辽宁省抚顺市清原满族自治县敖家堡中学高二数学理联考试题含解析

辽宁省抚顺市清原满族自治县敖家堡中学高二数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数，在区间内任取两个不相等的实数、，若不等式恒成立，则实数的取值范围是(    ) A．(－∞,2]         B．       C.         D． 参考答案： B 2. 如图，已知空间四边形，其对角线为，分别是边的中点，点 在线段上，且使，用向量表示向量是     A．   B． C．    D． 参考答案： A 略 3. 已知集合，，则（    ） A、 B、 C、  D、 参考答案： C 略 4. 已知满足，则的最小值为  (     ) A．1         B．               C．           D． 参考答案： B 5. 某校共有学生2000名，各年级男、女学生人数如下表，现用分层抽样的方法在全校学生中抽取64人，则应在三年级抽取的学生人数为                   （   　　）   一年级 二年级 三年级 女生 385 380 男生 375 360 ．19           .16           .500           .18 参考答案： B 6. 已知都是正实数，且满足，则的最小值为（  ） A．12         B．10         C．8          D．6 参考答案： C 7. 已知向量，，其中|=，||=2，且（﹣）⊥，则向量与的夹角是（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】数量积表示两个向量的夹角． 【分析】根据两向量垂直，其数量积为0，列出方程求出夹角的余弦值，即可得出夹角的大小． 【解答】解：设向量，的夹角为θ， ∵||=，||=2， 且（﹣）⊥， ∴（﹣）?=﹣?=0， 即﹣×2×cosθ=0， 解得cosθ=， 又θ∈[0，π]， ∴θ=， 即向量与的夹角是． 故选：A． 8. 已知F1、F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（　　） A．（1，） B．（，+∞） C．（，2） D．（2，+∞） 参考答案： D 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】根据斜率与平行的关系即可得出过焦点F2的直线，与另一条渐近线联立即可得到交点M的坐标，再利用点M在以线段F1F2为直径的圆外和离心率的计算公式即可得出． 【解答】解：双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x， 不妨设过点F2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=（x﹣c）， 与y=﹣x联立，可得交点M（，﹣）， ∵点M在以线段F1F2为直径的圆外， ∴|OM|＞|OF2|，即有＞c2， ∴b2＞3a2， ∴c2﹣a2＞3a2，即c＞2a． 则e=＞2． ∴双曲线离心率的取值范围是（2，+∞）． 故选：D． 9. 在的展开式中，的系数为（     ） A. 60 B. -60 C. 240 D. -240 参考答案： A 【分析】 写出的展开式的通项公式，让的指数为2，求出，最后求出的系数. 【详解】的展开式的通项公式为：，令，所以的系数为：，故本题选A. 10. 设△ABC的三边长分别为a,b,c, △ABC的面积为S，则△ABC的内切圆半径为，将此结论类比到空间四面体：设四面体S-ABC的四个面的面积分别为，体积为V，则四面体的内切球半径为（  ） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．从而四面体的体积为：V（S1+S2+S3+S4）r，由此能求出四面体的内切球半径． 【详解】设四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，体积为V， 设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r， 所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和． 则四面体的体积为：V（S1+S2+S3+S4）r， ∴r． 故选：C． 【点睛】本题考查四面体的内切球半径的求法及三棱锥体积公式的应用，考查推理论证能力，是基础题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在展开式中，系数为有理数的项共有                    项. 参考答案： 6 略 12. 设 若_______________． 参考答案： 1 略 13. 设集合，则实数的值为       参考答案： 略 14. 若椭圆的两个焦点为,P为椭圆上一点, ,则的面积等于,类比椭圆这一结论,在双曲线中的面积等于___________. 参考答案： 15. 执行如图所示的流程图，则输出的S＝________. 参考答案： 7500 16. 关于二项式(x-1)2005有下列命题： ①该二项展开式中非常数项的系数和是1；②该二项展开式中第六项为Cx1999； ③该二项展开式中系数最大的项是第1002项；④当x=2006时，(x-1)2005除以2006的余数是2005． 其中正确命题的序号是__________ ．(注：把你认为正确的命题序号都填上) 参考答案： ①④ 略 17. 