2022年河北省张家口市狼山中学高二数学理期末试卷含解析

2022年河北省张家口市狼山中学高二数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 直三棱柱中，各侧棱和底面的边长均为，点是上任意一点，连接，则三棱锥的体积为（   ） A．      B．    C．     D． 参考答案： B   解析： 2. 下列各式中最小值为2的是（     ） A．    B．    C．    D． 参考答案： B 略 3. 若对于任意实数x，有x4=a0+a1（x﹣2）+a2（x﹣2）2+a3（x﹣2）3+a4（x﹣2）4，则a2的值为（　　） A．4 B．12 C．24 D．48 参考答案： C 【考点】二项式定理的应用． 【专题】转化思想；综合法；二项式定理． 【分析】由题意根据 x4=4，利用二项式定理求得a2的值． 【解答】解：∵x4=4=?24+?23?（x﹣2）+?22?（x﹣2）2+?2?（x﹣2）3+?（x﹣2）4  =a0+a1（x﹣2）+a2（x﹣2）2+a3（x﹣2）3+a4（x﹣2）4， 则a2 =4=24， 故选：C． 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题． 　 4. 已知是球的球面上的两点，为球面上的动点.若三棱锥的体积最大值为，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 参考答案： A 设球的半径为R，当平面时三棱锥的体积最大，，球的表面积为，选A. 5. “∵四边形ABCD为矩形，∴四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提为（　　） A．正方形都是对角线相等的四边形 B．矩形都是对角线相等的四边形 C．等腰梯形都是对角线相等的四边形 D．矩形都是对边平行且相等的四边形 参考答案： B 【分析】用三段论形式推导一个结论成立，大前提应该是结论成立的依据，由四边形ABCD为矩形，得到四边形ABCD的对角线相等的结论，得到大前提． 【解答】解：用三段论形式推导一个结论成立， 大前提应该是结论成立的依据， ∵由四边形ABCD为矩形，得到四边形ABCD的对角线相等的结论， ∴大前提一定是矩形的对角线相等， 故选B． 6. 设等比数列{an}的公比q=2，前n项和为Sn，则的值为（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】等比数列的前n项和． 【分析】由等比数列的通项公式和求和公式，代入要求的式子化简可得． 【解答】解：等比数列{an}的公比q=2，前n项和为Sn， ∴a2=a1q=2a1，S4==15a1， ∴=， 故选：B 【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，属基础题． 7. 已知m，n为异面直线，α，β为两个不同的平面，α∥m，α∥n，直线l满足l⊥m，l⊥n，l∥β，则（　　） A．α∥β且l∥α B．α∥β且l⊥α C．α⊥β且l∥α D．α⊥β且l⊥α 参考答案： D 【考点】平面与平面之间的位置关系． 【分析】由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论． 【解答】解：由α∥m，α∥n，直线l满足l⊥m，l⊥n，可得l⊥α， ∵l∥β， ∴β⊥α， 故选：D． 8. 设集合,,则中元素的个数是（ ） A．3         B. 4       C. 6       D. 5 参考答案： A 9. 已知双曲线的右焦点F，直线与其渐近线交于A，B两点，且△为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A. （）    B. （1，）    C. （） D. （1，） 参考答案： D 10. 已知命题“若p，则q”，假设其逆命题为真，则p是q的（    ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 既不充分又不必要条件 D. 充要条件 参考答案： B 【分析】 先写出原命题的逆命题，再根据逆命题是真命题，判断出是的必要条件. 【详解】由题得“若，则”的逆命题为“若，则”. 因为逆命题是真命题， 所以， 所以是的必要条件. 故答案为：B 【点睛】本题主要考查原命题的逆命题和充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知随机变量的分布列为：，，，且，则随机变量的标准差等于__________. 参考答案： 略 12. 连接正方体各个顶点的所有直线中，异面直线共有             对． 参考答案： 174 13. 右图茎叶图是甲、乙两人在5次综合测评中成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为       . 参考答案： 14. 如果实数x，y满足（x+2）2+y2=3，则的最大值是　　． 参考答案： 【考点】圆的标准方程． 【专题】计算题；数形结合；综合法；直线与圆． 【分析】设=k，的最大值就等于连接原点和圆上的点的直线中斜率的最大值，由数形结合法的方式，易得答案 【解答】解：设=k，则y=kx表示经过原点的直线，k为直线的斜率． 所以求的最大值就等价于求同时经过原点和圆上的点的直线中斜率的最大值， 如图示： 从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且与圆相切， 此时的斜率就是其倾斜角∠EOC的正切值． 易得|OC|=2，|CE|=r=，可由勾股定理求得|OE|=1， 于是可得到k=tan∠EOC==，即为的最大值． 故答案为：． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，数形结合是解决问题的关键，属中档题． 15. 已知正四棱柱的底面边长是，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的侧面积 为   ▲   ． 参考答案： 72 16. 已知，则          ． 