2022年河南省南阳市第十中学校高一数学理期末试卷含解析

2022年河南省南阳市第十中学校高一数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. A.                 B.    C.                 D． 参考答案： D 2. 若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（   ） A．                 B．a2＞b2                C．        D．a|c|＞b|c|   参考答案： C 略 3. 函数的定义域为（    ） A.    B.      C.        D. 参考答案： A 略 4. 已知集合M＝｛x|x＜3｝，N＝｛x|｝，则M∩N＝ (  )     B．｛x|0＜x＜3｝   C．｛x|1＜x＜3｝   D．｛x|2＜x＜3｝ 参考答案： C 略 5. 函数f（x）是奇函数，且在（0，+∞）内是单调递增函数，若f（3）=0，则不等式xf（x）＜0的解集是（　　） A．（﹣3，0）∪（3，+∞） B．（﹣∞，﹣3）∪（0，3） C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） D．（﹣3，0）∪（0，3） 参考答案： D 【考点】奇偶性与单调性的综合．  【专题】函数的性质及应用． 【分析】易判断f（x）在（﹣∞，0）上的单调性及f（x）图象所过特殊点，作出f（x）的草图，根据图象可解不等式． 【解答】解：∵f（x）在R上是奇函数，且f（x）在（0，+∞）上是增函数， ∴f（x）在（﹣∞，0）上也是增函数， 由f（3）=0，得f（﹣3）=﹣f（3）=0， 即f（﹣3）=0， 作出f（x）的草图，如图所示： 由图象，得xf（x）＜0?或， 解得0＜x＜3或﹣3＜x＜0， ∴xf（x）＜0的解集为：（﹣3，0）∪（0，3）， 故选：D． 【点评】本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，考查数形结合思想，灵活作出函数的草图是解题关键． 6. 在△ABC中，b2=ac，且a+c=3，cosB=，则?=（　　） A． B．﹣ C．3 D．﹣3 参考答案： B 【考点】HR：余弦定理；9R：平面向量数量积的运算． 【分析】利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，把已知等式及cosB的值代入求出ac的值，原式利用平面向量的数量积运算法则变形，将各自的值代入计算即可求出值． 【解答】解：∵在△ABC中，b2=ac，且a+c=3，cosB=， ∴由余弦定理得：cosB=====，即ac=2， 则?=﹣cacosB=﹣． 故选：B． 7. 函数f（x）=﹣2sinπx（﹣3≤x≤5）的所有零点之和等于（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 参考答案： D 【考点】函数零点的判定定理． 【分析】函数f（x）=﹣2sinπx（﹣3≤x≤5）的零点即函数y=与y=2sinπx的交点的横坐标，作函数图象求解． 【解答】解：函数f（x）=﹣2sinπx（﹣3≤x≤5）的零点即 函数y=与y=2sinπx的交点的横坐标， 而函数y=与y=2sinπx都关于点（1，0）对称， 故函数y=与y=2sinπx的交点关于点（1，0）对称， 作函数y=与y=2sinπx（﹣3≤x≤5）的图象如右， 可知有8个交点，且这8个交点关于点（1，0）对称； 故每一对对称点的横坐标之和为2，共有4对； 故总和为8． 故选D． 【点评】本题考查了函数的性质的应用及数形结合的数学思想应用，属于中档题． 　 8. 已知函数f（x）=4﹣x2，g（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时，g（x）=log2x，则函数y=f（x）?g（x）的大致图象为（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】函数的图象；函数奇偶性的性质． 【分析】由已知中函数f（x）=4﹣x2，当x＞0时，g（x）=log2x，我们易判断出函数在区间（0，+∞）上的形状，再根据函数奇偶性的性质，我们根据“奇×偶=奇”，可以判断出函数y=f（x）?g（x）的奇偶性，进而根据奇函数图象的特点得到答案． 【解答】解：∵函数f（x）=4﹣x2，是定义在R上偶函数 g（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数， 故函数y=f（x）?g（x）为奇函数，共图象关于原点对称，故A，C不正确 又∵函数f（x）=4﹣x2，当x＞0时，g（x）=log2x， 故当0＜x＜1时，y=f（x）?g（x）＜0； 当1＜x＜2时，y=f（x）?g（x）＞0； 当x＞2时，y=f（x）?g（x）＜0；故D不正确 故选B 9. 设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若, 则△ABC的 形状是  (    ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 参考答案： B 略 10. 函数,的图像与直线的交点个数是                                                 A．0个        B．1个        C． 0或1个       D．0或1或无数个 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为　　． 参考答案： 【考点】正弦函数的图象；余弦函数的图象． 【分析】设x=a与f（x）=sinx的交点为M（a，y1），x=a与g（x）=cosx的交点为N（a，y2），求出|MN|的表达式，利用三角函数的有界性，求出最大值． 