2022年黑龙江省伊春市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案及部分解析)

2022年黑龙江省伊春市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案及部分解析) 学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________ 一、单选题(20题) 1.函数y=ln(1+x2)的单调增加区间是( )。 A.(-5，5) B.(-∞，0) C.(0，+∞) D.(-∞，+∞) 2.  3.单位长度扭转角θ与下列哪项无关( )。 A.杆的长度 B.扭矩 C.材料性质 D.截面几何性质 4. 5.  6. 7.A.0 B.1 C.2 D.任意值 8. A. B. C. D. 9.当x→0时，3x2+2x3是3x2的( )。 A.高阶无穷小 B.低阶无穷小 C.同阶无穷小但不是等价无穷小 D.等价无穷小 10.设y=sinx，则y'|x=0等于( )． A.1 B.0 C.-1 D.-2 11. 设函数f(x)与g(x)均在(α，b)可导，且满足f'(x)＜g'(x)，则f(x)与g(x)的关系是 A.必有f(x)＞g(x) B.必有f(x)＜g(x) C.必有f(x)=g(x) D.不能确定大小 12.  13.微分方程y'+y=0的通解为y= A.e-x+C B.-e-x+C C.Ce-x D.Cex 14. A.A.0 B.1 C.2 D.任意值 15. A.A.Ax B. C. D. 16.设函数f(x)在[a，b]上连续，则曲线y=f(x)与直线x=a，x=b，y=0所围成的平面图形的面积等于（ ）。 A. B. C. D. 17. 18.A.f(2x) B.2f(x) C.f(-2x) D.-2f(x) 19.设函数f(x)在区间[0，1]上可导，且f(x)＞0，则( ) A.f(1)＞f(0) B.f(1)＜f(0) C.f(1)=f(0) D.f(1)与f(0)的值不能比较 20.设f'(x0)=0，f"(x0)＜0，则下列结论必定正确的是( )． A.A.x0为f(x)的极大值点 B.x0为f(x)的极小值点 C.x0不为f(x)的极值点 D.x0可能不为f(x)的极值点 二、填空题(20题) 21. 函数f(x)=xe-x的极大值点x=__________。 22. 23. 24.  25.  26. 27. 28.  29.设z=x3y2，则 30. 31. 32.设函数f(x)有连续的二阶导数且f(0)=0，f'(0)=1，f''(0)=-2，则 33. 34. 35. 36.二元函数z=x2+y2+1的极小值为_______． 37. 38. 39.方程y'-ex-y=0的通解为_____. 40.  三、计算题(20题) 41.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0． 42. 43.  44.  45.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点． 46.证明： 47.  48. 49. 求微分方程的通解． 50. 求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值． 51. 52. 将f(x)=e-2X展开为x的幂级数． 53.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为 S(x)． (1)写出S(x)的表达式； (2)求S(x)的最大值． 54. 55. 求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程． 56.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度 u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m． 57.当x一0时f(x)与sin 2x是等价无穷小量，则 58. 求曲线在点(1，3)处的切线方程． 59.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几? 60.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解． 四、解答题(10题) 61. 确定a，b使得f(x)在x=0可导。 62. 63. 求通过点(1，2)的曲线方程，使此曲线在[1，x]上形成的曲边梯形面积的值等于此曲线弧终点的横坐标x与纵坐标y乘积的2倍减去4。 64. 65. 66.  67.  68.  69.  70. 五、高等数学(0题) 71.某工厂每月生产某种商品的个数x与需要的总费用函数关系为10+2x+ (单位：万元)。