黑龙江省绥化市东兴办事处中学高三数学理期末试题含解析

黑龙江省绥化市东兴办事处中学高三数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），若f（3）=1，且3f（x）+xf′（x）＞1，则不等式（x﹣2017）3f（x﹣2017）﹣27＞0的解集为（　　） A．（2014，+∞） B．（0，2014） C．（0，2020） D．（2020，+∞） 参考答案： D 【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算． 【分析】令g（x）=x3f（x），判断出g（x）在（0，+∞）递增，原不等式转化为g（x﹣2017）＞g（3），解出即可． 【解答】解：∵3f（x）+xf′（x）＞1， ∴3x2f（x）+x3f′（x）＞x2＞0， 故[x3f（x）]′＞0， 故g（x）=x3f（x）在（0，+∞）递增， ∵（x﹣2017）3f（x﹣2017）﹣27f（3）＞0， ∴（x﹣2017）3f（x﹣2017）＞33f（3）， 即g（x﹣2017）＞g（3），故x﹣2017＞3，解得：x＞2020， 故原不等式的解集是（2020，+∞）， 故选：D． 2.   设实数，，，则三数由小到大排列是           参考答案： 3. 若等于（     ） A．          B．      C．          D． 参考答案： D 略 4. 函数图象的一条对称轴方程可以为 A．     B．     C．     D． 参考答案： D 略 5. 已知函数，则不等式的解集是    A．             B． C．               D． 参考答案： D 略 6. 若，，则 (    ) A．，   B．，    C. ，      D. ， 参考答案： D 7. 设α，β都是锐角，且cosα=，sin（α﹣β）=，则cosβ=（　　） A． B．﹣ C．或﹣ D．或 参考答案： A 【考点】两角和与差的余弦函数． 【专题】三角函数的求值． 【分析】注意到角的变换β=α﹣（α﹣β），再利用两角差的余弦公式计算可得结果． 【解答】解：∵α，β都是锐角，且cosα=，sin（α﹣β）=， ∴sinα==； 同理可得， ∴cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）=?+?=， 故选：A． 【点评】本题考查两角和与差的余弦公式，考查同角三角函数间的关系式的应用，属于中档题． 8. 等差数列{an}的前n项和为Sn，若，则（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 参考答案： A 【分析】 由已知结合等差数列的前n项和求得，再由等差数列的性质得答案． 【详解】在等差数列{an}中，由， 得，即＝4．又＝2， ∴， ∴=2， 故选：A． 【点睛】本题考查等差数列的性质，考查等差数列的前n项和，是基础题． 9. 已知：“直线的倾斜角”；：“直线的斜率”，则是的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： C 考点：充要条件 10. 如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在(　　) A．直线AB上  　　 B．直线BC上 C．直线AC上  　　 D．△ABC内部 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知等比数列中，，，若数列满足，则数列的前项和                  ． 参考答案： 12. 已知在中，角，，的对边分别为，，，则下列四个论断中正确的是          ．（把你认为是正确论断的序号都写上） ①若，则； ②若，，，则满足条件的三角形共有两个； ③若，，成等差数列，，，成等比数列，则为正三角形； ④若，，的面积，则. 参考答案： ①③ 13. 在四边形中，，，则                        参考答案： -1 14. 一个球的表面积为，则它的内接圆柱的体积的最大值是         . 参考答案： 15. 在三角形ABC中，内角A、B、C的对边分别为、、，已知，且,则         参考答案： 2 16. 参考答案： 略 17. 函数的零点个数为    ． 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，在正△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且AD=AC，AE=AB，BD，CE相交于点F． （Ⅰ）求证：A，E，F，D四点共圆； （Ⅱ）若正△ABC的边长为2，求，A，E，F，D所在圆的半径． 参考答案： 【考点】分析法和综合法． 【专题】计算题；证明题． 【分析】（I）依题意，可证得△BAD≌△CBE，从而得到∠ADB=∠BEC?∠ADF+∠AEF=π，即可证得A，E，F，D四点共圆； （Ⅱ）取AE的中点G，连接GD，可证得△AGD为正三角形，GA=GE=GD=，即点G是△AED外接圆的圆心，且圆G的半径为． 【解答】（Ⅰ）证明：∵AE=AB， ∴BE=AB， ∵在正△ABC中，AD=AC， ∴AD=BE， 又∵AB=BC，∠BAD=∠CBE， ∴△BAD≌△CBE， ∴∠ADB=∠BEC， 即∠ADF+∠AEF=π，所以A，E，F，D四点共圆．… （Ⅱ）解：如图， 取AE的中点G，连接GD，则AG=GE=AE， ∵AE=AB， ∴AG=GE=AB=， ∵AD=AC=，∠DAE=60°， ∴△AGD为正三角形， ∴GD=AG=AD=，即GA=GE=GD=， 所以点G是△AED外接圆的圆心，且圆G的半径为． 由于A，E，F，D四点共圆，即A，E，F，D四点共圆G，其半径为．… 【点评】本题考查利用综合法进行证明，着重考查全等三角形的证明与四点共圆的证明，突出推理能力与分析运算能力的考查，属于难题． 19. （本小题满分12分） 已知函数（e为自然对数的底数） （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）设不等式的解集为P，且，求实数a的取值范围； （Ⅲ）设，证明：   参考答案： 22.解：（Ⅰ）解：的导数.令，解得；令，解得. 从而在内单调递减，在内单调递增. 所以，当时，取得最小值.         ………….. 3分 （Ⅱ）解：因为不等式的解集为，且，所以对于任意，不等式 恒成立.    ………….. 4分由，得 . 当时，上述不等式显然成立，故只需考虑的情况. ………….. 5分 将 变形为 ，令 ，则的导数， 令，解得；令，解得.从而在内单调递减，在内单调增.所以，当时，取得最小值， 从而实数的取值范围是. .. 8分 （Ⅲ）证明： 因 只需证明：.   10分 即   .即  ，（*） 由（Ⅰ）得，对于任意，都有，即 .…               当时（*）式成立。故原不等式成立。                           . .. 12分 略 20. （本小题满分12分） 已知中，角A，B，C，所对的边分别是，且；      （1）求      （2）若，求面积的最大值。 参考答案： （Ⅰ） （Ⅱ） 又 当且仅当时，△ABC面积取最大值，最大值为.（12分） 略 21. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，，点分别为的中点. (1)求证：直线∥平面； (2)求点到平面的距离. 参考答案： （1）设的中点为，连接, 由题意，∥且,∥且 故∥且，所以，四边形为平行四边形 所以，∥,又 所以，∥平面……6分 （2）由（1），点到平面的距离等于点到平面的距离，设为. 由条件易求， 故 ， 所以由得 解得……12分 22. （本小题满分12分）已知向量，，（其中），函数，若相邻两对称轴间的距离为. （1）求的值，并求的最大值； （2）在中，、、分别是、、所对的边，的面积，，，求边的长． 参考答案： （1） 3分 由题意得，，4分 当时，有最大值为2；　6分　 （Ⅱ）  ……7分 …………………8分   …………………9分 由余弦定理得：a2=16+25－2×4×5cos=21  ………12分