北京BISS国际学校高三数学理上学期期末试题含解析

北京BISS国际学校高三数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设全集U=R，A={x︱1≤x≤10, x∈N }，B={︱x 2+ x－6=0, x∈R }，则下图中阴影表示的集合为          （    ） (A){2}                         (B){3}              (C){－3，2}                    (D){－2，3}     参考答案： 答案：D 2. 已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（   ） 参考答案： C 3. （多选题）在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标来显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是（    ） A. 平均数 B. 平均数且标准差 C. 平均数且极差小于或等于2 D. 众数等于1且极差小于或等于4 参考答案： CD 【分析】 通过举反例说明命题不符合条件，或通过平均数和标准差的统计意义，找出符合要求的选项． 【详解】解：A错，举反例：0，0，0，0，2，6，6，其平均数，不符合指标. B错，举反例：0，3，3，3，3，3，6，其平均数，且标准差，不符合指标C对，若极差等于0或1，在的条件下，显然符合指标；若极差等于2且，则每天新增感染人数的最小值与最大值有下列可能：（1）0，2，（2）1，3，（3）2，4，符合指标D对，若众数等于1且极差小于或等于4，则最大值不超过5，符合指标. 故选：. 【点睛】本题考查了数据的几个特征量，它们只表示数据的一个方面，一个或两个量不能说明这组数据的具体情况． 4. 不等式的解集是（     ） A．                B C．        D． 参考答案： D   本题考查了一元二次不等式的解法，难度较小.    因为即为，解得，所以不等式 的解集是. 5. 若函数在其定义域的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 参考答案： A 略 6. 已知全集，集合，，则 A．                       B．   C．                    D． 参考答案： B 【考点】集合的运算由得，由得，，，故选B. 7. 将一个圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形．去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一正八角星，如图所示．设正八角星的中心为O，并且 =， =，若将点O到正八角星16个顶点的向量，都写成为λ+μ，λ，μ∈R的形式，则λ+μ的最大值为（　　） A． B．2 C．1+ D．2 参考答案： C 【考点】向量在几何中的应用． 【分析】根据题意找出使得λ+μ最大的顶点C，根据向量加法的平行四边形法则可作出平行四边形OBCD，这样结合图形及向量数乘的几何意义便可得出，这样由平面向量基本定理即可求出λ+μ的最大值． 【解答】解：如图，根据图形及向量加法的平行四边形法则可看出O到顶点C的向量，此时λ+μ最大； 作平行四边形OBCD，设BC=a，根据题意得，OA=； ∴； ∴； ∴=； 又； ∴； 即λ+μ的最大值为． 故选C． 8. 等比数列{an}的前n项和为Sn，且、、成等差数列，若，则（   ） A. 15 B. 16 C. 31 D. 32 参考答案： C 【分析】 设等比数列的公比为，根据题意得出关于的二次方程，求出的值，然后利用等比数列求和公式可求出的值. 【详解】设等比数列的公比为，由于、、成等差数列，且， ，即，即，解得， 因此，. 故选：C. 【点睛】本题考查等比数列求和，解题的关键就是计算出等比数列的首项和公比，考查计算能力，属于基础题. 9. 已知等比数列满足，且，则当时，                                                  （     ） Ａ．       Ｂ．       Ｃ．       Ｄ． 参考答案： C 10. 函数的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】复合函数的单调性． 【分析】令t=，则x﹣x2≥0，由此求得函数的定义域，则f（x）=g（t）=，本题即求函数t的减区间，再利用二次函数的性质得出结论． 【解答】解：令t=，则x﹣x2≥0，求得0≤x≤1，故函数的定义域为（0，1）， 且f（x）=g（t）=，本题即求函数t的减区间． 再利用二次函数的性质，可t= 的减区间为[，1]， 故选：D． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在极坐标系中，直线与圆相交的弦长为＿＿＿＿ 参考答案： 12. 