【解答】解：设x=a与f（x）=sinx的交点为M（a，y1）， x=a与g（x）=cosx的交点为N（a，y2）， 则|MN|=|y1﹣y2|=|sina﹣cosa| =|sin（a﹣）|≤． 故答案为：． 12. 如下程序的运行结果是____________. 参考答案： 15 略 13. 的大小顺序是                   。   参考答案： 略 14. 已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则 ________． 参考答案： 2 15. 若，则的值为        ．　   参考答案： 略 16. 某样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3．若该样本的平均数为1,则样本方差为_______． 参考答案： 2 【分析】 先由数据的平均数公式求得，再根据方差的公式计算． 【详解】解：由题可知样本的平均值为1， ，解得， 样本的方差为． 故答案为：2. 17. 设集合A＝{x||x|<4}，B＝{x|x<1或x>3}，则集合{x|x∈A且xA∩B}＝_ 参考答案： [1，3] 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数. ⑴判断函数的奇偶性，并证明； ⑵利用函数单调性的定义证明：是其定义域上的增函数. 参考答案： 解：（1）为奇函数.                             的定义域为，                  又   为奇函数.                                    （2）  任取、，设，       , 又， ．在其定义域R上是增函数. 略 19. （本小题满分11分）如图：PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，PD与平面ABCD所成角是30°，点F是PB的中点，点E在边BC上移动. （1）求三棱锥E-PAD的体积; （2）点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系,并说明理由； （3）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF （4）当BE等于何值时，二面角P-DE-A的大小为45°. 参考答案： （1）三棱锥的体积.--3分 （2）当点为的中点时，与平面平行. ∵在中，、分别为、的中点，∴∥   又平面，而平面       ∴∥平面.               ………5分 （3）证明:, .又, 又，∴.  又,点是的中点, ,. . ………8分 (Ⅲ)过作于，连，又∵， 则平面, 则是二面角的平面角， ∴，∵与平面所成角是，∴， ∴，. ∴，，设，则，， 在中，，得.  ………11分 20. (本小题满分9分)在火车站A北偏东方向的C处有一电视塔，火车站正东方向的B处有一小汽车，测得BC距离31km，该小汽车从B处以60公里每小时的速度前往火车站，20分钟后到达D处，测得离电视塔21km,问小汽车到火车站还需要多长时间 参考答案： 由条件=,设, 在中,由余弦定理得 .=.在中,由正弦定理,得( )(分钟) 21. （本题满分14分）已知函数（），将的图象向右平移两 个单位，得到函数的图象，函数与函数的图象关于直线对 称. （Ⅰ）求函数和的解析式； （Ⅱ）若方程在上有且仅有一个实根，求的取值范围； （Ⅲ）设，已知对任意的恒成立，求的 取值范围. 参考答案： 解：（Ⅰ）. 设的图像上一点，点关于的对称点为, 由点在的图像上，所以， 于是  即. （Ⅱ）设，，∴. 得，即在上有且仅有一个实根. 设，对称轴. 若,则,两根为.适合题意; 若,则,两根为.适合题意. 若在内有且仅有一个实根, 则 ①   或    ② 由①得 ; 由②得  无解. 综上知 （Ⅲ）. 由，化简得，设，.   即对任意恒成立. 解法一：设，对称轴 则③   或   ④ 由③得， 由④得，即或. 综上，. 解法二：注意到，分离参数得对任意恒成立. 设，，即 . 可证在上单调递增. , ,即. 略 22. （12分）[已知函数f（x）=loga是奇函数（a＜0且a≠1） （1）求m的值； （2）判断f（x）在区间（1，+∞）上的单调性并加以证明； （3）当a＞1，时，f（x）的值域是（1，+∞），求a的值． 参考答案： 考点： 对数函数的图像与性质；函数奇偶性的性质． 专题： 计算题；证明题；函数的性质及应用． 分析： （1）由f（x）是奇函数知f（﹣x）=﹣f（x）在其定义域内恒成立，从而解出m并检验； （2）当0＜a＜1时，函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，当a＞1时，函数f（x）在区间（1，+∞）上为减函数；利用定义证明； （3）当a＞1时，在上为减函数，要使f（x）在上值域是（1，+∞），即，可得．从而构造函数求解． 解答： （1）∵f（x）是奇函数， ∴f（﹣x）=﹣f（x）在其定义域内恒成立， 即， ∴1﹣m2x2=1﹣x2， ∴m=﹣1或m=1（舍去）， ∴m=﹣1． （2）当0＜a＜1时，函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数， 当a＞1时，函数f（x）在区间（1，+∞）上为减函数，证明如下， 由（1）得， 设，任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2 ∴， ∵x1＞1，x2＞1，x1＜x2 ∴t（x1）＞t（x2）， 即； 所以当a＞1时， 函数f（x）在区间（1，+∞）上为减函数； 所以当0＜a＜1时， 函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数； （3）当a＞1时，在上为减函数， 要使f（x）在上值域是（1，+∞），即，可得． 令在上是减函数． 所以， 所以．所以． 点评： 本题考查了函数的性质的判断与应用，属于中档题．