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浙江省温州市泰顺县第七中学2022-2023学年高二数学理联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数上的奇函数,当时,
的大致图象为
参考答案:
B
2. 双曲线的焦点坐标是( )
A. B. C.(±2,0) D.(0,±2)
参考答案:
C
【考点】KC:双曲线的简单性质.
【分析】根据双曲线方程,可得该双曲线的焦点在x轴上,由平方关系算出c==2,即可得到双曲线的焦点坐标.
【解答】解:∵双曲线方程为
∴双曲线的焦点在x轴上,且a2=3,b2=1
由此可得c==2,
∴该双曲线的焦点坐标为(±2,0)
故选:C
3. 圆x2+y2﹣4x=0在点P(1,)处的切线方程为( )
A.
x+y﹣2=0
B.
x+y﹣4=0
C.
x﹣y+4=0
D.
x﹣y+2=0
参考答案:
D
略
4. 观察图示图形规律,在其右下角的空格内画上合适的图形为( )
参考答案:
A
略
5. 用1,2,3,4,5这5个数字组成没有重复数字的三位数,其中偶数的有( )
A.24 B.30 C.40 D.60
参考答案:
A
6. 阅读如图所示的程序框图,则输出的S=( )
A.45 B.35
C.21 D.15
参考答案:
D
7. 下列函数是奇函数的是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
8. 设双曲线的虚轴长为2,焦距为,则双曲线的渐近线方程为
A. B.
C. D.
参考答案:
A
略
9. ( )
A. 5 B. 5i C. 6 D. 6i
参考答案:
A
【分析】
由题,先根据复数的四则运算直接求出结果即可
【详解】由题
故选A
10. 若点满足,点在圆 上,则的最大值为
A. 6 B. 5 C. D.
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为轴,且过点,则抛物线的方程为
参考答案:
,设抛物线的方程为,代入点,得,故抛物线的方程为.
12. 已知x与y之间的一组数据:
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
则y与x的线性回归方程=bx+a必过点 .
参考答案:
(1.5,4)
【考点】线性回归方程.
【分析】要求y与x的线性回归方程为y=bx+a必过的点,需要先求出这组数据的样本中心点,根据所给的表格中的数据,求出横标和纵标的平均值,得到样本中心点,得到结果.
【解答】解:∵,
=4,
∴本组数据的样本中心点是(1.5,4),
∴y与x的线性回归方程为y=bx+a必过点(1.5,4)
故答案为:(1.5,4)
13. 点P(x,y)在圆C:上运动,点A(-2,2),B(-2,-2)是平面上两点,则的最大值________.
参考答案:
7+2
略
14. 命题“如果点M的坐标满足双曲线C的方程,则点M在双曲线C的图象上”的逆否命题是_______________________________________________________________
参考答案:
_如果点M不在双曲线C上,则点M的坐标不满足双曲线C的方程
略
15. 已知直线与函数的图象恰有三个不同的公共点,则实数m的取值范围是 .
参考答案:
16. 已知i为虚数单位,则复数=___.
参考答案:
【分析】
直接利用复数代数形式的乘方与除法运算化简得答案.
【详解】z,
故答案为:.
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,是基础的计算题.
17. 已知方程+y2=1表示的曲线是焦点在x轴上且离心率为的椭圆,则m= .
参考答案:
【考点】椭圆的简单性质.
【专题】计算题;数形结合;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】由焦点在x轴上的椭圆的标准方程+y2=1,结合离心率列方程,即可求出m的值.
【解答】解:焦点在x轴上的椭圆方程+y2=1的离心率为,
则a=>1,b=1,c=,
∴=,解得m=.
则m的值是 .
故答案为:.
【点评】本题考查椭圆的简单性质,解题时要注意公式的合理运用.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题满分12分)已知直线与椭圆相交于、两点.
(1)若椭圆的离心率为,焦距为,求线段的长;
(2)若向量与向量互相垂直(其中为坐标原点),当椭圆的离心率时,求椭圆长轴长的最大值.