在等差数列{an}中，a1=1，a3+a5=3，若a1，a7，an成等比数列，则n=　　． 参考答案： 19 【考点】等差数列的通项公式． 【分析】由等差数列通项公式求出公差d=，由此根据a1，a7，an成等比数列，能求出n的值． 【解答】解：∵在等差数列{an}中，a1=1，a3+a5=3， ∴， 解得d=， ∴=， ∵a1，a7，an成等比数列， ∴，即（）2=1×（）， 解得n=19． 故答案为：19． 【点评】本题考查数列的项数n的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用． 13. 在区间上随机取一个数，则的值介于0到的概率为      . 参考答案： 略 14. 执行右边的程序框图，输出的          ；   参考答案： 7 略 15. 已知向量=（2，1），=（x，﹣1），且﹣与共线，则x的值为　　． 参考答案： ﹣2 考点： 平面向量的坐标运算． 专题： 平面向量及应用． 分析： 求出向量﹣，然后利用向量与共线，列出方程求解即可． 解答： 解：向量=（2，1），=（x，﹣1）， ﹣=（2﹣x，2）， 又﹣与共线， 可得2x=﹣2+x， 解得x=﹣2． 故答案为：﹣2． 点评： 本题考查向量的共线以及向量的坐标运算，基本知识的考查． 16. 已知复数是纯虚数，那么实数a=_______. 参考答案： －1 17. 已知f(x)是奇函数，且当时，.若，则a=__________. 参考答案： –3 ∵， ∴.   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，边长为2的正方形ABCD中，点E、点F分别是AB、BC上的点，且BE=BF，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A1． （Ⅰ）若点E是边AB的中点，求证：A1D⊥EF； （Ⅱ）当时，求三棱锥A1﹣DEF的体积． 参考答案： 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系． 【分析】（Ⅰ）折叠前有AD⊥AE，CD⊥CF，折叠后有A1D⊥A1E，A1D⊥A1F，从而A1D⊥平面A1EF，由此能证明A1D⊥EF． （Ⅱ）取EF的中点O，连接A1O，三棱锥A1﹣DEF的体积，由此能求出结果． 【解答】解：：（Ⅰ）折叠前有AD⊥AE，CD⊥CF， 折叠后有A1D⊥A1E，A1D⊥A1F， 又A1E∩A1F=A1，∴A1D⊥平面A1EF， ∴A1D⊥EF．… 解：（Ⅱ）由正方形ABCD的边长为2， 折叠后A1D=2，，， 取EF的中点O，连接A1O， 则 ∴， ∴．… 19. (20) (本小题满分14分) 设, 已知函数 (Ⅰ) 证明在区间(－1,1)内单调递减, 在区间(1, + ∞)内单调递增; (Ⅱ) 设曲线在点处的切线相互平行, 且 证明. 参考答案： 20. 已知椭圆和抛物线有公共焦点，的中心和的顶点都在坐标原点，过点M（4，0）的直线与抛物线分别相交于A、B两点。 （1）写出抛物线的方程； （2）若，求直线的方程； （3）若坐标原点O关于直线的对称点P在抛物线上，直线与椭圆有公共点，求椭圆 的长轴长的最小值。 参考答案： （1）由可知：，∴抛物线的方程：   ……………2分 （2）设AB的方程：，代入得：，………3分 设，则有：且 ∴，  ………………………………………4分 又， …………5分 由上面三式可解得：   …………………………………6分 ∴直线的方程为：       …………………………7分 （3）设，则的中点坐标：  由O与P关于直线：对称， ∴，即：，解得…………9分 又点在抛物线上，∴，10分 又由， ∴， ∴…11分 又， 代入上式可得： ………12分 ∴椭圆的长轴长的最小值为： ………………13分 略 21. 已知椭圆过点两点． （1）求椭圆的方程及离心率； （2）设为第三象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值． 参考答案： （1）由题意得，，所以椭圆的方程为， 又,所以离心率．．．．．．．．．．．5分 （2）设，则， 又，所以直线的方程为， 令，得，从而， 直线的方程为．令，得，从而， 所以四边形的面积：    从而四边形的面积为定值．．．．．．．．．．．．　12分 22. 已知函数(且) （1）求f(x)在[2,+∞)上的最小值; （2）若,函数f(x)恰有两个不同的零点,求证:. 参考答案： （1）当时,的最小值为; 当时,的最小值为 （2）答案见解析 【分析】 （1）求导研究函数单调性，分类讨论极值点与边界点2的大小关系，分，两种情况讨论即得解； （2）转化为，其中，则 ，证明即得证. 【详解】（1）定义域, 由时,;时, 若即时,在上单调递增,故在的最小值为; 当时,在上单调递减,在单递增,故在的最小值为 综上,当时,在上的最小值为;当时,在的最小值为 （2）当时,不妨设,,,得 ,故 令,则,, 所以,故, 令, 而,所以在上单调递增 又,所以,而,故 【点睛】本题考查了函数与导数综合，考查了学生综合分析，转化划归，分类讨论，数学运算的能力，属于较难题.