x12﹣2px1+3， 3x22﹣2px2+3， ∵曲线C在A，B处的切线平行， ∴3x12﹣2px1+3=3x22﹣2px2+3， 令3x12﹣2px1+3=3x22﹣2px2+3=m， ∴x1，x2是方程3x2﹣2px+3﹣m=0的两个根， 则x1+x2=p， 下面证线段AB的中点在曲线C上， ∵ = ==p﹣p3， 而（）3﹣p（）2+3?=p3﹣p3+p =p﹣p3， ∴线段AB的中点在曲线C上， 由x1+x2=p，知线段的中点为（p，（p﹣8））， ∴﹣+p=p﹣p3，解得p=﹣1，﹣3或4． 当p=﹣1时，y=x3+x2+3x的导数为y′=3x2+2x+3＞0恒成立， 即函数为递增函数，直线与曲线只有一个交点，舍去； p=﹣3，或4时，y=x3﹣px2+3x不单调，成立． 故选：B． 10. 若sin（﹣α）=，则2cos2（+）﹣1=（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】三角函数的化简求值． 【分析】由条件利用二倍角的余弦公式、诱导公式，求得要求式子的值． 【解答】解：若，则=cos（+α）=sin[﹣（+α）]=sin（﹣α）=， 故选：A． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是        . 参考答案： 略 12. 已知变量a，θ∈R，则的最小值为           ． 参考答案： 9 略 13. 已知正数满足，则的最大值为    　　    ． 参考答案： 8  略 14. 已知三棱锥A-SBC的体积为，各顶点均在以SC为直径球面上，，则这个球的表面积为_____________。 参考答案： 16π 【分析】 由，所以为直角三角形，设三棱锥的高为，解得，取的中点，连接，根据球的性质，可得平面，得出,再在在直角中，利用勾股定理，求得球的半径，即可求解. 【详解】由题意，设球的直径是该球面上的两点，如图所示， 因为，所以为直角三角形， 设三棱锥的高为，则，解得， 取的中点，连接，根据球的性质，可得平面， 所以, 在直角中，, 即球的半径为， 所以球的表面积为. 【点睛】本题主要考查了球内接三棱锥的组合体的应用，其中解答中熟练球的截面的性质，求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于基础题. 15. 设R，向量，且，则                            参考答案： 16. 已知等差数列{an}的首项a1=1，前五项之和S5=25，则{an}的通项an=       ． 参考答案： 2n﹣1 【考点】等差数列的通项公式． 【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列． 【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出． 【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵首项a1=1，前五项之和S5=25， ∴5+d=25， 解得d=2． 则{an}的通项an=1+2（n﹣1）=2n﹣1． 故答案为：2n﹣1． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 17. 有四个关于三角函数的命题： p1：?x∈R，；p2：?x，y∈R，sin(x－y)＝sin x－sin y； p3：?x∈[0，π], ＝sin x；p4：sin x＝cos y?x＋y＝.其中假命题的是________． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如果函数y=f（x）的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得f=f（x+a）=f（﹣x）成立，则称此函数具有“P（a）性质”； （1）判断函数y=sinx是否具有“P（a）性质”，若具有“P（a）性质”，试写出所有a的值；若不具有“P（a）性质”，请说明理由； （2）已知y=f（x）具有“P（0）性质”，当x≤0时，f（x）=（x+t）2，t∈R，求y=f（x）在[0，1]上的最大值； （3）设函数y=g（x）具有“P（±1）性质”，且当﹣≤x≤时，g（x）=|x|，求：当x∈R时，函数g（x）的解析式，若y=g（x）与y=mx（m∈R）交点个数为1001个，求m的值． 