若将这些商品以每个9万元售出，问每月生产多少个产品时利润最大?最大利润是多少? 六、解答题(0题) 72. 设y=e-3x+x3，求y'。 参考答案 1.C 本题考查的知识点为判定函数的单调性。 y=ln(1+x2)的定义域为(-∞，+∞)。 当x＞0时，y'＞0，y为单调增加函数， 当x＜0时，y'＜0，y为单调减少函数。 可知函数y=ln(1+x2)的单调增加区间是(0，+∞)，故应选C。 2.B解析： 3.A 4.D 5.D 6.C 7.B 8.B 本题考查的知识点为交换二次积分次序。 由所给二次积分可知积分区域D可以表示为 1≤y≤2，y≤x≤2， 交换积分次序后，D可以表示为 1≤x≤2，1≤y≤x， 故应选B。 9.D 本题考查的知识点为无穷小阶的比较。 由于，可知点x→0时3x2+2x3与3x2为等价无穷小，故应选D。 10.A 由于  可知应选A． 11.D解析：由f'(x)＜g'(x)知，在(α，b)内，g(x)的变化率大于f(x)的变化率，由于没有g(α)与f(α)的已知条件，无法判明f(x)与g(x)的关系。 12.A解析： 13.C 14.B 15.D 16.C 17.C 18.A由可变上限积分求导公式可知因此选A． 19.A由f"(x)＞0说明f(x)在[0，1]上是增函数，因为1＞0，所以f(1)＞f(0)。故选A。 20.A 本题考查的知识点为函数极值的第二充分条件． 由极值的第二充分条件可知应选A． 21.1 22.1． 本题考查的知识点为导数的计算． 23. 24. 解析： 25. 26. 27. 28.2 29.12dx+4dy ；本题考查的知识点为求函数在一点处的全微分． 由于z=x3y2可知，均为连续函数，因此 30.1 31.-1 32.-1 33. 34. 35.本题考查的知识点为重要极限公式。 36.1 ；本题考查的知识点为二元函数的极值． 可知点(0，0)为z的极小值点，极小值为1． 37.1/2 本题考查的知识点为计算二重积分． 其积分区域如图1—1阴影区域所示． 可利用二重积分的几何意义或将二重积分化为二次积分解之． 解法1 解法2化为先对y积分，后对x积分的二次积分． 作平行于y轴的直线与区域D相交，沿Y轴正向看，人口曲线为y＝x，作为积分下限；出口曲线为y＝1，作为积分上限，因此 x≤y≤1． 区域D在x轴上的投影最小值为x＝0，最大值为x＝1，因此 0≤x≤1． 可得知 解法3化为先对x积分，后对y积分的二次积分． 作平行于x轴的直线与区域D相交，沿x轴正向看，入口曲线为x＝0，作为积分下限；出口曲线为x＝y，作为积分上限，因此 0≤x≤y． 区域D在y轴上投影的最小值为y＝0，最大值为y＝1，因此 0≤y≤1． 可得知 38. 39.ey=ex+C y'-ex-y=0，可改写为eydy=exdx，两边积分得ey=ex+C. 40.y''=x(asinx+bcosx) 41. 42. 43. 44. 则 45. 列表： 说明 46. 47. 由一阶线性微分方程通解公式有 48. 49. 50. 函数的定义域为 注意 51. 52. 53. 54. 55. 56.由二重积分物理意义知 57.由等价无穷小量的定义可知 58.曲线方程为，点(1，3)在曲线上． 因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0． 如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点 (x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为 59.需求规律为Q=100ep-2.25p ∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p, ∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％ 60.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0， 61. ①f(0)=1；f-=(0)=1；+(0)=a+b； ∵可导一定连续 ∴a+b=1② ∵可导f-"(x)=f+"(x) ∴b=-4∴a=5 ①f(0)=1；f-=(0)=1；+(0)=a+b； ∵可导一定连续 ∴a+b=1②∵可导f-"(x)=f+"(x) ∴b=-4∴a=5①f(0)=1；f-=(0)=1；+(0)=a+b； ∵可导一定连续 ∴a+b=1②∵可导f-"(x)=f+"(x) ∴b=-4∴a=5 62. 63. 64. 65. 66. 67. 68. 69. 70. 71.R(x)=9x(万元)；  ∴x=14取极大值L(14)=39； ∵唯一的极值点必为最值点； ∴每月生产14个利润最大；最大利润为39万元。R(x)=9x(万元)；  ∴x=14取极大值L(14)=39； ∵唯一的极值点必为最值点； ∴每月生产14个利润最大；最大利润为39万元。 72.