山西省临汾市汾东高级学校高三数学理联考试题含解析

山西省临汾市汾东高级学校高三数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设是定义在Ｒ上的偶函数，且满足，当时， ，又,若方程恰有两解,则的范围是(    )     Ａ.  Ｂ.   Ｃ.  Ｄ. 参考答案： D 略 2. 数列共有12项，其中，，，且，则满足这种条件的不同数列的个数为（  ） A.84            B.168 C.76        D.152 参考答案： A 略 3. 函数的导函数的图像如图所示，那么的图像最有可能的是（ ☆ ） 参考答案： A 4. 执行如图所示的程序框图．若输出， 则框图中 ① 处可以填入（   ）   （A）（B）（C）（D） 参考答案： C 第一次循环，满足条件，;第二次循环，满足条件，;第三次循环，满足条件，;第四次循环，不满足条件，输出，此时，所以条件应为，选C. 5. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（　　） A． B． C．36π D．8π 参考答案： D 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣ABC，其中PA⊥底面ABC．由AC=CB=，AB=2，可得AC⊥CB，进而得到BC⊥CP．因此该几何体的外接球的球心为PB的中点． 【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣ABC，其中PA⊥底面ABC． 由AC=CB=，AB=2，∴AC⊥CB．又PA⊥底面ABC，∴BC⊥CP． 因此该几何体的外接球的球心为PB的中点， ∴其半径R=PB==． ∴外接球的表面积S==8π． 故选：D． 6. 直线与平面成45°角，若直线在内的射影与内的直线成45°角，则与 所成的角是                      （    ）        A．30°                   B．45°                   C． 60°                 D．90° 参考答案： 答案：C 7. 设f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时,f（x）＝x－（e为自然对数的底数），则f（ln）的值为 A．－ln6＋    B． ln6－        C．ln6＋      D．－ln6－ 参考答案： A 8. 在平面直角坐标系中，若直线y=x与直线是参数，0≤θ＜π）垂直，则θ=（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】参数方程化成普通方程． 【分析】利用直线y=x与直线是参数，0≤θ＜π）垂直，可得tanθ=﹣1，即可得出结论． 【解答】解：∵直线y=x与直线是参数，0≤θ＜π）垂直， ∴tanθ=﹣1， ∴θ=， 故选D． 9. 已知复数z满足，则（   ） A．      B．5       C．       D．10 参考答案： C 10. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为 A. B. C. D. 参考答案： D 将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到，再将所得图象向左平移个单位，得到，选D. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 向量是相互垂直的单位向量，若向量（m∈R），，则m=______． 参考答案： 【分析】 利用向量数量积的性质运算，与已知相等，列式解得． 【详解】 又已知，所以2-3m=1，解得m= 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属于基础题． 12. 由正整数组成的一组数据，其平均数和中位数都是，且标准差等于， 则这组数据为__________。（从小到大排列） 参考答案： 这组数据为_________ 不妨设得： ①如果有一个数为或；则其余数为，不合题意 ②只能取；得：这组数据为 13. 已知函数f（x）=axlnx，a∈R，若f′（e）=3，则a的值为　　． 参考答案： 【考点】导数的运算． 【专题】计算题；函数思想；综合法；导数的概念及应用． 【分析】根据导数的运算法则计算即可． 【解答】解：f′（x）=a（1+lnx），a∈R，f′（e）=3， ∴a（1+lne）=3， ∴a=， 故答案为： 【点评】本题考查了导数的运算法则，和导数值的计算，属于基础题． 14. 双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别为A、B，渐近线分别为l1、l2，点P在第一象限内且在l1上，若PA⊥l2，PB∥l2，则该双曲线的离心率为　  　． 参考答案： 2 【考点】双曲线的简单性质． 【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】求出双曲线的顶点和渐近线方程，设P（x，y），再由两直线垂直和平行的条件，得到a，b的关系式，再由离心率公式计算即可得到． 【解答】解：依题意有A（﹣a，0），B（a，0），渐近线方程分别为l1：y=x，l2：y=﹣x， 设P（x，y），则 由PB∥l2得=﹣，因为点P在直线y=x上，于是解得P点坐标为P（，）， 因为PA⊥l2，所以?（﹣）=﹣1，即?（﹣）=﹣1，所以b2=3a2， 因为a2+b2=c2，所以有c2=4a2，即c=2a，得e=2． 故答案为：2． 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程和离心率的求法，运用两直线垂直的条件和平行的条件是解题的关键． 15. 在等比数列{an}中，an＞0(n∈N﹡),且,,则{an}的前6项和是 . 参考答案： 63 在等比数列中，，所以，又，所以，，所以. 16. 已知，则对应的的集合为       . 参考答案： 17. ，，，则实数的值为           . 