2022-2023学年河南省洛阳市孟津县横水中学高三数学理下学期期末试题含解析

2022-2023学年河南省洛阳市孟津县横水中学高三数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知正项数列中，，，，则等于（   ） A．        B．4       C．8       D．16 参考答案： B 2. 若集合A＝{1，m2}，B＝{2,4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的（   ） A．充分不必要条件  B．必要不充分条件C．充要条件  D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 略 3. 设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则满足f（a﹣2）＞0的实数a的取值范围为（　　） A．（2，+∞） B．（4，+∞） C．（0，4） D．（﹣∞，0）∪（4，+∞） 参考答案： D 【考点】函数奇偶性的性质． 【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论． 【解答】解：∵偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0）， ∴函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，f（2）=0 ∴不等式f（a﹣2）＞0等价为f（|a﹣2|）＞f（2）， 即|a﹣2|＞2， 即a﹣2＞2或a﹣2＜﹣2， 解得a＞4或a＜0， 故选D． 【点评】本题主要考查不等式的求解，以及函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数的性质． 4. 2007年12月中旬，我国南方一些地区遭遇历史罕见的雪灾，电煤库存吃紧。为了支援南方地区抗灾救灾，国家统一部署，加紧从北方采煤区调运电煤。某铁路货运站对6列电煤货运列车进行编组调度，决定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲与乙两列列车在同一小组.如果甲与乙所在小组的3列列车先开出,那么这6列列车先后不同的发车顺序共有(     )     A、36种         B、144种           C、216种          D、432种 参考答案： B 5. 设，是z的共轭复数，则(    ) A．－1 B．i C．1 D．4 参考答案： C 6. 郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（   ） A．168种 B．156种 C．172种 D．180种 参考答案： B 分类：（1）小李和小王去甲、乙，共种（2）小王，小李一人去甲、乙，共种，（3）小王，小李均没有去甲、乙，共种，总共N种，选B.   7. 已知函数f（x）=2cos（x+φ）图象的一个对称中心为（2，0），且f（1）＞f（3），要得到函数，f（x）的图象可将函数y=2cosx的图象（　　） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 参考答案： C 【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【分析】结合条件利用余弦函数的图象和性质求得ω和φ的值，可得函数的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论． 【解答】解：∵函数f（x）=2cos（x+φ）图象的一个对称中心为（2，0），∴+φ=kπ+，k∈Z， 故可取φ=﹣，f（x）=2cos（x﹣），满足f（1）＞f（3）， 故可将函数y=2cosx的图象向右平移个单位，得到f（x）=2cos（x﹣）的图象， 故选：C． 【点评】本题主要考查余弦函数的图象和性质，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题． 8. 设是任意等比数列，它的前项和，前项和与前项和分别为，则下列等式中恒成立的是  (     ) A、                       B、 C、                          D、 参考答案： D 9. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象（     ） A．向左平移个单位                    B．向右平移个单位 C．向左平移个单位                    D．向右平移个单位 参考答案： A 略 10. 如图，点N为正方形ABCD的中心，为正三角形，平面平面ABCD，M是线段ED的中点，则（  ） A. ，且直线是相交直线 B. ，且直线是相交直线 C. ，且直线是异面直线 D. ，且直线是异面直线 参考答案： B 【分析】 利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题． 【详解】如图所示， 作于，连接，过作于． 连，平面平面． 平面，平面，平面， 与均为直角三角形．设正方形边长为2，易知， ．，故选B．   【点睛】本题考查空间想象能力和计算能力， 解答本题的关键是构造直角三角性。 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设是两箱梁不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是      ． ①若则 ②若，则 ③若，则；④若，则 参考答案： ①②   12. 若是锐角，且，则的值是____________ 参考答案：   13. x0是x的方程ax=logax（0＜a＜1）的解，则x0，1，a这三个数的大小关系是          ． 参考答案： a＜x0＜1 【考点】指数函数的图像与性质；对数函数的图像与性质． 【专题】数形结合． 【分析】显然方程ax=logax不能用代数方法研究．利用数形结合的思想，先分别作函数y=ax及y=logax的图象，如图，它们的交点为P（x0，y0），结合图形得出结论即可． 【解答】解：根据题意，分别作函数y=ax及y=logax的图象 如图，它们的交点为P（x0，y0），易见x0＜1，y0＜1， 而y0==logax0即logax0＜1=logaa，又0＜a＜1， ∴x0＞a，即a＜x0＜1． 故答案为：a＜x0＜1． 【点评】本题查图象法求方程根的问题，对于本题这样的特殊方程解的问题通常是借助相关的函数图象交点的问题来研究． 