参考答案:
(1),2=2,即∴则
∴椭圆的方程为, 2分
将代入消去得: 设
∴ 5分
(2)设
,即 6分
由,消去得:
由,整理得:
又, 8分
由,得:
,整理得: 9分
代入上式得:,
,条件适合,
由此得:,故长轴长的最大值为. 12分
19. 袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个,现一次有放回地随机摸取3次,每次摸取一个球
(Ⅰ)试问:一共有多少种不同的结果?请列出所有可能的结果;
(Ⅱ)若摸到红球时得2分,摸到黑球时得1分,求3次摸球所得总分为5的概率.
参考答案:
【考点】等可能事件的概率;随机事件.
【分析】(1)由分步计数原理知这个过程一共有8个结果,按照一定的顺序列举出所有的事件,顺序可以是按照红球的个数由多变少变化,这样可以做到不重不漏.
(2)本题是一个等可能事件的概率,由前面可知试验发生的所有事件数,而满足条件的事件包含的基本事件为:(红、红、黑)、(红、黑、红)、(黑、红、红),根据古典概型公式得到结果.
【解答】解:(I)一共有8种不同的结果,列举如下:
(红、红、红、)、(红、红、黑)、(红、黑、红)、(红、黑、黑)、(黑、红、红)、(黑、红、黑)、(黑、黑、红)、(黑、黑、黑)
(Ⅱ)本题是一个等可能事件的概率
记“3次摸球所得总分为5”为事件A
事件A包含的基本事件为:(红、红、黑)、(红、黑、红)、(黑、红、红)事件A包含的基本事件数为3
由(I)可知,基本事件总数为8,
∴事件A的概率为
20. 已知函数在区间[2,3]上有最大值4和最小值1,设.
(1)求a,b的值;
(2)若不等式在区间[-1,1]上恒成立,求实数k的取值范围.
参考答案:
(1)a=1,b=0;(2) .
【分析】
(Ⅰ)依据题设条件建立方程组求解;(Ⅱ)将不等式进行等价转化,然后分离参数,再换元利用二次函数求解.
【详解】(Ⅰ),
因为,所以在区间上是增函数,
故,解得.
(Ⅱ)由已知可得,所以可化为,
化为,令,则,因,故,
记,因为,故,
所以的取值范围是.
【点睛】(1)本题主要考查二次函数的图像和性质,考查不等式的恒成立问题,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力,(2)本题的关键有两点,其一是分离参数得到,其二是换元得到,.
21. 抛物线的顶点在原点,对称轴为轴,它与圆相交,公共弦的长为,求该抛物线的方程,并写出它的焦点坐标与准线方程.
参考答案:
解:由题意,抛物线方程为设公共弦MN交轴于点A,则MA=AN=.,点在抛物线上,即,故抛物线的方程为或……………4分
抛物线的焦点坐标为准线方程为.抛物线的焦点坐标为准线方程为.……………8分
略
22. 在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α是参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=.
(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;
(2)求曲线C1上的任意一点P到曲线C2的最小距离,并求出此时点P的坐标.
参考答案:
【考点】简单曲线的极坐标方程.
【分析】(1)曲线C1的参数方程为(α是参数),x=2cos2α=1+cos2α,利用cos22α+sin22α=1即可得出.
曲线C2的极坐标方程为ρ=,化为ρsinθ﹣ρcosθ=1,利用即可得出.
(2)设与曲线C2平行且与曲线C1的直线方程为y=x+t,代入圆的方程可得:2x2+2(t﹣1)x+t2=0,利用△=0,解得t.利用平行线之间的距离公式可得最小距离,进而得出点P.
【解答】解:(1)曲线C1的参数方程为(α是参数),x=2cos2α=1+cos2α,∴(x﹣1)2+y2=1.
曲线C2的极坐标方程为ρ=,化为ρsinθ﹣ρcosθ=1,∴y﹣x=1,即x﹣y+1=0.
(2)设与曲线C2平行且与曲线C1的直线方程为y=x+t,代入圆的方程可得:2x2+2(t﹣1)x+t2=0,∵△=4(t﹣1)2﹣8t2=0,化为t2+2t﹣1=0,解得.
取t=﹣1,直线y=x+1与切线的距离d==﹣1,即为曲线C1上的任意一点P到曲线C2的最小距离.
此时2x2+2(t﹣1)x+t2=0,化为=0,解得x==,y=,∴P.
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