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2022-2023学年山东省济宁市石桥中学高一数学文上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 给出以下四个命题:
①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行;
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面;
③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行;
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.
其中真命题的个数是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
参考答案:
B
【考点】LP:空间中直线与平面之间的位置关系.
【分析】对于立体几何中的线线、线面、面面关系的判定可依据课本中有关定理结论进行判断,也可列举反例从而说明不正确即可.
【解答】解:观察正方体中的线面位置关系,结合课本中在关线面位置关系的定理知,
①②④正确.
对于③,A′B′、A′D′都平行于一个平面AC,但它们不平行,故③错.
故选B.
【点评】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系,考查空间想象能力和推理论证能力,属于基础题.
2. 首项为-24的等差数列从第10项起开始为正数,则公差d的取值范围是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
3. (5分)已知f(x)=是(﹣∞,+∞)上的增函数,那么实数a的取值范围是()
A. (0,3) B. (1,3) C. (1,+∞) D.
参考答案:
D
考点: 函数单调性的性质.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 根据一次函数以及指数函数的性质,结合函数的单调性得到不等式组,解出即可.
解答: 由题意得:
,解得:≤a<3,
故选:D.
点评: 本题考查了一次函数,指数函数的性质,考查了函数的单调性,是一道基础题.
4. 若,则函数的图象必过点 ( )
A. (0, 0) B.(1,1) C.(1,0) D. (0, 1)
参考答案:
C
5. 已知函数f(x)=x2+ex﹣(x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)图象上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是( )
A.(﹣,) B.(﹣,) C.(﹣∞,) D.(﹣∞,)
参考答案:
C
【考点】函数的图象.
【分析】由题意可得,存在x<0使f(x)﹣g(﹣x)=0,即ex﹣﹣ln(﹣x+a)=0在(﹣∞,0)上有解,从而化为函数m(x)=ex﹣﹣ln(﹣x+a)在(﹣∞,0)上有零点,从而求解.
【解答】解:由题意,存在x<0,
使f(x)﹣g(﹣x)=0,
即ex﹣﹣ln(﹣x+a)=0在(﹣∞,0)上有解,
令m(x)=ex﹣﹣ln(﹣x+a),
则m(x)=ex﹣﹣ln(﹣x+a)在其定义域上是增函数,
且x→﹣∞时,m(x)<0,
若a≤0时,x→a时,m(x)>0,
故ex﹣﹣ln(﹣x+a)=0在(﹣∞,0)上有解,
若a>0时,
则ex﹣﹣ln(﹣x+a)=0在(﹣∞,0)上有解可化为
e0﹣﹣ln(a)>0,
即lna<,
故0<a<.
综上所述,a∈(﹣∞,).
故选:C
6. 如图,一直线EF截平行四边形ABCD中的两边AB,AD于E,F,且交其对角线于K,其中,,则λ的值为( )
A.
B.
C.
D.
参考答案:
A
考点:向量在几何中的应用.
专题:计算题.
分析:由已知结合向量加法的平行四边形法则可得=λ()=λ=,由E,F,K三点共线可得,3λ+2λ=1可求
解答: 解:∵
∴
由向量加法的平行四边形法则可知,
∴==λ=
由E,F,K三点共线可得,3λ+2λ=1
∴
故选A
点评:本题主要考查了向量加法的平行四边形法则的应用,向量共线定理的应用,其中解题的关键由EFK三点共线得,3λ+2λ=1.
7. 已知函数在上是减函数,则的取值范围是( )
A. B. C. 或 D.
参考答案:
D
略
8. 当时,的值是 ( )
A. B. C. D. 不确定。
参考答案:
B
略
9. 化简(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b)的结果是 ( )
A. ab B. 0 C. a+b D. a-b
参考答案:
B
略
10. 用数学归纳法证明:“”,在验证成立时,左边计算所得结果是( )
A. 1 B. C. D.
参考答案:
C
【分析】
根据,给等式左边赋值,由此得出正确选项.
【详解】当时,左边为,故选C.
【点睛】本小题主要考查数学归纳法的理解,考查阅读与理解能力,属于基础题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若函数,则= .
参考答案:
-1
12. 已知函数f(x)=|loga|x﹣1||(a>0,a≠1),若x1<x2<x3<x4,且f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),则+++= .
参考答案:
2
【考点】函数的零点.
【专题】计算题;分类讨论;函数的性质及应用.
【分析】不妨设a>1,令f(x)=|loga|x﹣1||=b>0,从而可得x1=﹣ab+1,x2=﹣a﹣b+1,x3=a﹣b+1,x4=ab+1,从而解得.
【解答】解:不妨设a>1,
则令f(x)=|loga|x﹣1||=b>0,
则loga|x﹣1|=b或loga|x﹣1|=﹣b;
故x1=﹣ab+1,x2=﹣a﹣b+1,x3=a﹣b+1,x4=ab+1,
故+=,
+=;
故+++=+
=+=2;
故答案为:2.
【点评】本题考查了绝对值方程及对数运算的应用,同时考查了指数的运算.
13. 已知,若不等式f(x+a)>f(2a﹣x)在[a﹣1,a]上恒成立,则实数a的取值范围是 .
