2022-2023学年福建省福州市宦溪中学高三数学理下学期期末试卷含解析

2022-2023学年福建省福州市宦溪中学高三数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数在其定义域内可导，若，且当时，有设则                                    A．        B．        C．        D． 参考答案： C 2. 数列{an}满足an+2=2an+1﹣an，且a2014，a2016是函数f（x）=+6x﹣1的极值点，则log2（a2000+a2012+a2018+a2030）的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 参考答案： C 【考点】利用导数研究函数的极值；等差数列的性质． 【专题】计算题；函数思想；转化思想；导数的综合应用；等差数列与等比数列． 【分析】利用导数即可得出函数的极值点，再利用等差数列的性质及其对数的运算法则即可得出． 【解答】解：函数f（x）=+6x﹣1，可得f′（x）=x2﹣8x+6， ∵a2014，a2016是函数f（x）=+6x﹣1的极值点， ∴a2014，a2016是方程x2﹣8x+6=0的两实数根，则a2014+a2016=8． 数列{an}中，满足an+2=2an+1﹣an， 可知{an}为等差数列， ∴a2014+a2016=a2000+a2030，即a2000+a2012+a2018+a2030=16， 从而log2（a2000+a2012+a2018+a2030）=log216=4． 故选：C． 【点评】熟练掌握利用导数研究函数的极值、等差数列的性质及其对数的运算法则是解题的关键． 3. 设函数f（x）=sin（﹣2x），x∈R，则f（x）是(     ) A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 参考答案： B 考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的奇偶性． 专题：计算题；三角函数的图像与性质． 分析：根据﹣α的诱导公式，化简得函数f（x）=sin（﹣2x）=cos2x，由此结合余弦函数的奇偶性和三角函数的周期公式进行计算，即可得到本题答案． 解答： 解：∵sin（﹣α）=cosα， ∴函数f（x）=sin（﹣2x），即f（x）=cos2x 可得f（x）是偶函数，最小正周期T==π 故选：B 点评：本题给出三角函数式，求函数的周期与奇偶性，着重考查了三角函数的图象与性质和三角函数的周期公式等知识，属于基础题． 4. 设集合A={x|1≤x≤2}，B={y|1≤y≤4}，则下述对应法则f中，不能构成A到B的映射的是(     ) A．f：x→y=x2 B．f：x→y=3x﹣2 C．f：x→y=﹣x+4 D．f：x→y=4﹣x2 参考答案： D 【考点】映射． 【专题】应用题． 【分析】按照映射的定义，一个对应能构成映射的条件是，A中的每个元素在集合B中都有唯一的确定的一个元素与之对应． 判断题中各个对应是否满足映射的定义，从而得到结论． 【解答】解：对于对应f：x→y=x2，当1≤x≤2 时，1≤x2≤4，在集合A={x|1≤x≤2}任取一个值x， 在集合B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一个y值与之对应，故A中的对应能构成映射． 对于对应f：x→y=3x﹣2，当1≤x≤2 时，1≤3x﹣2≤4，在集合A={x|1≤x≤2}任取一个值x， 在集合B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一个y值与之对应，故B中的对应能构成映射． 对于对应f：x→y=﹣x+4，当1≤x≤2 时，2≤﹣x+4≤3，在集合A={x|1≤x≤2}任取一个值x， 在集合B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一个y值与之对应，故B中的对应能构成映射． 对于对应f：x→y=4﹣x2 ，当x=2 时，y=0，显然y=0不在集合B中，不满足映射的定义， 故D中的对应不能构成A到B的映射． 故选D． 【点评】本题考查映射的定义，一个对应能构成映射时，必须使A中的每个元素在集合B中都有唯一的确定的一个元素 与之对应． 5. 已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（    ） A．若则       B．若，，则 C．若，，则    D．若，，则 参考答案： B 6. 执行如右图所示的程序框图，如输入，则输出的值为 A.5   B.   C.9   D. 参考答案： D 7. 已知单位向量和的夹角为,记 , , 则向量与的夹角为 (A)        (B)          (C)       (D) 参考答案： 【知识点】平面向量数量积的运算．F3 C   解析：由于单位向量和的夹角为， 则， 则， ，， 即有 则由于0°≤＜，＞≤180°， 则向量与的夹角为120°． 故选C． 【思路点拨】运用向量的数量积的定义，求得单位向量和的数量积，再求向量与的数量积和模，运用向量的夹角公式计算即可得到夹角． 8. 已知数列{}的前n项和，正项等比数列{}中，则 A、n－1　　B、2n－1　　C、n－2　　D、n 参考答案： D 法一：因为，所以，，验证可知A,B,C均不符合，故答案为D. 法二：因为，所以，又，即，∴，．所以数列{bn}的通项公式是，所以．故选D． 9. 已知是上的减函数，那么的取值范围是（    ） A．          B．          C．         D． 参考答案： C 10. 