2022-2023学年湖南省邵阳市洞口县大屋瑶族乡中学高三数学理月考试题含解析

2022-2023学年湖南省邵阳市洞口县大屋瑶族乡中学高三数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】双曲线的标准方程． 【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程为x=﹣6，而通过双曲线的标准方程可见其焦点在x轴上，则双曲线的左焦点为（﹣6，0），此时由双曲线的性质a2+b2=c2可得a、b的一个方程；再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x，可得=，则得a、b的另一个方程．那么只需解a、b的方程组，问题即可解决． 【解答】解：因为抛物线y2=24x的准线方程为x=﹣6， 则由题意知，点F（﹣6，0）是双曲线的左焦点， 所以a2+b2=c2=36， 又双曲线的一条渐近线方程是y=x， 所以， 解得a2=9，b2=27， 所以双曲线的方程为． 故选B． 2. 设集合，在上定义运算：，其中为被3除的余数，，则使关系式成立的有序数对总共有 A．１对　　　　B．２对　　　　C．３对　　　　D．４对 参考答案： C 3. 一空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为，则正视图与侧视图中x的值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 参考答案： C 考点：空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图 试题解析：因为该几何体上面为一正四棱锥，下面为一个圆柱，，得，故答案为：C 4. 直线与圆的位置关系是（   ） A．相交            B．相切            C．相离              D．不能确定 参考答案： A 试题分析：直线必过定点，因为，所以点在圆的内部，所以直线与圆相交，故选A． 考点：直线与圆的位置关系． 5. 已知全集，集合，，则   （　　）        A．（0，2）   B．      C．[0，2]      D． 参考答案： D 略 6. 已知过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点（点在第一象限），若，则直线的斜率为 A.          B. C.          D. 2 参考答案： A 7. 已知向量、的夹角为，且，那么的值为（     ） A．48 B．32 C．1 D．0 参考答案： D 略 8. 已知函数是自然对数的底数）与的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（   ） A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 由已知，得到方程即在[，e]上有解，构造函数，求出它的值域，即可得到a的范围． 【详解】根据题意，若函数（，是自然对数的底数）与的图象上存在关于轴对称的点， 则方程在区间上有解，即，即方程在区间上有解，设函数，其导数， 又，在有唯一的极值点， 分析可得：当时，，为减函数， 当时，，为增函数， 故函数有最小值， 又由，，比较得， 故函数有最大值， 故函数在区间上的值域为； 若方程在区间上有解，必有，则有，即的取值范围是. 故选A. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的值域问题，考查了构造函数法求方程的解及参数范围，考查了转化思想，属于中档题． 9. 将函数的图象向左平移个单位（），是所得函数的图象的一个对称中心，则的最小值为 A．         B．    C．      D． 参考答案： B 略 10. 已知函数是偶函数，且，当[0，2]时，，则方程在区间[-8，8]上的解的个数为 A.6  B.7   C.8    D. 9 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QO|=　　． 参考答案： 3 【考点】抛物线的简单性质． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】抛物线C：y2=8x的焦点为F（2，0），设P（﹣2，t），Q（x，y）．利用=4，可得（﹣4，t）=4（x﹣2，y），解得（x，y），代入y2=8x可得，再利用两点之间的距离公式即可得出． 【解答】解：抛物线C：y2=8x的焦点为F（2，0）， 设P（﹣2，t），Q（x，y）． ∵=4， ∴（﹣4，t）=4（x﹣2，y）， ∴，代入y2=8x可得， ∴t2=128． =3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、向量的坐标运算、两点之间的距离公式，考查了计算能力，属于基础题． 12. 在区间内随机取两个数a、b，  则使得函数有零点的概率    　为           。 参考答案： 略 13. 等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表中的同一列，则数列的通项公式______________.   第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 参考答案： 14. 已知抛物线方程为，则其准线方程为　　． 参考答案： y=﹣1 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】利用抛物线的性质，求解即可． 【解答】解：抛物线方程为，则标准方程为：x2=4y． 则其准线方程为：y=-1． 故答案为：y=-1． 15. 已知棱长为2的正方体的各顶点都在同一个球面上，则该球的体积为   　． 参考答案： 4π 解：若棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上， 则球的直径等于正方体的对角线长 即2R＝2 ∴R＝ 则球的体积V＝＝4π． 故答案为：4π． 16. 