山东省莱芜市雪野中学高二数学理期末试卷含解析

山东省莱芜市雪野中学高二数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（　　） A． B．  C．D． 参考答案： D 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】设|AF1|=x，|AF2|=y，利用椭圆的定义，四边形AF1BF2为矩形，可求出x，y的值，进而可得双曲线的几何量，即可求出双曲线的离心率． 【解答】解：设|AF1|=x，|AF2|=y， ∵点A为椭圆C1： +y2=1上的点， ∴2a=4，b=1，c=； ∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；① 又四边形AF1BF2为矩形， ∴， 即x2+y2=（2c）2=12，② 由①②得x=2﹣，y=2+． 设双曲线C2的实轴长为2a′，焦距为2c′， 则2a′=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2c′=2， ∴C2的离心率是e==， 故选：D． 　 2. 参考答案： -1或-2 3. 若，则m等于(　　) A．9  B．8 C．7  D ．6 参考答案： C 4. 已知函数，，且，当时，是增函数， 设，，，则、的大小顺序是 A.            B.             C.            D. 参考答案： B 5. 在△ABC中，分别是A、B、C的对边，已知sinA,sinB,sinC成等比数列，且，则角A为（  ） A．         B．       C．        D． 参考答案： D 6. 命题“，≥0”的否定是  （  ） A．，≥0       B．， C．，        D．， 参考答案： C 略 7. 椭圆的四个顶点A、B、C、D构成的四边形为菱形，若菱形ABCD 的 内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率是(     ) A.          B.          C.           D. 参考答案： C 略 8. 直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 参考答案： C 【考点】异面直线及其所成的角． 【分析】延长CA到D，根据异面直线所成角的定义可知∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，而三角形A1DB为等边三角形，可求得此角． 【解答】解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形， ∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角， 又A1D=A1B=DB=AB， 则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B=60° 故选C． 【点评】本小题主要考查直三棱柱ABC﹣A1B1C1的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，考查转化思想，属于基础题． 9. 设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝a()i，i＝1，2，3，则a的值为(　　) A. 1 B. C. D. 参考答案： D 【分析】 根据分布列中所有概率和为1求a的值. 【详解】因为P(X＝i)＝a()i，i＝1，2，3，所以，选D. 【点睛】本题考查分布列的性质，考查基本求解能力. 10. 现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜四项工作，则不同安排方案的种数是 A． 152          B.  126          C.  90             D.  54 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别为，﹣2+i，0，则第四个顶点对应的复数为　     　． 参考答案： ﹣1+3i 【考点】A7：复数代数形式的混合运算． 【分析】化简复数为a+bi的形式，设出第四个点的坐标和写出前三个点的坐标，根据这四个点构成正方形，则平行的一对边对应的向量相等，写出一对这样的向量，坐标对应相等，得到所设的坐标，得到结果． 【解答】解： ===1+2i 设复数z1=1+2i，z2=﹣2+i，z3=0，它们在复平面上的对应点分别是A，B，C． ∴A（1，2），B（﹣2，1），C（0，0） 设正方形的第四个顶点对应的坐标是D（x，y）， ∴， ∴（x﹣1，y﹣2）=（﹣2，1）， ∴x﹣1=﹣2，y﹣2=1， ∴x=﹣1，y=3 故答案为：﹣1+3i． 12. 函数是定义在上的偶函数，且在上是减函数，若，则满足不等式的的范围为         ． 参考答案： 13. P为椭圆上一点，F1、F2是椭圆的左、右焦点，若使△F1PF2为直角三角形的点P共有8个，则椭圆离心率的取值范围是   ▲          参考答案： 14. 已知，则的值为      ． 参考答案： 略 15. 已知一圆柱内接于球O，且圆柱的底面直径与母线长均为2，则球O的表面积为    ▲    ． 参考答案： 16. 如图所示，A，B，C是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BF⊥AC且|BF|=|CF|，则该双曲线的离心率是            ． 参考答案： 【考点】双曲线的简单性质． 【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】运用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，求得A的坐标，由对称得B的坐标，由于BF⊥AC且|BF|=|CF|， 求得C的坐标，代入双曲线方程，结合a，b，c的关系和离心率公式，化简整理成离心率e的方程，代入选项即可得到答案． 【解答】解：由题意可得在直角三角形ABF中， OF为斜边AB上的中线，即有|AB|=2|OA|=2|OF|=2c， 设A（m，n），则m2+n2=c2， 又=1，解得m=，n=， 即有A（，），B（﹣，﹣）， 又F（c，0）， 由于BF⊥AC且|BF|=|CF|， 可设C（x，y），即有=﹣1， 又（c+）2+（）2=（x﹣c）2+y2， 可得x=，y=﹣， 将C（，﹣）代入双曲线方程，化简可得（b2﹣a2）=a3， 由b2=c2﹣a2，e=，得（2e2﹣1）（e2﹣2）2=1， 可得e=． 故答案为：． 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的a，b，c的关系和离心率的求法，注意运用点在双曲线上满足方程，属于难题． 17. 已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点P，若，则△POF的面积为________ ． 参考答案： 2. 【分析】 由题，先求得焦点F的坐标，根据抛物线定义可得P的横坐标，代入方程求得纵坐标，再利用面积公式可得结果. 【详解】由题，因为抛物线的焦点为F，所以焦点 又因为，根据抛物线的定义可得点P的横坐标 代入可得纵坐标 所以△POF的面积 故答案为2 【点睛】本题考查了抛物线的知识，熟悉抛物线的定义是解题的关键，属于基础题. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在空间直角坐标系中，已知A（3，0，1）和B（1，0，－3），试问    （1）在y轴上是否存在点M，满足？    （2）在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M坐标．   参考答案： 解析：（1）假设在在y轴上存在点M，满足．        因Ｍ在y轴上，可设M（0，y，0），由，可得        ，        显然，此式对任意恒成立．这就是说y轴上所有点都满足关系． （2）假设在y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形． 由（1）可知，y轴上任一点都有，所以只要就可以使得△MAB是等边三角形．        因为        于是，解得        故y轴上存在点M使△MAB等边，M坐标为（0，，0），或（0，，0）．   19. 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为. （1）求圆C的参数方程； （2）设P为圆C上一动点，，若点P到直线的距离为，求的大小. 参考答案： （1）（为参数）；（2）或 分析：（1）首先由公式化极坐标方程为直角坐标方程，再利用公式可化直角坐标方程为参数方程，为此可配方后再换元； （2）把直线参数方程化为普通方程，再由点到直线距离公式求出参数，注意到，根据A点位置，结合图形可利用圆的参数方程中参数的几何意义可得结论. 详解：（1）∵，∴，∴， 即，∴圆的参数方程为（为参数）. （2）由（1）可设，， 的直角坐标方程为， 则到直线的距离为 ， ∴，∵，∴或， 故或. 点睛：（1）由公式可进行极坐标方程与直角坐标方程进行互化； （2）一般用消参数法可化参数方程为普通方程，直线的参数方程可用代入法消参，圆或圆锥曲线的参数方程是利用消参. 20. （本小题满分12分） 如图，垂直于矩形所在平面，，． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）若矩形的一个边,,则另一边的长为何值时，三棱锥的体积为？ 参考答案： 21. 把“五进制”数转化为“十进制”数，再把它转化为“八进制”数。 参考答案：       22. （本题满分14分） 在平面直角坐标系中，已知点A（－2，1），直线． （1）若直线过点A，且与直线平行，求直线的方程； （2）若直线过点A，且与直线垂直，求直线的方程． 参考答案： （1） ----------------------------7分              （2）---------------------------------14分