2022年江苏省扬州市私立中学高三数学理期末试题含解析

2022年江苏省扬州市私立中学高三数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 数列{an}中，a1=，an+1=（其中n∈N*），则使得a1+a2+a3+…+an≥72成立的n的最小值为（　　） A．236 B．238 C．240 D．242 参考答案： B 【考点】数列递推式． 【分析】由数列递推式得到数列为周期是4的周期数列，求出前4项的和，得到前236项和小于72，加上第237和第238项和后满足条件． 【解答】解：由a1=，an+1=，得 ，，，， … 由上可知，数列{an}是以4为周期的周期数列， 又． ∵， ∴数列{an}的前236项和小于72，加上为大于72， ∴使得a1+a2+a3+…+an≥72成立的n的最小值为238． 故选：B． 2. 在（1﹣x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn中，若2a2+an﹣5=0，则自然数n的值是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 参考答案： B 【考点】二项式定理的应用． 【分析】由二项展开式的通项公式Tr+1=?（﹣1）rxr可得ar=（﹣1）r?，于是有2（﹣1）2+（﹣1）n﹣5=0，由此可解得自然数n的值． 【解答】解：由题意得，该二项展开式的通项公式Tr+1=?（﹣1）rxr， ∴该项的系数ar=（﹣1）r?， ∵2a2+an﹣5=0， ∴2（﹣1）2+（﹣1）n﹣5=0，即2+（﹣1）n﹣5?=0， ∴n﹣5为奇数， ∴2==， ∴2×=， ∴（n﹣2）（n﹣3）（n﹣4）=120． ∴n=8． 故答案为：8． 3. 设函数，则“”是“函数在上存在零点”的（   ） A．充分而不必要条件    B．必要而不充分条件 C．充分必要条件    D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 【知识点】零点与方程 【试题解析】因为 所以若，则函数在上存在零点； 反过来，若函数在上存在零点，则 则故不一定。 故答案为：A 4. 集合M={x|x=+1,n∈Z}，N={y|y=m+,m∈Z }，则两集合M，N的关系为（　　） A．M∩N=? B．M=N C．M?N D．N?M 参考答案： D 【分析】对集合M中的n分奇数、偶数讨论，然后根据元素的关系判断集合的关系． 【解答】解：由题意，n为偶数时，设n=2k，x=k+1， 当n为奇数时，设n=2k+1，则x=k+1+， ∴N?M， 故选D． 【点评】本题主要考查集合关系的判断，利用集合元素的关系判断集合关系是解决本题的关键． 5. 在等差数列中，若，则的值为(      )    A．20     B．22              C．24              D．28 参考答案： C 略 6. 关于的方程的不等实根的个数为（    ） A．1         B．3       C．5         D．1或5 参考答案： B 7. 是的（  　  ）   A．充分必要条件         B．充分不必要条件 C．必要不充分条件     　D．既不充分也不必要条件 参考答案： C   8. 下列命题错误的是 A.命题“若则”的逆否命题为“若则” B.若为假命题，则均为假命题 C.命题存在使得，则任意都有 D.“x>2”是“”的充分不必要条件 参考答案： B 略 9. 若函数的图象如右图，其中a，b为常数，则函数的大致图象是 (     ） 参考答案： D  10. 设则                           （     ） A.      B.     C.    D. 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 下图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降2米后水面宽        米。 参考答案： 略 12. 已知过点P（1，0）且倾斜角为60°的直线l与抛物线交于A、B两点，则弦长|AB|=            . 参考答案： 13. 用火柴棒摆“金鱼”，如图所示： 按照上面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为      ▲     。 参考答案： 略 14. 已知，，满足，则       ． 参考答案：            15. 已知同一平面上的向量，，，满足如下条件： ①； ②； ③， 则的最大值与最小值之差是　　． 参考答案： 2 考点： 平面向量数量积的运算；向量的模．. 专题： 平面向量及应用． 分析： 根据②③判断出四边形ABCQ是正方形，并建立坐标系，找出A，B，C及Q的坐标，设出P的坐标，利用向量的坐标运算求出的坐标，由①和向量的模列出关系式，化简后可得到点P的轨迹方程，其轨迹方程为一个圆，找出圆心坐标和半径，根据平面几何知识即可得到|PQ|的最大值及最小值． 