湖南省娄底市涟源茅塘乡茅塘中学高二数学理测试题含解析

湖南省娄底市涟源茅塘乡茅塘中学高二数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知抛物线的准线与圆相切，则的值为 A．            B．            C．            D． 参考答案： D 2. 设命题p：A={x|（4x﹣3）2≤1}；命题q：B={x|a≤x≤a+1}，若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】由（4x﹣3）2≤1，得≤x≤1，A={x|≤x≤1}．由?p是?q的必要不充分条件，得p是q的充分不必要条件，即AB，即可得出． 【解答】解：由（4x﹣3）2≤1，得≤x≤1，A={x|≤x≤1}． 由?p是?q的必要不充分条件，得p是q的充分不必要条件，即AB， ∴，∴0≤a≤．∴实数a的取值范围是[0，]． 3. 如果函数的图象关于直线对称，那么（      ） A      B        C         D    参考答案： D 4. 在△ABC中，已知，B=，C=，则等于               A.            B.          C.           D. 参考答案： A 5. 下面为一个求20个数的平均数的程序,在横线上应填充的语句为 (    ) A．i>20           B．i<20           C．i>=20          D．i<=20 参考答案： A 6. 《张丘建算经》中载有如下叙述：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里，问末日行几何．”其大意为：“现有一匹马行走速度越来越慢，每天行走的距离是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里，问最后一天行走的距离是多少？”依据上述记载，计算第天行走距离大约是（结果采用四舍五入，保留整数）．（   ） A． 10里        B．8里       C.6里         D．4里 参考答案： C 7. 已知的定义域为R，的导函数的图象如所示，则       （   ） A．在处取得极小值   B．在处取得极大值       C．是上的增函数            D．是上的减函数，上的增函数 参考答案： C 略 8. 光线沿直线y＝2x＋1射到直线y＝x上，被y＝x反射后的光线所在的直线方程为(　　) 参考答案： B 9. 在直角坐标系中，点是单位圆与轴正半轴的交点，射线交单位圆于点，若，则点的坐标是  (     ） A．  B． C．  D． 参考答案： A 略 10. 函数处的切线方程是（　　） A．4πx+16y﹣π2=0 B．4πx﹣16y﹣π2=0 C．4πx+8y﹣π2=0 D．4πx﹣8y﹣π2=0 参考答案： C 【考点】62：导数的几何意义；63：导数的运算． 【分析】先利用导数的几何意义，求出k=y′|x=，再利用直线的点斜式求出切线方程． 【解答】解：∵y′=cos2x﹣2xsin2x， ∴， 整理得：4πx+8y﹣π2=0， 故选C． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知点P（x，y）的坐标满足条件，则点P到直线的距离的最大值是_______. 参考答案： 12. 已知条件p : x≤1，条件q：<1，则p是q的             条件 参考答案： 充分不必要 略 13. 已知曲线y=x+sinx，则此曲线在x=处的切线方程为　　． 参考答案： 6x﹣6y+3﹣π=0 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】求出函数的导数，可得曲线y=x+sinx，则此曲线在x=处的切线斜率，求出切点，由点斜式方程可得切线的方程． 【解答】解：曲线y=x+sinx的导数为y′=cosx+， 可得曲线y=x+sinx，在x=处的切线斜率为=1， 切点为（，）， 可得曲线y=x+sinx，则此曲线在x=处的切线方程为y﹣=x﹣， 即为6x﹣6y+3﹣π=0， 故答案为：6x﹣6y+3﹣π=0． 14. 已知，则函数f（x）的解析式为　　． 参考答案： f（x）=x2﹣1，（x≥1） 【考点】36：函数解析式的求解及常用方法． 【分析】换元法：令+1=t，可得=t﹣1，代入已知化简可得f（t），进而可得f（x） 【解答】解：令+1=t，t≥1，可得=t﹣1， 代入已知解析式可得f（t）=（t﹣1）2+2（t﹣1）， 化简可得f（t）=t2﹣1，t≥1 故可得所求函数的解析式为：f（x）=x2﹣1，（x≥1） 故答案为：f（x）=x2﹣1，（x≥1） 15. 数字除以100的余数为    ． 