已知变量x、y满足条件，若目标函数 (其中) 仅在(4，2)处取得最大值，则的取值范围是         。 参考答案： 不等式组表示的平面区域如图所示， 目标函数可化为()，      显然当，即时，目标函数仅在(4，2)处取得最大值。 17. 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象如图所示，则f（4）=　      　． 参考答案： 【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，从而求得f（4）的值． 【解答】解：根据函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象，可得==3﹣1，∴ω=， 再根据五点法作图可得ω?1+φ=，∴φ=﹣，∴f（x）=sin（x﹣）， ∴f（4）=sin（3π﹣）=sin（π﹣）=， 故答案为：． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （14分）已知函数f（x）=ax++（1﹣2a）（a＞0） （1）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围； （2）证明：1+++…+≥ln（n+1）+（n≥1）； （3）已知S=1+++…+，求S的整数部分．（ln2014≈7.6079，ln2015≈7.6084） 参考答案： 考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用． 分析：（1）利用f（x）≥lnx，构造g（x）=f（x）﹣lnx，问题转化为g（x）=f（x）﹣lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，利用导数求出函数在[1，+∞）上的最小值大于0，求a的取值范围； （2）由（1）可知a≥时，f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，则当a=时，（x﹣）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，对不等式的左侧每一项裂项，然后求和，即可推出要证结论； （3）运用（2）的结论和S=1+++…+＜1×2++…+×28=9，即可得到整数部分． 解答： 解：（1）∵函数f（x）=ax++（1﹣2a）， f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立， 设g（x）=f（x）﹣lnx，则g（x）=f（x）﹣lnx≥0在[1，+∞）上恒成立， ∴g（x）min≥0， 又∵g′（x）=a﹣﹣=， 而当=1，即a=时， ①当≤1即a时， g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立， ∴g（x）min=g（1）=0≥0； ②当＞1即0＜a＜时， g′（x）=0时x=； 且1≤x＜时，g′（x）＜0， 当x＞时，g′（x）＞0； 则g（x）min=g（）≥0①， 又∵g（）≤g（1）=2a﹣1＜0与①矛盾，不符题意，故舍． ∴综上所述，a的取值范围为：[，+∞）．   （2）证明：由（1）可知a时，f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立， 则当a=时，（x﹣）≥lnx在[1，+∞）上恒成立， 令x依次取，，，…，时， 则有 ×（ ﹣）≥ln ，×（ ﹣）≥ln ， …×（ ﹣）≥ln ， 由同向不等式可加性可得 [（+++…+）﹣（ +++…+）]≥ln（n+1）， 即 [（1+++…++n）﹣（n﹣﹣﹣﹣…﹣）]≥ln（n+1）， 也即 [2（1+++…+）+﹣1]≥ln（n+1）， 也即1+++…+＞ln（n+1）+（n≥1）．   （3）由（2）的结论，可得，S=1+++…+≥ln2015+∈（8，9）， 又S=1+++…+＞dx=lnx|=ln2014≈7.6， 则有S的整数部分为9． 点评：本题是难题，考查函数与导数的关系，曲线切线的斜率，恒成立问题的应用，累加法与裂项法的应用，数学归纳法的应用等知识，知识综合能力强，方法多，思维量与运算量以及难度大，需要仔细审题解答，还考查分类讨论思想． 19. 小白鼠被注射某种药物后，只会表现为以下三种症状中的一种：兴奋、无变化（药物没有发生作用）、迟钝．若出现三种症状的概率依次为现对三只小白鼠注射这种药物． （I）求这三只小白鼠表现症状互不相同的概率； （II）用表示三只小白鼠共表现症状的种数，求的颁布列及数学期望． 参考答案： 表示第二只小白鼠注射药物后表现症状为兴奋、无变化、及迟钝， 用表示第三只小白鼠注射药物后表现症状为兴奋、无变化、及迟钝. 三只小白鼠反应互不相同的概率为      …………………3分       ………………………5分 （Ⅱ）可能的取值为. , ，………………………………………8分 ．或 .……………………10分 所以，的分布列是 1 2 3   所以，．…………12分 略 20. 已知函数满足，其中， (1）对于函数，当时，，求实数的集合； (2）当时，的值恒为负数，求的取值范围. 参考答案： 令，则.     因为 所以是R上的奇函数；  当时，，是增函数，是增函数 所以是R上的增函数； 当时，是减函数，是减函数 所以是R上的增函数； 综上所述，且时，是R上的增函数。  (1）由有                解得      (2）因为是R上的增函数，所以也是R上的增函数 由得所以 要使的值恒为负数，只需， 即        解得 又，所以的取值范围是或1<  21. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系． （1）写出曲线C的极坐标方程； （2）设点M的极坐标为（），过点M的直线l与曲线C相交于A，B两点，若|MA|=2|MB|，求AB的弦长． 参考答案： 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程． 【分析】（1）由曲线C的参数方程先求出曲线C的直角坐标方程，由此能求出曲线C的极坐标方程． （2）先求出直线l的参数方程，与