2022-2023学年广西壮族自治区柳州市市女子实验高中高三数学理下学期期末试题含解析

2022-2023学年广西壮族自治区柳州市市女子实验高中高三数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 执行如图所示的程序框图，如果输入P=153，Q=63，则输出的P的值是（　　） A．2 B．3 C．9 D．27 参考答案： C 【考点】程序框图． 【专题】图表型；算法和程序框图． 【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的R，P，Q的值，当Q=0时，满足条件Q=0，退出循环，输出P的值为3． 【解答】解：模拟执行程序，可得 P=153，Q=63 不满足条件Q=0，R=27，P=63，Q=27 不满足条件Q=0，R=9，P=27，Q=9 不满足条件Q=0，R=0，P=9，Q=0 满足条件Q=0，退出循环，输出P的值为9． 故选：C． 【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的R，P，Q的值是解题的关键，属于基本知识的考查． 2. 如图是一个算法的程序框图，当输入的x等于5时，其输出的结果是（    ）    A．                B．    C．2                 D．4 参考答案： C 3. 在区间内的所有零点之和为（    ） A．         B．       C.         D． 参考答案： C 4. 已知集合，，则（   ） A．   B．  C．  D． 参考答案： B 5. 已知函数为偶函数，当时，，则的解集是 A．          B．         C．        D． 参考答案： B 略 6. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，若此几何体的各个顶点在同一球面上，则该球的表面积为（   ） A. 8π B. 9π C. 32π D. 36π 参考答案： B 【分析】 通过三视图，还原为立体几何图形，然后补成长方体中，利用长方体的对角线的长求出外接球的半径，进而求出球的表面积. 【详解】通过三视图可知，该几何体是直三棱柱，其中底面是直角三角形，把它补成长方体如下图所示：连接,设外接球的半径为， 所以有, 球的表面积为,故本题选B. 7. 已知函数y=f(x)的周期为2，当x时 f(x)=x2,那么函数y=f(x)的图像与函数y=的图像的交点共有 （A）10个    （B）9个   （C）8个   （D）1个 参考答案： A 本题主要考查了函数的图象与性质，利用数形结合解决问题，有一定难度.作出两 个函数的图象，易观察出交点个数.故选A. 8. 复数（i是虚数单位）的实部是(     ) A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】复数代数形式的乘除运算． 【专题】计算题． 【分析】直接利用复数的除法运算把给出的复数化为a+bi（a，b∈R）的形式，则复数的实部可求． 【解答】解：=． 所以复数的实部为． 故选B． 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题． 9. 已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2与y轴在第二象限所围区域的面积为S，直线y=2x+b分圆C的内部为两部分，其中一部分的面积也为S，则b=（　　） A． B．± C． D．± 参考答案： D 【考点】直线与圆的位置关系． 【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆． 【分析】由题意，圆心到直线y=2x+b的距离为1，建立方程，即可得出结论． 【解答】解：由题意，圆心到直线y=2x+b的距离为1， ∴=1， ∴b=±， 故选：D． 【点评】本题考查点到直线的距离公式，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题． 10. 执行如图所示的程序框图，则输出i的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 参考答案： C 【考点】EF：程序框图． 【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的i，S的值，当S=21时，满足条件S＜28，退出循环，输出i的值为7，从而得解． 【解答】解：模拟执行程序，可得： i=10，S=55 S=45 不满足条件S＜28，执行循环体，i=9，S=36 不满足条件S＜28，执行循环体，i=8，S=28 不满足条件S＜28，执行循环体，i=7，S=21 满足条件S＜28，退出循环，输出i的值为7． 故选：C． 【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键，属于基础题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设过曲线f（x）=﹣ex﹣x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为　　． 参考答案： [﹣1，2] 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】求出函数f（x）=﹣ex﹣x的导函数，进一步求得∈（0，1），再求出g（x）的导函数的范围，然后把过曲线f（x）=﹣ex﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2转化为集合间的关系求解． 【解答】解：由f（x）=﹣ex﹣x，得f′（x）=﹣ex﹣1， ∵ex+1＞1，∴∈（0，1）， 由g（x）=ax+2cosx，得g′（x）=a﹣2sinx， 又﹣2sinx∈[﹣2，2]， ∴a﹣2sinx∈[﹣2+a，2+a]， 要使过曲线f（x）=﹣ex﹣x上任意一点的切线为l1， 总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2， 则，解得﹣1≤a≤2． 