2022-2023学年辽宁省丹东市东港马家店中学高三数学理联考试题含解析

2022-2023学年辽宁省丹东市东港马家店中学高三数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知双曲线的渐近线上的一点到其右焦点的距离等于2，抛物线过点，则该抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 参考答案： B 试题分析：，右焦点点A在轴右侧，双曲线的渐近线方程为，设，，解得，有在抛物线上，则，得，该抛物线的方程为.选B. 考点：双曲线和抛物线的有关问题. 2. 已知，如图所示，全集U，集合M=Z（整数集）和N={x∈N|lg（1﹣x）＜1}，则图中阴影部分所示的集合的元素共有(     ) A．9个 B．8个 C．1个 D．无穷个 参考答案： C 考点：Venn图表达集合的关系及运算． 专题：集合． 分析：由韦恩图中阴影部分表示的集合为M∩N，然后利用集合的基本运算进行求解即可． 解答： 解：N={x∈N|lg（1﹣x）＜1}={x∈N|0＜1﹣x）＜10}={x∈N|﹣9＜x＜1}={0}， 由韦恩图中阴影部分表示的集合为M∩N， ∴M∩N={0}，有一个元素， 故选：C 点评：本题主要考查集合的基本运算，利用韦恩图确定集合关系，然后利用集合的运算确定交集元素即可． 3. 设抛物线的顶点在原点,准线方程为  则抛物线的方程是 A．       B．  C．       D． 参考答案： B 4. 如图，阴影部分的面积是(  ) A．2       B．2－         C.         D. 参考答案： 【知识点】定积分在求面积中的应用。B13  【答案解析】C 解析：直线y=2x与抛物线y=3﹣x2；解得交点为（﹣3，﹣6）和（1，2） 抛物线y=3﹣x2与x轴负半轴交点（﹣，0）；设阴影部分面积为s，则 ==；所以阴影部分的面积为，故选C． 【思路点拨】求阴影部分的面积，先要对阴影部分进行分割到三个象限内，分别对三部分进行积分求和即可． 5. 函数的图像大致为（   ） A. B. C. D. 参考答案： B 分析：判断f（x）的奇偶性，再根据f（x）的符号得出结论． 详解：f（x）定义域为R，且f（﹣x）==﹣f（x）， ∴f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除A； 又当x＞0时，＞1＞10﹣x，∴f（x）＞0，排除D， 当x时，f（x），排除C， 故选：B． 点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象. 6. 已知满足不等式，且目标函数最大值的变化范围为，则的取值范围是(     ) A．       B．     C．       D． 参考答案： B 略 7. 为球的直径，是该球球面上的两点，，若棱锥的体积为，则球的体积为                          （  ）       A．      B．        C．        D．   参考答案： 【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体．G8  【答案解析】B  解析：如图：由题意，设球的直径SC=2R，A，B是该球球面上的两点． AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，求出SA=AC=SB=BC=R， ∠SAC=∠SBC=90°，所以平面ABO与SC垂直，则S△ABO= 进而可得：VS﹣ABC=VC﹣AOB+VS﹣AOB， 所以棱锥S﹣ABC的体积为：??2R=， 所以R=2， 所以球O的体积为． 故选B． 【思路点拨】由题意求出SA=AC=SB=BC=R，∠SAC=∠SBC=90°，说明球心O与AB的平面与SC垂直，求出OAB的面积，利用棱锥S﹣ABC的体积，求出R，即可求球O的体积． 8. 设，向量，且则等于（  ） A. 5 B. 4 C. D. 参考答案： C 【分析】 根据向量垂直、平行的坐标运算可求出利用向量加法求出和向量的坐标，根据模的公式计算即可. 【详解】因为 所以， 即 ， 所以. 故选C. 【点睛】本题主要考查了向量的平行垂直的坐标运算，向量的模，属于中档题. 9. 某班准备从含甲、乙的7名男生中选取4人参加米接力赛，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们在赛道上顺序不能相邻，那么不同的排法种数为     A. 360                         B. 520                   C. 600                   D. 720 参考答案： C 略 10. 已知函数f（x）＝，函数g(x) = f (x）一2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是       A.［一1，3)　　 B.〔-3，一1〕　　C.［-3，3）　　D.［一1，1) 参考答案： A   【知识点】函数零点的判定定理；分段函数的应用．B9 解析：∵f（x）=，∴g（x）=f（x）﹣2x=， 而方程﹣x+3=0的解为3，方程x2+4x+3=0的解为﹣1，﹣3；若函数g（x）=f（x）﹣2x恰有三个不同的零点，则，解得，﹣1≤a＜3实数a的取值范围是[﹣1，3）．故选：A． 【思路点拨】化简g（x）=f（x）﹣2x=，而方程﹣x+3=0的解为3，方程x2+4x+3=0的解为﹣1，﹣3；从而可得，从而解得． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. （原创）函数的零点的个数为         参考答案： 2 ，由图像可知交点有两个，所以函数的零点个数为2 【考点】函数的零点，函数的图像. 12. 如图，某港口一天6时到18时的水渠变化曲线近似满足函数y=3sin（x+φ）+k．