广东省湛江市第十四中学高三数学理模拟试卷含解析

广东省湛江市第十四中学高三数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数的图象恒过定点,若点在直线上,其中,则的最小值为(    ) A．8      　        B．4         　C．1          　D．    参考答案： A 2. 函数的定义域为,,对任意,则的解集为( ) A.     B.     C.      D.R 参考答案： C 略 3. 已知在函数（）的图象上有一点，该函数的图象与 x轴、直线x＝－1及 x＝t围成图形（如图阴影部分）的面积为S，则S与t的函数关系图可表示为（   ） 参考答案： B 由题意知，当时，面积原来越大，但增长的速度越来越慢.当时，S的增长会越来越快，故函数S图象在轴的右侧的切线斜率会逐渐增大，选B． 4. 若集合则=(    ). (A)         (B)         (C)           (D) 参考答案： B 略 5. 某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为（　　） A．30 B．25 C．20 D．15 参考答案： C 【考点】分层抽样方法． 【分析】先计算抽取比例，再计算松树苗抽取的棵数即可． 【解答】解：设样本中松树苗的数量为x，则 故选C 6. 如图，在?ABCD中，M，N分别为AB，AD上的点，且=， =，连接AC，MN交于P点，若=λ，则λ的值为（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】平面向量的基本定理及其意义． 【分析】=， =，∴=λ=λ（=，三点M，N，P共线．，即可求得λ． 【解答】解：∵=， =，∴=λ=λ（ =， ∵三点M，N，P共线．∴，则λ=． 故选：D． 7. 如图是一个几何体的三视图，其中正视图是边长为2的等边三角形，侧视图是直角边长分别为1与的直角三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积等于(     ) A． B． C． D． 参考答案： A 考点：由三视图求面积、体积． 专题：计算题；空间位置关系与距离． 分析：由题意，此几何体是一个底面半径为1，高为的圆锥沿其对称轴切开后的一半，由圆锥的体积公式直接求解即可选出正确选项 解答： 解：由题意，此几何体是一个底面半径为1，高为的圆锥沿其对称轴切开后的一半 故其体积是= 故选A 点评：本题考查简单几何体的三视图，此类题的关键是能由实物图得到正确的三视图或者由三视图可准确还原实物图 8. 已知集合M＝{y｜y＝x2}，N＝{y｜y=x}，则M∩N＝        A．                 B．                 C．[0，1]                   D．（0，1） 参考答案： B 9. 已知数列是各项均为正数且公比不等于的等比数列（）. 对于函数，若数列为等差数列，则称函数为“保比差数列函数”. 现有定义在上的如下函数：①，   ②，    ③，    ④，则为“保比差数列函数”的所有序号为             ………（   ）      ①②．       ③④．       ①②④．    ②③④ ． 参考答案： 10. 在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”（加增的顺序为从塔顶到塔底）．答案应为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 参考答案： D 【考点】等比数列的前n项和． 【分析】设此等比数列为{an}，q=2，S7=381．利用等比数列的求和公式即可得出． 【解答】解：设此等比数列为{an}，q=2，S7=381． 则=381，解得a1=3． 故选：D． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知向量的夹角为，，，则___________． 参考答案： 1 【命题意图】本小题主要考查向量的表示及运算等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力等；考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等；考查逻辑推理、直观想象、数学运算等． 【试题简析】因为，所以，解得. 【变式题源】（2017全国卷Ⅰ·理13）已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2， | b |=1，则| a +2 b |=       ． 12. 从3名男生和2名女生中选出2名参加某项活动，则选出的2名学生中至少有1名女生的概率为_______ 参考答案： 13. 函数的图象和函数且的图象关于直线对称，且函数，则函数图象必过定点___________。 参考答案： (1,－4) 因为恒过定点，所以过定点，所以过定点，填．   14. 已知，若有4个根，则的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿。 参考答案： 如图，，，，从而易知， 于是， 故 【考点】函数与方程，数形结合思想。 15. 已知为偶函数，当时，，则满足的实数 的个数有________个 参考答案： 8 略 16. 在四面体中，，二面角的大小为150°，则四面体外接球的半径为          ． 参考答案： 17. 