福建省宁德市古田第三中学2022-2023学年高一数学理联考试题含解析

福建省宁德市古田第三中学2022-2023学年高一数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数，，记函数，则函数的所有零点的和为（       ） A.5            B.-5             C.10             D.-10 参考答案： A 2. 已知数列，则是这个数列的第（     ）项 A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 参考答案： D 由，得 即 ， 解得 ， 故选D 3. 函数f（x）=x3﹣2x2﹣x+2的零点是（　　） A．1，2，3 B．﹣1，1，2 C．0，1，2 D．﹣1，1，﹣2 参考答案： B 【考点】函数的零点． 【分析】利用分组分解法可将函数f（x）的解析式分解成f（x）=（x+1）?（x﹣1）?（x﹣2）的形式，根据函数零点与对应方程根的关系，解方程f（x）=0，可得答案． 【解答】解：∵f（x）=x3﹣2x2﹣x+2 =x2（x﹣2）﹣（x﹣2） =（x2﹣1）?（x﹣2） =（x+1）?（x﹣1）?（x﹣2） 令f（x）=0 则x=﹣1，或x=1，或x=2 即函数f（x）=x3﹣2x2﹣x+2的零点是﹣1，1，2 故选B 4. 函数的实数解落在的区间是(     ) A．   B．   C．   D． 参考答案： B  解析： 5. 若方程ax2+bx+c=0的两实根为x1、x2,集合S={x|x>x1},T={x|x>x2},P={x|x0(a>0)的解集为                                           A.(S∪T)∩(P∪Q)  B.(S∩T)∩(P∩Q)     C.(S∪T)∪(P∪Q)     D.  (S∩T)∪(P∩Q)                   参考答案： D 6. 已知，若，则的值是（ ） A. B. 或 C. ，或 D. 参考答案： D 该分段函数的三段各自的值域为，而 ∴∴； 7. 在等差数列中，若，则其前11项和   （　　　） A.15            B.24                C.30               D.33 参考答案： D 略 8. 如图是挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为 A．84，4.84    B．84，1.6 C．85，1.6     D．85，4 参考答案： C 略 9. .cos(－)的值等于（    ）  A．       B．－     C．      D．－ 参考答案： B 略 10. 函数的定义域是（   ） A.       B.      C.     D. 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设集合A＝{1, 2, 3}, B＝{2, 4, 5}, 则______________. 参考答案： 略 12. 已知，，则        ． 参考答案： 略 13. 若实数满足：，则               . 参考答案： ；  解析：据条件，是关于的方程的两个根，即 的两个根，所以；． 14. 如图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线，各段弧所在的圆经过同一点P（点P不在上）且半径相等. 设第i段弧所对的圆心角为， 则____________ . 参考答案： 15. 设集合={a2，a+b，0}，则a2014+b2015=　   　． 参考答案： 1 【考点】集合的包含关系判断及应用． 【分析】根据集合相等的条件建立条件关系，即可求出a，b的值，进而可得a2014+b2015的值． 【解答】解：∵集合A={a，，1}，B={a2，a+b，0}，且A=B， ∴a≠0，则必有=0，即b=0， 此时两集合为A={a，0，1}，集合Q={a2，a，0}， ∴a2=1， ∴a=﹣1或1， 当a=1时，集合为P={1，0，1}，集合Q={1，1，0}，不满足集合元素的互异性． 当a=﹣1时，P={﹣1，0，1}，集合Q={1，﹣1，0}，满足条件， 故a=﹣1，b=0． a2014+b2015=1， 故答案为：1． 16. 已知腰长为2的等腰直角△ABC中，M为斜边AB的中点，点P为该平面内一动点，若，则的最小值 ________． 参考答案： 如图建立平面直角坐标系， ∴ ， 当sin时，得到最小值为，故选。 17. 若直线与直线平行，则__________. 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分14分）设为实数，函数，，求的最小值．   参考答案： 解：①当时， 当，则函数在上单调递减，从而函数在上的最小值为． 若，则函数在上的最小值为，且．…………4分 ②当时，函数 若，则函数在上的最小值为，且 若，则函数在上单调递增，从而函数在上的最小值为．…………8分 综上，当时，函数的最小值为，…………10分 当时，函数的最小值为，…………12分 当时，函数的最小值为．…………14分 19. 已知数列{an}满足，． （Ⅰ）若，求证：对一切的，，都有； （Ⅱ）若，记，求证：数列{bn}的前n项和； （Ⅲ）若，求证：． 参考答案： （Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）证明见解析. 【分析】 （Ⅰ）由得，当且仅当时等号成立；而可得，进而证得结论；（Ⅱ）由整理可得：；代入可得，进而，根据等比数列求和公式可证得结论；（Ⅲ）由整理可得：，可知，利用累加的方法可证得结论. 【详解】（Ⅰ）由得： 故有，当且仅当时等号成立 而，故有，即有 对一切的，，都有 （Ⅱ）当时，有，则有： ，即有 数列的前项和 （Ⅲ）由得： 即 累加可得： 【点睛】本题考查数列与不等式的综合应用问题，涉及到放缩法证明不等式、数列中的递推关系、等比数列求和公式的应用、累加累乘法的应用等知识，难点在于对数列通项进行合理的放缩，属于难题. 20. （12分）函数f（x）=Asin（ωx+?）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的一段图象如图所示． （1）求函数y=f（x）的解析式； （2）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，得到y=g（x）的图象，求直线y=与函数y=g（x）的图象在（0，π）内所有交点的坐标． 参考答案： 考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： （1）直接由五点作图的第一点求得φ值，则函数解析式可求； （2）由三角函数的图象平移求得函数g（x）的解析式，再由求得直线y=与函数y=g（x）的图象在（0，π）内所有交点的坐标． 解答： （1）由五点作图的第一点可知， φ=0，解得：φ=． ∴； （2）依题意=， 由直线与函数的图象相交得， 即， ∴或． 即或． 又∵x∈（0，π），故或． ∴交点坐标为． 点评： 本题考查了利用函数的部分图象求函数解析式，考查了三角函数的图象平移，是中档题． 21. （本大题满分15分） 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数： （其中x是仪器的月产量）． (1)将利润表示为月产量的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润) 参考答案： 22. 设数列{an}的前n项和为Sn，且满足an=2﹣Sn（n∈N*）． （Ⅰ）求a1，a2，a3，a4的值并猜想这个数列的通项公式 （Ⅱ）证明数列{an}是等比数列． 参考答案： 考点：等比关系的确定；归纳推理． 专题：计算题；探究型． 分析：（I）由已知中数列{an}的前n项和为Sn，且满足an=2﹣Sn，我们依次取n=1，2，3，4，即可求出a1，a2，a3，a4的值，然后分析所得前4项，分子和分母的分布规律，即可推断出这个数列的通项公式 （Ⅱ）由an=2﹣Sn可得an﹣1=2﹣Sn﹣1，两式相减即可判断出数列{an}的相邻两项的关系，进而得到数列{an}是等比数列． 解答： 解：（1） 猜想 （2）证明： ， ∴ 又∵a1=2﹣S1=2﹣a1， ∴ 点评：本题考查的知识点是等比关系的确定及归纳推理，其中在确定等比数列时的关键是判断an，an﹣1是否为一个常数．