即a的取值范围为﹣1≤a≤2． 故答案为：[﹣1，2]． 12. 阅读如图21－5所示的程序框图，输出的结果S的值为(　　) 图21－5 A．0             B．  C．  D．－ 参考答案： B 13. 如图，在△ABC中，．D是BC边上的一点(不含端点)，   则的取值范围是________. 参考答案： (-5,2) 14. 设无穷等比数列的前n项和为Sn，首项是，若Sn＝，，则公比的取值范围是       ． 参考答案： 因为，所以，则，即，所以，因为，所以，所以，即，所以公比的取值范围是。 15. 若，则的最小值是_________。 参考答案： 7 16. 不等式的解集是　　　　　　　　。. 参考答案： 答案： 解析：?（x＋1）（x－2）>0?x<－1或x>2. 17. 在△ABC中，，，，则______． 参考答案： 3 【分析】 通过余弦定理求出，然后利用向量的数量积求解即可． 【详解】解：在中，，，， 可得， 则. 故答案为：3． 【点睛】本题考查三角形的解法，余弦定理以及向量的数量积的应用，考查计算能力． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知椭圆的中心是原点O，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为2，定点A（2，0）． （Ⅰ）求椭圆方程； （Ⅱ）过椭圆右焦点F的直线与椭圆交于点M、N，当|MN|最小时，求△AMN的面积． 参考答案： 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（Ⅰ）设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），运用离心率公式和a，b，c的关系，求得a，b，进而得到椭圆方程； （Ⅱ）设点A到直线MN的距离为d，则△AMN的面积=|MN|d，其中|MN|可以利用弦长公式求得，利用函数求最值，进而得到所求面积． 【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0）， 由题意可得e==，b=1， 由a2﹣b2=c2，解得a=，c=1， 即有椭圆的方程为+y2=1； （Ⅱ）椭圆的右焦点F（1，0）， 设直线MN的方程是x=my+1，与x2+2y2=2联立， 可得（m2+2）y2+2my﹣1=0， 设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1=my1+1，x2=my2+1， 由题意y1，y2满足方程（m2+2）y2+2my﹣1=0， △=4m2+4（m2+2）＞0即m2+1＞0， 则方程根与系数的关系可得：y1+y2=﹣，y1y2=﹣， 即有|MN|==?|y1﹣y2|， 又|y1﹣y2|===， 则|MN|=，令t=1+m2（t≥1）， 即有|MN|==≥=， 当t=1即m=0时，|MN|取得最小值， 点A（2，0）到直线MN的距离d==1， 于是△AMN的面积S=|MN|d ==， 故△AMN的面积是． 【点评】本题考查椭圆的方程的求法和运用，同时考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和判别式，以及弦长公式，考查运算化简能力，属于中档题． 19. 若不等式|b+2|﹣|b﹣2|≤a≤|b+2|+|2﹣b|对于任意b∈R都成立． （1）求a的值； （2）设x＞y＞0，求证：． 参考答案： 【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法． 【分析】（1）由|b+2|﹣|2﹣b|≤|b+2+2﹣b|=4，当且仅当b≥2时等号成立，4=|b+2+2﹣b|≤|b+2|+|2﹣b|，当且仅当﹣2≤b≤2时等号成立，即可求a的值； （2）作差，利用基本不等式，即可证明结论． 【解答】（1）解：|b+2|﹣|2﹣b|≤|b+2+2﹣b|=4，当且仅当b≥2时等号成立，4=|b+2+2﹣b|≤|b+2|+|2﹣b|， 当且仅当﹣2≤b≤2时等号成立， ∵对任意实数b，不等式|b+2|﹣|b﹣2|≤a≤|b+2|+|2﹣b|都成立． ∴a=4． （2）证明：， ∵x＞y＞0，∴，当且仅当x=y+1时等号成立， ∴， 即． 【点评】本题考查绝对值不等式的性质，考查基本不等式的运用，正确变形是关键． 20. 已知函数在处的切线与直线垂直，函数． （Ⅰ）求实数的值； （Ⅱ）若函数存在单调递减区间，求实数b的取值范围； （Ⅲ）设是函数的两个极值点，若，求的最小值． 参考答案： 解：（Ⅰ）∵，∴.-----------------------1分 ∵与直线垂直，∴，∴.-----------------3分 ≥0--------------------------12分 在上为增函数.当时, 故所求最小值为------------14分   略 21. 　　已知，且，，数列、满足，，，． (1) 求证数列是等比数列； (2) (理科)求数列的通项公式；  (3) (理科)若满足，，，试用数学归纳法证明：． 参考答案： 证明(1)∵， ∴,.       ∵，，       ∴                                   ． 又， 　　 ∴数列是公比为3，首项为的等比数列． 解(2)(理科)依据(1)可以，得． 于是，有，即． 因此，数列是首项为，公差为1的等差数列． 故． 所以数列的通项公式是． (3)（理科）用数学归纳法证明： (i)当时，左边，右边， 即左边=右边，所以当时结论成立．　　 (ii)假设当时，结论成立，即． 当时，左边                                   ， 右边． 　　　　即左边＝右边，因此，当时，结论也成立． 根据(i)、(ii)可以断定，对的正整数都成立．   22. 已知是递增等比数列， ,则此数列的公比q=-______ 参考答案： 2   本题考查等比数列的通项公式，以及对递增等比数列的概念的理解，难度较小.    因为是递增等比数列，且，所以公比，又，即 ，解得（舍去）.