将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有________种(用数字作答)． 参考答案： 36 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E为棱AB的中点，求： （Ⅰ）D1E与平面BC1D所成角的大小； （Ⅱ）二面角D－BC1－C的大小； （Ⅲ）异面直线B1D1与BC1之间的距离． 参考答案：   19. （2015秋?福建校级期中）研究数列{xn}的前n项发现：{xn}的各项互不相同，其前i项（1≤i≤n﹣1）中的最大者记为ai，最后n﹣i项（i≤i≤n﹣1）中的最小者记为bi，记ci=ai﹣bi，此时c1，c2，…cn﹣2，cn﹣1构成等差数列，且c1＞0，证明：x1，x2，x3，…xn﹣1为等差数列． 参考答案： 【考点】等差关系的确定． 【专题】证明题；转化思想；转化法；等差数列与等比数列． 【分析】依题意，0＜c1＜c2＜…＜cn﹣1，可用反证法证明x1，x2，…，xn﹣1是单调递增数列；再证明xm为数列{xn}中的最小项，从而可求得是xk=ck+xm，问题得证 【解答】证明：设c为c1，c2，…cn﹣2，cn﹣1的公差， 对1≤i≤n﹣2，因为bi≤bi+1，c＞0， 所以ai+1=bi+1+ci+1≥bi+ci+c＞bi+ci=ai， 又因为ai+1=max{ai，xi+1}，所以xi+1=ai+1＞ai≥xi． 从而x1，x2，…，xn﹣1为递增数列． 因为ai=xi（i=1，2，…n﹣1）， 又因为b1=a1﹣c1＜a1， 所以b1＜x1＜x2＜…＜xn﹣1， 因此xn=b1． 所以b1=b2=…=bn﹣1=xn． 所以xi=ai=bi+ci=xn+ci， 因此对i=1，2，…，n﹣2都有xi+1﹣xi=ci+1﹣ci=c， 即x1，x2，…，xn﹣1是等差数列． 【点评】本题考查等差数列，突出考查考查推理论证与抽象思维的能力，考查反证法的应用，属于难题． 20. 在平面直角坐标系xoy中，给定三点，点P到直线BC的距离是该点到直线AB，AC距离的等比中项。 （Ⅰ）求点P的轨迹方程； （Ⅱ）若直线L经过的内心（设为D），且与P点的轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围。 参考答案： 解析：（Ⅰ）直线AB、AC、BC的方程依次为。点到AB、AC、BC的距离依次为。依设，，即，化简得点P的轨迹方程为 圆S：         ......5分 （Ⅱ）由前知，点P的轨迹包含两部分 圆S：              ① 与双曲线T：      ② 因为B（－1，0）和C（1，0）是适合题设条件的点，所以点B和点C在点P的轨迹上，且点P的轨迹曲线S与T的公共点只有B、C两点。 的内心D也是适合题设条件的点，由，解得，且知它在圆S上。直线L经过D，且与点P的轨迹有3个公共点，所以，L的斜率存在，设L的方程为       ③ （i）当k=0时，L与圆S相切，有唯一的公共点D；此时，直线平行于x轴，表明L与双曲线有不同于D的两个公共点，所以L恰好与点P的轨迹有3个公共点。......10分 （ii）当时，L与圆S有两个不同的交点。这时，L与点P的轨迹恰有3个公共点只能有两种情况：     情况1：直线L经过点B或点C，此时L的斜率，直线L的方程为。代入方程②得，解得。表明直线BD与曲线T有2个交点B、E；直线CD与曲线T有2个交点C、F。 故当时，L恰好与点P的轨迹有3个公共点。                      ......15分     情况2：直线L不经过点B和C（即），因为L与S有两个不同的交点，所以L与双曲线T有且只有一个公共点。即方程组有且只有一组实数解，消去y并化简得 该方程有唯一实数解的充要条件是       ④ 或                 ⑤ 解方程④得，解方程⑤得。 综合得直线L的斜率k的取值范围是有限集。       ......20分 21. 已知抛物线上有一点到焦点的距离为. （Ⅰ）求及的值. （Ⅱ）如图，设直线与抛物线交于两点，且,过弦的中点作垂直于轴的直线与抛物线交于点，连接.试判断的面积是否为定值？若是，求出定值；否则，请说明理由. 参考答案： 略 22. 已知命题p：不等式x2﹣2ax﹣2a+3≥0恒成立；命题q：不等式x2+ax+2＜0有解． （Ⅰ）若p∨q和￢q均为真命题，求实数a的取值范围； （Ⅱ）若p是真命题，抛物线y=x2与直线y=ax+1相交于M，N两点，O为坐标原点，求△OMN面积的最大值． 参考答案： 【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假． 【分析】（Ⅰ）p∨q和?q均为真命题，?p为真命题且q为假命题．求出故命题p为真命题时，命题q为假命题时，实数a的取值范围，再求交集． （Ⅱ）由（Ⅰ）得命题p为真命题时实数a的取值范围，△OMN面积s=×，由韦达定理即可求解． 【解答】解：（Ⅰ）∵p∨q和?q均为真命题，∴p为真命题且q为假命题． ∵命题p：不等式x2﹣2ax﹣2a+3≥0恒成立， ∴△=4a2+8a﹣12≤0．∴﹣3≤a≤1． 故命题p为真命题时，﹣3≤a≤1． 又命题q：不等式x2+ax+2＜0有解 ∴△=a2﹣8＞0∴a＞或a＜﹣ 从而命题q为假命题时，﹣≤a≤ 所以命题p为真命题，q为假命题时，实数a的取值范围是﹣≤a≤1． （Ⅱ）由（Ⅰ）得命题p为真命题时，﹣3≤a≤1 设点M、N的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）， 联立消去y，得到x2﹣ax﹣1=0， △OMN面积s=×