据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为　　． 参考答案： 8 考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．  专题： 三角函数的图像与性质． 分析： 由图象观察可得：ymin=﹣3+k=2，从而可求k的值，从而可求ymax=3+k=3+5=8． 解答： 解：∵由题意可得：ymin=﹣3+k=2， ∴可解得：k=5， ∴ymax=3+k=3+5=8， 故答案为：8． 点评： 本题主要考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查． 13. 已知，且，那么取最小值时，          ． 参考答案：    14. 已知，且≤θ≤，则cos2θ的值是 　　． 参考答案： ﹣ 略 15. 方程在区间内的解为________________. 参考答案： 略 16. 在一次演讲比赛中，6位评委对一名选手打分的茎叶图如下所示，若去掉一个最高分和一个最低分，得到一组数据 ，在如图所示的程序框图中,x是这4个数据的平均数，则输出的v的值为______． 参考答案： 略 17. （选修：几何证明选讲） 如图，为△外接圆的切线，平分，交圆于， 共线．若,,，则圆的半径是          . 参考答案： 2 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在极坐标系中，曲线C的方程为，以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系． （1）求曲线C的参数方程； （2）在直角坐标系中，点M（x，y）是曲线C上一动点，求x+y的最大值，并求此时点M的直角坐标． 参考答案： 【考点】简单曲线的极坐标方程． 【分析】（1）先求出C的直角坐标方程，再求曲线C的参数方程； （2）利用C的参数方程，结合三角函数知识，求x+y的最大值，并求此时点M的直角坐标． 【解答】解：（1）由曲线C的方程为，得ρ2=4ρcosθ+4ρsinθ﹣6， 即x2+y2﹣4x﹣4y+6=0，即（x﹣2）2+（y﹣2）2=2． 即曲线C是以点为圆心（2，2），以为半径的圆， 则圆的参数方程为（θ为参数）． （2）x+y=4+cosθ+sinθ=4+2sin（θ+）． 于是当θ=时，（x+y）max=4+2=6， 此时，即M（3，3）． 19. 某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组后，得到频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题． （1）从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的中位数； （2）若从第1组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取2人成绩之差的绝对值大于10的概率． 参考答案： 考点：古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图． 专题：概率与统计． 分析：（1）根据频率分布直方图，求出该组数据的中位数； （2）求出第1组、第6组的频数各是多少，计算对应的基本事件数，求出概率即可． 解答： 解：（1）由频率分布直方图知， 前三组的频率之和为0.1+0.15+0.15=0.4， ∴中位数在第四组， 设中位数为70+x， 则0.4+0.030x=0.5， 解得x=， ∴该组数据的中位数为70+=； （2）第1组的频数为：60×0.1=6人（设为1，2，3，4，5，6）， 第6组的频数为：60×0.1=3人（设为A，B，C）； 从这9人中任取2人，共有=36个基本事件， 满足抽取2人成绩之差的绝对值大于10的基本事件有×=18个， 所以，所求的概率为P==． 点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了求古典概型的概率的应用问题，是基础题目． 20. 已知关于x的方程x2+4x+p=0（p∈R）的两个根是x1，x2． （1）若x1为虚数且|x1|=5，求实数p的值； （2）若|x1﹣x2|=2，求实数p的值． 参考答案： 【考点】复数代数形式的混合运算． 【分析】（1）根据复数的定义可得p=x1x2=x1=|x1|2=25，解得即可， （2）根据判别式分类讨论，即可求出p的值． 【解答】解：（1）∵△＜0， ∴p＞4， 又x1x2=p，x1x2=x1=|x1|2=25， ∴p=25， （2）x1+x2=﹣4，x1x2=p， 若方程的判别式△≥0，即p≤4时，则方程的有两个实数根x1，x2． 则|x1﹣x2|2=（x1+x2）2﹣4x1x2=16﹣4p=4， 解得p=3， 若方程的判别式△＜0，即p＞4时，则方程有一对共轭虚根x1，x2 则|x1﹣x2|=|i|==2，解得p=5 21. （14分） 已知函数f(x)的导函数是。对任意两个不相等的正数，证明： （Ⅰ）当时，； （Ⅱ）当时，。 参考答案： 本小题主要考查导数的基本性质和应用，函数的性质和平均值不等式等知识及综合分析、推理论证的能力， 解析：证明：（Ⅰ）由  得                                                     而  ①                又 ∴  ②              ∵   ∴ ∵  ∴  ③ 由①、②、③得 即 （Ⅱ）证法一：由，得 ∴ 下面证明对任意两个不相等的正数,有恒成立 即证成立 ∵ 设，则 令得，列表如下： 极小值        ∴ ∴对任意两个不相等的正数，恒有 证法二：由，得 ∴ ∵是两个不相等的正数 ∴ 设， 则，列表： 极小值 ∴   即 ∴ 即对任意两个不相等的正数，恒有 22. 已知x、y、z均大于0． ①