若是方程式 的解，则属于区间          （   ） A．（0，1）       B．（1，2）.      C．（2，3）     D．（3，4） 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若向量，满足，，且，的夹角为，则　　　　． 参考答案： 12. 从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为             . 分数 5 4 3 2 1 人数 20 10 30 30 10 参考答案： 答案：  13. 若展开式的常数项是60，则常数a的值为           ． 参考答案： 14. 若x、y满足约束条件的取值范围是         . 参考答案： [2,6] 15. 等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则公比q=_______. 参考答案： -2 16. （5分）已知α为第三象限角，且 sin（π﹣α）=﹣，f（α）== ． 参考答案： 考点： 同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值． 专题： 三角函数的求值． 分析： 已知等式利用诱导公式化简求出sinα的值，由α为第三象限，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，f（α）利用诱导公式化简，约分后将cosα的值代入计算即可求出值． 解答： ∵α为第三象限角，且sin（π﹣α）=sinα=﹣， ∴cosα=﹣=﹣， 则原式==﹣cosα=， 故答案为：． 点评： 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，运用诱导公式化简求值，熟练掌握基本关系及诱导公式是解本题的关键． 17. 椭圆上的点到直线的最大距离是          参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知向量且m⊥n，又函数的图像任意两相邻对称轴间距为   （1）求ω的值；    （2）探讨函数上的单调性． 参考答案： 略 19. 如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA1=3， D为AC的中点. (1)求证：AB1//面BDC1； (2）求二面角C1—BD—C的余弦值； (3）在侧棱AA-1上是否存在点P，使得CP⊥面BDC1？并证明你的结论. 参考答案： 略 解析：解：（I）证明：连接B1C，与BC1相交于O，连接OD        ∵BCC1B1是矩形，∴O是B1C的中点. 又D是AC的中点，∴OD//AB1.………………………2分 ∵AB-1面BDC-1，OD面BDC1，∴AB1//面BDC1.………4分    （II）解：如图，建立空间直角坐标系，则          C1（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），A（2，3，0），          D（1，3，0）……………………5分          设=（x1，y1，z1）是面BDC1的一个法向量，则 即.…………………………………………6分 易知=(0，3，0)是面ABC的一个法向量. .……………………………8分 ∴二面角C1—BD—C的余弦值为.…………………………………………9分 （III）假设侧棱AA1上存在一点P（2，y，0）（0≤y≤3），使得CP⊥面BDC1.则∴方程组无解.∴假设不成立. ∴侧棱AA1上不存在点P，使CP⊥面BDC1.……………………………14分   略 20. (本小题满分12分）已知中，、、是三个内角、、的对边，关于 的不等式的解集是空集． （Ⅰ）求角的最大值； （Ⅱ）若，的面积，求当角取最大值时的值． 参考答案： （Ⅰ）由关于 的不等式的解集是空集， 得…………………………………6分 （Ⅱ） ，且，故 …………………………………………………………………………12分 21. 已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F、G分别是PA、PB、BC的中点． （I）求证：EF⊥平面PAD； （II）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小． 参考答案：   解答： 解：（I）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD， ∴AB⊥平面PAD，（4分） ∵E、F为PA、PB的中点， ∴EF∥AB， ∴EF⊥平面PAD；                        （6分） （II）解：过P作AD的垂线，垂足为O， ∵平面PAD⊥平面ABCD，则PO⊥平面ABCD． 取AO中点M，连OG，EO，EM， ∵EF∥AB∥OG， ∴OG即为面EFG与面ABCD的交线（8分） 又EM∥OP，则EM⊥平面ABCD．且OG⊥AO， 故OG⊥EO ∴∠EOM 即为所求       （11分） 在RT△EOM中，EM=OM=1 ∴tan∠EOM=，故∠EOM=60° ∴平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小是60°．（14分） 略 22. （12分）集合. （1）若集合只有一个元素，求实数的值； （2）若是的真子集，求实数的取值范围. 参考答案： 解：（1）根据集合有有两个相等的实数根，所以 或； （2）根据条件， ， 是的真子集，所以当时， ； 当时，根据（1）将分别代入集合检验，当， ， 不满足条件，舍去；当， ，满足条件； 综上，实数的取值范围是．