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）    如图，平面平面为等边三角形，，过作平面交分别于点。 （1）求证：； （2）设，求的值，使得平面与平面所成的锐角的大小。 参考答案： （1）见解析；（2）  【知识点】与二面角有关的立体几何综合题．G10 G11 解析：（1）证明：如图以点C为原点建立 空间直角坐标系C﹣xyz， 不妨设CA=1，CB=t（t＞0），， 则C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，t，0），，． 由，得， ，． =（0，0，1）是平面ABC的一个法向量，且，故． 又因为MN?平面ABC，即知MN∥平面ABC．…（6分） （2）解：，， 设平面CMN的法向量， 则，，可取， 又=（0，0，1）是平面ABC的一个法向量． 由， 以及θ=45°得， 即2λ2+4λ﹣4=0．解得（将舍去）， 故．…（14分） 【思路点拨】（1）以点C为原点建立空间直角坐标系C﹣xyz，利用向量法能证明MN∥平面ABC．（2）分别求出平面CMN的法向量和平面ABC的法向量，由此利用向量法能求出． 19. (本小题满分12分)已知函数，其中．     ⑴若是的极值点，求的值；     ⑵若，恒成立，求的取值范围． 参考答案： ⑵（方法一）依题意，，。 时，恒成立 且时，由得…8分 设，，，当时，当时……10分，所以， 所以，当且时，，从而， 综上所述，的取值范围为． （方法二）由⑴， 若，则，由得，且当时，当时……8分，所以， 若，由得或，取为与两数的较大者，则当时，从而在单调减少，无最小值，不恒成立。 （说明一：本段解答如举反例亦可，评分如下：若，取，，不恒成立……13分。说明二：若只讨论一个特例，例如，给1分） 综上所述，的取值范围为． 20. 某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取辆纯电动汽车调查其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程），被调查汽车的续驶里程全部介于公里和公里之间，将统计结果分成组：，，，，，绘制成如图所示的频率分布直方图． （Ⅰ）求直方图中的值； （Ⅱ）求续驶里程在的车辆数； （Ⅲ）若从续驶里程在的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车的续驶里程为 的概率. 参考答案： 解: （Ⅰ）由直方图可得：       ∴.                                      ------------------3分 （Ⅱ）由题意可知，续驶里程在的车辆数为：                       ------------------5分 （Ⅲ）由（Ⅱ）及题意可知，续驶里程在的车辆数为，分别记为， 续驶里程在的车辆数为，分别记为， 设事件“其中恰有一辆汽车的续驶里程为”----------------------7分 从该辆汽车中随机抽取辆，所有的可能如下： 共种情况，----------------10分 事件包含的可能有共种情况， 则.                              ------------------12分 （未列举事件，只写对概率结果给2分） 略 21. 已知函数，g（x）=b（x+1），其中a≠0，b≠0 （1）若a=b，讨论F（x）=f（x）﹣g（x）的单调区间； （2）已知函数f（x）的曲线与函数g（x）的曲线有两个交点，设两个交点的横坐标分别为x1，x2，证明：． 参考答案： 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可 （2）问题转化为证，，只需证明成立，根据函数的单调性证明即可． 【解答】解：（1）由已知得， ∴， 当0＜x＜1时，∵1﹣x2＞0，﹣lnx＞0，∴1﹣x2﹣lnx＞0，； 当x＞1时，∵1﹣x2＜0，﹣lnx＜0，∴1﹣x2﹣lnx＜0． 故若a＞0，F（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减； 故若a＜0，F（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增． （2）不妨设x1＞x2，依题意， ∴，同理得 由①﹣②得，∴， ∴， ∴， 故只需证， 取∴，即只需证明成立， 即只需证成立， ∵， ∴p（t）在区间[1，+∞）上单调递增， ∴p（t）＞p（1）=0，?t＞1成立， 故原命题得证． 22. 已知函数f（x）=ln（x+1）﹣ax，a∈R． （I）求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）当x＞1时，f（x﹣1）≤恒成立，求a的取值范围． 参考答案： 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（I）首先对f（x）求导，分类讨论a判断函数的单调性即可； （II）由题意知：f（x﹣1）﹣=，令g（x）=xlnx﹣a（x2﹣1），x≥1，g'（x）=lnx+1﹣2ax，令h（x）=lnx+1﹣2ax，h'（x）=﹣2a=；利用导数判断函数的单调性从而求出a的取值范围． 【解答】解：（I）f（x）的定义域为（﹣1，+∞）， f'（x）==； ①若a≤0，则f'（x）＞0，∴f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增； ②若a＞0，则f'（x）=0得x=， 当x∈（﹣1，）时，f'（x）＞0， 当x∈（，+∞）时，f'（x）＜0； ∴f（x）在（﹣1，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减． 综上，当a≤0时，f（x）的单调增区间为（﹣1，+∞）； 当a＞0时，f（x）的单调增区间为（﹣1，），单调减区间为（）； （II）f（x﹣1）﹣=； 令g（x）=xlnx﹣a（x2﹣1），x≥1，g'（x）=lnx+1﹣2ax； 令h（x）=lnx+1﹣2ax，