14. 抛物线的焦点为，其准线与双曲线相交于两点，若为等边三角形，则 . 参考答案： 2倍的根号下3 15. 已知集合，则中元素的个数为    ▲    ． 参考答案： 4 16. 设F（1，0），M点在x轴上，P点在y轴上，且，当点P在y轴上运动时，点N的轨迹方程为__________． 参考答案： y2＝4x 设， 则， ， ． 17. 函数               参考答案： 0 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知椭圆E经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e＝，斜率为2的直线l过点A(2,3)． (1)求椭圆E的方程； (2)在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由． 参考答案： (2)假设椭圆E上存在关于直线l对称的相异两点P、Q，令P(x1，y1)、Q(x2，y2)，且PQ的中点为R(x0，y0)． ∵PQ⊥l， 又∵R(x0，y0)在直线l上， ∴y0＝2x0－1，④ 由③④解得：x0＝2，y0＝3， 所以点R与点A是同一点，这与假设矛盾， 故椭圆E上不存在关于直线l对称的相异两点．   略 19. （本小题10分，矩阵与变换） 已知矩阵有特征值及对应的一个特征向量. （Ⅰ）求矩阵；   （Ⅱ）写出矩阵的逆矩阵. 参考答案： （Ⅰ）由题知，=……………………………4分 …………………………………………………………………6分 （Ⅱ）……………………………………………………………10分 20. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，∠ABC=∠BAD=90°，AP=AD=AB=，BC=t，∠PAB=∠PAD=α． （Ⅰ）当t=3时，试在棱PA上确定一个点E，使得PC∥平面BDE，并求出此时的值； （Ⅱ）当α=60°时，若平面PAB⊥平面PCD，求此时棱BC的长． 参考答案： 考点：向量语言表述面面的垂直、平行关系；直线与平面平行的性质；平面与平面垂直的性质． 专题：综合题；空间位置关系与距离． 分析：（Ⅰ）在棱PA上取点E，使得=，连接AC，BD交于点F，证明EF∥PC，即可证明PC∥平面BDE； （Ⅱ）取BC上一点G使得BG=，连结DG，则ABGD为正方形．过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O．连结OA，OB，OD，OG，以O坐标原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面PAB的法向量=（﹣1，1，1）、同平面PCD的法向量=（1﹣， 1，﹣1），由=0，解得BC的长． 解答： 解：（1）在棱PA上取点E，使得=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2 连接AC，BD交于点F， 因为AD∥BC， 所以=， 所以=，所以，EF∥PC 因为PC?平面BDE，EF?平面BDE 所以PC∥平面BDE﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4 （Ⅱ）取BC上一点G使得BG=，连结DG，则ABGD为正方形．过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O．连结OA，OB，OD，OG． AP=AD=AB，∠PAB=∠PAD=60°， 所以△PAB和△PAD都是等边三角形，因此PA=PB=PD， 所以OA=OB=OD， 即点O为正方形ABGD对角线的交点，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣7 以O坐标原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz． 则O（0，0，0），P（0，0，1），A（﹣1，0，0），B（0，1，0），D（0，﹣1，0），G（1，0，0） 设棱BC的长为t，则C（t，1﹣t，0）， =（﹣1，0，﹣1），=（0，1，﹣1），=（t，1﹣t，﹣1），=（0，﹣1，﹣1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣9 设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则 ，取=（﹣1，1，1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10 同理平面PCD的法向量=（1﹣，1，﹣1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣11 由=0，解得t=2，即BC的长为2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣12 点评：本题主要考查了线面平行的判定定理及性质，考查向量方法的运用，正确建立坐标系，求出平面的法向量是关键． 21. 为弘扬“中华优秀传统文化”，某中学在校内对全体学生进行了一次相关测试，规定分数大于等于80分为优秀，为了解学生的测试情况，现从近2000名学生中随机抽取100名学生进行分析，按成绩分组，得到如下的频率分布表： 分数 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100) 频数 5 35 30 20 10 （1）在图中作出这些数据的频率分布直方图； （2）估计这次测试的平均分； （3）将频率视为概率，从该中学中任意选取3名学生，表示这3名学生成绩优秀的人数，求的分布列和数学期望. 参考答案： (1)由题意可知分布在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100)内的频率为0.05，0.35，0.3，0.2，0.1，作频率分布直方图如图所示. (2). (3)记事件“随机选取一名学生的成绩为优秀”为事件，则， 易知， 则，， ，， 的分布列为 0 1 2 3 . 22. 设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an﹣1（n=1，2，…） （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若数列{bn}满足bn=，求数列{bn}的前n项和Tn，并求使Tn成立的n的最大值． 参考答案： 考点：数列的求和；数列递推式． 专题：等差数列与等比数列． 分析：（Ⅰ）