参考答案:
(2,+∞)
【考点】函数恒成立问题;分段函数的应用.
【分析】画出f(x)的图象,由图象可知函数f(x)在R上为增函数,则原不等式转化为2x>a在[a﹣1,a]上恒成立,解得即可.
【解答】 解:画出f(x)的图象,如图所示,
由图象可知函数f(x)在R上为增函数,
∵不等式f(x+a)>f(2a﹣x)在[a﹣1,a]上恒成立,
∴x+a>2a﹣x在[a﹣1,a]上恒成立;
即2x>a在[a﹣1,a]上恒成立,
故2(a﹣1)>a,
解得,a>2,
故答案为:(2,+∞)
14. 已知集合A={0,1,2,3,4,5},B={﹣1,0,1,6},且A∩B= .
参考答案:
{0,1}
【考点】交集及其运算.
【分析】利用交集定义直接求解.
【解答】解:∵集合A={0,1,2,3,4,5},
B={﹣1,0,1,6},
∴A∩B={0,1}.
故答案为:{0,1}.
15. 在中,如果,,那么角= ▲ .
参考答案:
120°
16. 已知数列的前n项和,某三角形三边之比为,则该三角形最大角的大小是 .
参考答案:
略
17. 函数的值域为 ▲ .
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知=(2sinx,m),=(sinx+cosx,1),函数f(x)=?(x∈R),若f(x)的最大值为.
(1)求m的值;
(2)若将f(x)的图象向左平移n(n>0)个单位后,关于y轴对称,求n的最小值.
参考答案:
【考点】数量积的坐标表达式;三角函数的最值.
【分析】(1)根据用向量的数量积表示的函数式,写出函数的解析式,后面的问题变化为三角函数的变换,把式子整理成三角函数的标准形式y=Asin(ωx+φ)是形式,求出最值.
(2)根据上一问整理出的函数式,将函数的解析式写成平移后的解析式,根据此时的函数关于纵轴对称,得到函数是一个偶函数,要使的n取到最小值,从解析式上得到n的值.
【解答】解:(1)f(x)=
=2sin2x+2sinxcosx+m
=1﹣cos2x+sin2x+m
=sin(2x﹣)+m+1
∵f(x)的最大值为,而sin(2x﹣)最大值是,m+1是常数
∴m+1=0,m=﹣1
(2)由(1)知,f(x)=sin(2x﹣),将其图象向左平移n个单位,
对应函数为y=sin[2(x+n)﹣]
平移后函数图象关于y轴对称,则该函数为偶函数,表达式的一般形式是
y=sin(2x++kπ)(k∈Z)
要使n取最小正数,则对应函数为y=sin(2x+),
此时n=
19. 已知直线l平行于直线3x+4y﹣7=0,并且与两坐标轴围成的△OAB的面积为24,
(Ⅰ)求直线l的方程;
(Ⅱ)求△OAB的内切圆的方程.
参考答案:
【考点】直线与圆的位置关系;待定系数法求直线方程.
【分析】(Ⅰ)设l:3x+4y+m=0,利用直线与两坐标轴围成的△OAB的面积为24,即可求直线l的方程;
(Ⅱ)△ABC的内切圆半径r==2,圆心(2,2)或(﹣2,﹣2),即可求△OAB的内切圆的方程.
【解答】解:(Ⅰ)设l:3x+4y+m=0.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
当y=0时,x=﹣;
当x=0时,y=﹣.
∵直线l与两坐标轴围成的三角形面积为24,
∴?|﹣|?|﹣|=24.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴m=±24.
∴直线l的方程为3x+4y+24=0或3x+4y﹣24=0.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
(Ⅱ)∵直线l的方程为=±1,
∴△ABC的内切圆半径r==2,圆心(2,2)或(﹣2,﹣2)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴△ABC的内切圆的方程为(x﹣2)2+(y﹣2)2=4或(x+2)2+(y+2)2=4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
20. 已知等差数列{an}的公差,,其前n项和为Sn,且,,成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若,求数列{bn}的前n项和为Tn.
参考答案:
(1)由得,,
因为,,成等比数列,所以,即,
整理得,即,因为,所以,
所以.
(2)由(1)可得,所以,
所以.
21. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,满足S3=6,S5=15.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)求数列{}的前n项和Tn.
参考答案:
【考点】8E:数列的求和.
【分析】(1)利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出.
(2)由an=n,,利用裂项求和方法即可得出.
【解答】解:(1)设等差数列{an}的公差为d,∵S3=6,S5=15.
∴3a1+d=6,5a1+d=15,
解得a1=d=1.
∴an=1+n﹣1=n.
(2)由an=n,,
则.
22. (12分)(2015秋淮北期末)如图,AB=AD,∠BAD=90°,M,N,G分别是BD,BC,AB的中点,将等边△BCD沿BD折叠到△BC′D的位置,使得AD⊥C′B.
(Ⅰ)求证:平面GNM∥平面ADC′;
(Ⅱ)求证:C′A⊥平面ABD.
参考答案:
【考点】直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定.
【专题】证明题;数形结合;数形结合法;空间位置关系与距离.
【分析】(Ⅰ)利用线面平行的判定定理,证明MN∥平面ADC′,NG∥平面ADC,
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