参考答案： 41 16. 观察下列各式：，，，， ，…,则 参考答案： 29 略 17. 复数_____________________________ . 参考答案： 2i  略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量） 共有100个数据，将数据分组如右表： （1）根据表格将频率分布直方图补全； （注：横轴纤度间距0.04，最小是1.30，最大是1.54） （2）估计纤度落在中的概率及纤度小于的概率是多少？ （3）从频率分布直方图估计出纤度的众数、中位数和平均数． 分组 频数 合计       参考答案： （1）图略；（2）0.69；0.59；（3）1.4；1.408；1.4088 略 19. 已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，直线l：y=kx+a（a＞0）与抛物线C交于A，B两点． （Ⅰ）设抛物线C在A和B点的切线交于点P，试求点P的坐标； （Ⅱ）若直线l过焦点F，且与圆x2+（y﹣1）2=1相交于D，E（其中A，D在y轴同侧），求证：|AD|?|BE|是定值． 参考答案： 【考点】圆锥曲线的最值问题；直线与抛物线的位置关系；圆锥曲线的范围问题． 【分析】（Ⅰ）求出抛物线C：x2=4y的焦点F（0，1）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立x2=4y与y=kx+a有x2﹣4kx﹣4a=0，则△=16（k2+a）＞0，且x1+x2=4k，x1?x2=﹣4a，求出导函数利用切线方程，结合韦达定理，化简求解即可． （Ⅱ）若直线l过焦点F，则a=1，则x1+x2=4k，x1?x2=﹣4．求出圆x2+（y﹣1）2=1圆心为F（0，1），半径为1，由抛物线的定义有|AF|=y1+1，|BF|=y2+1，吐槽|AD|=|AF|﹣1=y1，|BE|=|BF|﹣1=y2，利用|AD|?|BE|=y1y2，转化求解|AD|?|BE|为定值． 【解答】解：抛物线C：x2=4y的焦点F（0，1），… 设A（x1，y1），B（x2，y2），联立x2=4y与y=kx+a有x2﹣4kx﹣4a=0， 则△=16（k2+a）＞0，且x1+x2=4k，x1?x2=﹣4a．… （Ⅰ）由x2=4y有，则，… 则抛物线C在处的切线为， 即…①… 同理抛物线C在处的切线为…②… 联立①②解得，代入①式解得， 即P（2k，﹣a）．… （Ⅱ）若直线l过焦点F，则a=1，则x1+x2=4k，x1?x2=﹣4． 由条件可知圆x2+（y﹣1）2=1圆心为F（0，1），半径为1，… 由抛物线的定义有|AF|=y1+1，|BF|=y2+1，… 则|AD|=|AF|﹣1=y1，|BE|=|BF|﹣1=y2，…10分， |AD|?|BE|=y1y2=（kx1+1）（kx2+1） =， （或） 即|AD|?|BE|为定值，定值为1．… 20. 在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c且. （1）求角C的值； （2）若△ABC为锐角三角形,且,求的取值范围. 参考答案： （1）；（2）. 试题分析：(1)在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围;(2)在三角形中，注意隐含条件，（3）注意锐角三角形的各角都是锐角.（4）把边的关系转化成角，对于求边的取值范围很有帮助 试题解析：（1）由，得， 所以，则，由，。 （2）由（1）得，即， 又△ABC为锐角三角形，故从而． 由，所以 所以, 所以 因为 所以 即 考点：余弦定理的变形及化归思想 21. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为． （Ⅰ）求圆C的圆心到直线l的距离； （Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B．若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|． 参考答案： （Ⅰ）由，可得，即圆C的方程为． 由可得直线l的方程为． 所以，圆C的圆心到直线l的距离为．         … （Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，即． 由于△=．故可设t1、t2是上述方程的两个实根， 所以，又直线l过点， 故由上式及t的几何意义得．       …（10分） 22. 已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． （1）求B的大小； （2）设，D为边AC上的点，满足，求的最小值． 参考答案： （1）由得， ， （2）， ， ， ，，当且仅当时取到.