设（为坐标原点），若三点共线，则的最小值是______________. 参考答案： 8 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知圆心在x轴上的圆C与直线l：4x+3y﹣6=0切于点M（，）． （1）求圆C的标准方程； （2）已知N（2，1），经过原点，且斜率为正数的直线L与圆C交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点． （ⅰ）求证： +为定值； （ii）求|PN|2+|QN|2的最大值． 参考答案： 【分析】（1）由题意设C（a，0），运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，解得a，再由两点的距离公式可得半径，进而得到所求圆的标准方程； （2）设直线l的方程为y=kx（k＞0），联立圆的方程，可得x的二次方程，运用韦达定理，即可证得 （ⅰ）+为定值； （ii）由两点的距离公式，以及韦达定理和基本不等式，化简整理，即可得到所求最大值． 【解答】解：（1）由圆心在x轴上的圆C与直线l：4x+3y﹣6=0切于点M（，）． 设C（a，0），则kCM=， ∴?（﹣）=﹣1，∴a=﹣1， ∴C（﹣1，0），|CM|=2，即r=2， ∴圆C的标准方程为（x+1）2+y2=4． （2）设直线l的方程为y=kx（k＞0）， 与圆的方程联立，可得（1+k2）x2+2x﹣3=0， △=4+12（1+k2）＞0， x1+x2=﹣，x1x2=﹣． （i）证明： +==为定值； （ii）|PN|2+|QN|2=（x1﹣2）2+（y1﹣1）2+（x2﹣2）2+（y2﹣1）2 =（x1﹣2）2+（kx1﹣1）2+（x2﹣2）2+（kx2﹣1）2 =（1+k2）（x1+x2）2﹣2（1+k2）x1x2﹣（4+2k）（x1+x2）+10=+16， 令3+k=t（t＞3），则k=t﹣3，上式即为+16=+16≤+16=2+22． 当且仅当t=，即k=﹣3时，取得最大值2+22． 【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 19. （本小题满分12分）   如图6，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD. （Ⅰ）证明：BD⊥PC； （Ⅱ）若AD=4，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥P-ABCD的体积.  [中国^教*~育出#版% 参考答案： （Ⅰ）因为 又是平面PAC内的两条相较直线，所以BD平面PAC， 而平面PAC，所以. （Ⅱ）设AC和BD相交于点O，连接PO，由（Ⅰ）知，BD平面PAC， 所以是直线PD和平面PAC所成的角，从而. 由BD平面PAC，平面PAC，知. 在中，由，得PD=2OD. 因为四边形ABCD为等腰梯形，，所以均为等腰直角三角形， 从而梯形ABCD的高为于是梯形ABCD面积 在等腰三角形ＡＯＤ中， 所以 故四棱锥的体积为.   【点评】本题考查空间直线垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算.第一问只要证明BD平面PAC即可，第二问由（Ⅰ）知，BD平面PAC，所以是直线PD和平面PAC所成的角，然后算出梯形的面积和棱锥的高，由算得体积. 20. （本小题满分12分） 过抛物线对称轴上任一点作直线与抛物线交于两点，点是点P关于原点的对称点. （1）当直线方程为时，过A,B两点的圆与抛物线在点A处有共同的切线， 求圆的方程 （2）设, 证明： 参考答案： (1)由解得点A,B的坐标分别是， 则AB的中点为，斜率为， 故AB的垂直平分线方程为          由得，，所以抛物线在点A处的切线斜率为3          设圆的方程为，则          解得，          所以圆M的方程为    （2）设AB方程为，，         由得，         由，得，又点，从而                         所以 21. 是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，．    （Ⅰ）求、的通项公式；     （Ⅱ）求数列的前n项和。 参考答案： 解:（Ⅰ）设的公差为，的公比为，则依题意有 且   解得，． 所以，．    （Ⅱ）． ，① ，② ②－①得， 22.        (本小题满分12分） 已知点F( 1，0)，与直线4x+3y + 1 ＝0相切，动圆M与及y轴都相切. (I )求点M的轨迹C的方程； (II)过点F任作直线l，交曲线C于A，B两点，由点A，B分别向各引一条切线，切点 分别为P，Q，记.求证是定值. 参考答案： （Ⅰ）⊙的半径为，⊙的方程为， 由题意动圆与⊙及轴都相切，分以下情况： （1）动圆与⊙及轴都相切，但切点不是原点的情况： 作⊥轴于，则，即，则（是过作直线的垂线的垂足），则点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线． ∴点的轨迹的方程为； （2）动圆与⊙及轴都相切且仅切于原点的情况： 此时点的轨迹的方程为；                   …6分 （Ⅱ）对于（Ⅰ）中（1）的情况： 当不与轴垂直时，直线的方程为，由得 ，设，则 ∴， 当与轴垂直时，也可得， 对于（Ⅰ）中（2）的情况不符合题意（即作直线，交于一个点或无数个点，而非两个交点）.    综上，有．                                          …12分 略