参考答案： 因为 ， 所以, 所以|－+2|． 17. 已知F1、F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的平方和的最小值为__________． 参考答案： 解：设椭圆和双曲线的长半轴长和十半轴长分别为，，焦半径为，设， 则有，， 解得，， 由余弦定理得， 整理得， ， 当时成立等号， 故结果为． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 偏差是指个别测定值与测定的平均值之差，在成绩统计中，我们把某个同学的某科考试成绩与该科班平均分的差叫某科偏差，在某次考试成绩统计中，某老师为了对学生数学偏差x（单位：分）与物理偏差y（单位：分）之间的关系进行分析，随机挑选了8位同学，得到他们的两科成绩偏差数据如下： 学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学偏差x 20 15 13 3 2 ﹣5 ﹣10 ﹣18 物理偏差y 6.5 3.5 3.5 1.5 0.5 ﹣0.5 ﹣2.5 ﹣3.5 （1）若x与y之间具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程； （2）若该次考试该班数学平均分为120分，物理平均分为91.5分，试由（1）的结论预测数学成绩为128分的同学的物理成绩． 参考数据： =20×6.5+15×3.5+13×3.5+3×1.5+2×0.5+（﹣5）×（﹣0.5）+（﹣10）×（﹣2.5）+（﹣18）×（﹣3.5）=324 x=202+152+132+32+22+（﹣5）2+（﹣10）2+（﹣18）2=1256． 参考答案： 解：（1）由题意，，          ，          所以 ，    　            ，    　 　         故关于的线性回归方程：．           　 　     （2）由题意，设该同学的物理成绩为，则物理偏差为：． 而数学偏差为128-120=8，                          ∴，                                     解得，                                     所以，可以预测这位同学的物理成绩为94分．  略 19. 在⊿ABC中，角A,B,C所对的边分别为a，b，c，=(a，0)，=(1，cosC)，且·=2a cosC （1）求C的大小； （2）若△ABC的面积为8，a+b=12，求c. 参考答案： 20. 已知A、B、C是椭圆M： =1（a＞b＞0）上的三点，其中点A的坐标为，BC过椭圆M的中心，且． （1）求椭圆M的方程； （2）过点（0，t）的直线l（斜率存在时）与椭圆M交于两点P、Q，设D为椭圆M与y轴负半轴的交点，且，求实数t的取值范围． 参考答案： 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 【分析】（1）根据点A的坐标求出a，然后根据求出b，综合即可求出椭圆M的方程． （2）根据题意设出直线方程，与（1）中M的方程联立，然后运用设而不求韦达定理进行计算，求出实数t的取值范围． 【解答】解：（1）∵点A的坐标为（，） ∴，椭圆方程为① 又∵．，且BC过椭圆M的中心O（0，0）， ∴． 又∵， ∴△AOC是以∠C为直角的等腰三角形， 易得C点坐标为（，） 将（，）代入①式得b2=4 ∴椭圆M的方程为 （2）当直线l的斜率k=0，直线l的方程为y=t 则满足题意的t的取值范围为﹣2＜t＜2 当直线l的斜率k≠0时，设直线l的方程为y=kx+t 由 得（3k2+1）x2+6ktx+3t2﹣12=0 ∵直线l与椭圆M交于两点P、Q， ∴△=（6kt）2﹣4（3k2+1）（3t2﹣12）＞0 即t2＜4+12k2 ② 设P（x1，y1），Q（x2，y2），x1+x2=﹣，x1x2=， PQ中点H（x0，y0）， 则H的横坐标， 纵坐标， D点的坐标为（0，﹣2） 由， 得DH⊥PQ，kDH?kPQ=﹣1， 即， 即t=1+3k2．                                       ③ ∴k2＞0，∴t＞1．                                 ④ 由②③得0＜t＜4， 结合④得到1＜t＜4． 综上所述，﹣2＜t＜4． 　 21. 某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游. (1)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率； (2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A1但不包括B1的概率. 参考答案： 所选两个国家都是亚洲的事件所包含的基本事件有： ,共个，所以所求事件的概率为；   6分 （2）从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有： 共个， 包含但不包括的事件所包含的基本事件有共个， 所以所求事件的概率为.        1 2分 22. (本小题满分13分) 已知椭圆的离心率为，椭圆短轴长为.  （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）已知动直线与椭圆相交于、两点. ①若线段中点的横坐标为，求斜率的值；②若点，求证：为定值。 参考答案： 解：（Ⅰ）因为满足， 。解得，则椭圆方程为 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分 （Ⅱ）（1）将代入中得    因为中点的横坐标为，所以，解得 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分 （2）由（1）知， 所以    ；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄11分 =┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄13分 略