解答： 解：根据②③画出图形如下：并以AB 为x轴，以AQ为y轴建立坐标系， ∵，∴，则四边形ABCQ是矩形， ∵，∴AC⊥BQ，则四边形ABCQ是正方形， 则A（0，0），B（2，0），Q（0，2），C（2，2），设P（x，y）， ∴=（﹣x，﹣y）+（2﹣x，﹣y）=（2﹣2x，﹣2y）， ∵，∴（2﹣2x）2+4y2=4，化简得（x﹣1）2+y2=1， 则点P得轨迹是以（1，0）为圆心，以1为半径的圆， ∴|PQ|是点Q（0，2）到圆（x﹣1）2+y2=1任一点的距离， 则|PQ|最大值是+1，最小值是﹣1， 即的最大值与最小值之差是2， 故答案为2． 点评： 本题题考查了向量的线性运算的几何意义，数量积的性质，以及圆的标准方程和两点间的距离公式，解本题的关键是根据题意正确画出图形，并判断出特征，再建立合适的平面直角坐标系，找出动点P的轨迹方程，难度较大，体现了向量问题、几何问题和代数问题的转化． 16. 已知中，，，点为线段上的动点，动点满足，则的最小值等于    ▲    ． 参考答案： 17. 已知=3，，则=         ． 参考答案： 考点：极限及其运算． 专题：导数的综合应用． 分析：利用数列极限的运算法则即可得出． 解答： 解：∵=3，， 则===． 故答案为：． 点评：本题考查了数列极限的运算法则，属于基础题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，已知矩形中， 、分别是、上的点， ， ， ， 、分别是、的中点，现沿着翻折，使得二面角大小为. （Ⅰ）求证： 平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值. 参考答案： Ⅰ）取的中点，连接， ，又为的中点，所以， 平面， 平面，所以平面，同理可证， 平面，又因为，所以平面平面， 平面，所以平面. （Ⅱ）在平面内，过点作的垂线，易证明这条垂线垂直平面，因为二面角大小为，所以，建立空间直角坐标系如图所示，则， ， ， ， ，则， ， ， 设平面的一个法向量，根据 ，令，则， ，所以，设平面的一个法向量，根据 ，令，则， ，所以， 所以 ，所以二面角的余弦值为. 19. 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：x+8（0＜x≤120）．已知甲、乙两地相距100千米． （Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 参考答案： 考点：利用导数研究函数的极值；函数模型的选择与应用． 专题：计算题；应用题． 分析：（I）把用的时间求出，在乘以每小时的耗油量y即可． （II）求出耗油量为h（x）与速度为x的关系式，再利用导函数求出h（x）的极小值判断出就是最小值即可． 解答： 解：（I）当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了小时， 要耗油（升）． 答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升． （II）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h（x）升， 依题意得，． 令h'（x）=0，得x=80． 当x∈（0，80）时，h'（x）＜0，h（x）是减函数； 当x∈（80，120）时，h'（x）＞0，h（x）是增函数． ∴当x=80时，h（x）取到极小值h（80）=11.25． 因为h（x）在（0，120]上只有一个极值， 所以它是最小值． 答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升． 点评：本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力． 20. 设正实数x、y、z满足，则当取得最大值时，的最大值为 　　　　　　　　　　　　　　　 参考答案： 1 21. 已知极坐标的极点在直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合， 直线l的参数方程为， 圆C的极坐标方程为． （Ⅰ）若直线l与圆C相切，求的值; （Ⅱ）若直线l与圆C有公共点，求的范围． 参考答案： 将方程和化为普通方程。则有，，有图可知 （Ⅰ）直线l与圆C相切时， （Ⅱ）直线l与圆C有公共点， 略 22. （本小题满分12分） 已知函数。 （1）讨论函数的单调区间； （2）若在恒成立，求的取值范围。 参考答案： （1） 当时，单调递减， 单调递增。 当时，单调递增。 所以，当时，单调递减区间为，递增区间为； 当时，单调递增区间为．……………4分 （2），得到 令函数                          由（1）知 所以单调递减，单调递增。 ，即， 在单调递减， 在，，若恒成立，则     …………12分