参考答案： 【考点】分段函数的应用；抽象函数及其应用． 【专题】综合题；函数思想；转化法；函数的性质及应用． 【分析】（1）根据题意先检验sin（x+a）=sin（﹣x）是否成立即可检验y=sinx是否具有“P（a）性质” （2）由y=f（x）具有“P（0）性质可得f（x）=f（﹣x），结合x≤0时的函数解析式可求x≥0的函数解析式，结合t的范围判断函数y=f（x）在[0，1]上的单调性即可求解函数的最值 （3）由题意可得g（1+x）=g（﹣x），g（﹣1+x）=g（﹣x），据此递推关系可推断函数y=g（x）的周期，根据交点周期性出现的规律即可求解满足条件的m，以及g（x）的解析式 【解答】解：（1）由sin（x+a）=sin（﹣x）得sin（x+a）=﹣sinx， 根据诱导公式得a=2kπ+π（k∈Z）． ∴y=sinx具有“P（a）性质”，其中a=2kπ+π（k∈Z）． （2）∵y=f（x）具有“P（0）性质”， ∴f（x）=f（﹣x）． 设x≥0，则﹣x≤0，∴f（x）=f（﹣x）=（﹣x+t）2=（x﹣t）2 ∴f（x）= 当t≤0时，∵y=f（x）在[0，1]递增， ∴x=1时ymax=（1﹣t）2， 当0＜t＜时，y=f（x）在[0，t]上递减，在[t，1]上递增，且f（0）=t2＜f（1）=（1﹣t）2， ∴x=1时ymax=（1﹣t）2， 当t≥时， ∵y=f（x）在[0，m]上递减，在[m，1]上递增，且f（0）=m2≥f（1）=（1﹣m）2， ∴x=0时，ymax=t2， 综上所述：当t＜时，ymax=f（1）=（1﹣t）2， 当t≥ymax=f（0）=t2， （3）∵y=g（x）具有“P（±1）性质”， ∴g（1+x）=g（﹣x），g（﹣1+x）=g（﹣x）， ∴g（x+2）=g（1+1+x）=g（﹣1﹣x）=g（x），从而得到y=g（x）是以2为周期的函数． 又≤x≤设，则﹣≤x﹣1≤， g（x）=g（x﹣2）=g（﹣1+x﹣1）=g（﹣x+1）=|﹣x+1|=|x﹣1|=g（x﹣1）． 再设n﹣≤x≤n+（n∈z）， 当n=2k（k∈z），则2k﹣≤x≤2k+，则﹣≤x﹣2k≤， g（x）=g（x﹣2k）=|x﹣2k|=|x﹣n|； 当n=2k+1（k∈z），则2k+1﹣≤x≤2k+1+，则≤x﹣2k≤ g（x）=g（x﹣2k）=|x﹣2k﹣1|=|x﹣n|； ∴g（x）= ∴对于n﹣≤x≤n+，（n∈z），都有g（x）=|x﹣n|，而n+1﹣＜x+1＜n+1+， ∴g（x+1）=|（x+1）﹣（n+1）|=|x﹣n|=g（x）， ∴y=g（x）是周期为1的函数． ①当m＞0时，要使y=mx与y=g（x）有1001个交点，只要y=mx与y=g（x）在[0，500）有1000个交点，而在[500，501]有一个交点． ∴y=mx过（，），从而得m= ②当m＜0时，同理可得m=﹣ ③当m=0时，不合题意． 综上所述m=± 【点评】本题考查周期函数，着重考查函数在一定条件下的恒成立问题与最值求解的相互转化，综合考察构造函数、分析转化、分类讨论的数学思想与方法，难度大，思维深刻，属于难题 19. （本小题满分10分）   设 （1）解不等式； （2）若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围。 参考答案： 20. 已知的两个极值点为α，β，记A（α，f（α）），B（β，f（β）） （Ⅰ）若函数f（x）的零点为γ，证明：α+β=2γ． （Ⅱ） 设点 C(,0)，D(,0)，是否存在实数t，对任意m＞0，四边形ACBD均为平行四边形．若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由． 参考答案： （Ⅰ）求出函数的导数，根据二次函数的性质证明即可； （Ⅱ）求出f（α）+f（β）的解析式，根据二次函数的性质以及ACBD均为平行四边形，求出t的值即可． 解：（Ⅰ）证明：， 即﹣4x2+2tx+4=0，△=4t2+64＞0， ∴，，即4x﹣t=0，则零点， ∴得证． （Ⅱ） 要使构成平行四边形，