2022年江西省九江市涌泉中学高二数学理下学期期末试卷含解析

2022年江西省九江市涌泉中学高二数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf'（x）+f（x）≤0，对任意的0＜a＜b，则必有（　　） A．af（b）≤bf（a） B．bf（a）≤af（b） C．af（a）≤f（b） D．bf（b）≤f（a） 参考答案： A 【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算． 【分析】先构造函数，再由导数与原函数的单调性的关系解决． 【解答】解：xf′（x）+f（x）≤0?[xf（x）]′≤0?函数F（x）=xf（x）在（0，+∞）上为常函数或递减， 又0＜a＜b且f（x）非负，于是有：af（a）≥bf（b）≥0①＞＞0②， ①②两式相乘得：≥≥0?af（b）≤bf（a）， 故选：A． 2. 如图，已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB则下列结论正确的是（　　） A．PB⊥AD B．平面PAB⊥平面PBC C．直线BC∥平面PAE D．直线PD与平面ABC所成的角为45° 参考答案： D 【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质． 【分析】利用题中条件，逐一分析答案，通过排除和筛选，得到正确答案． 【解答】解：∵AD与PB在平面的射影AB不垂直， 所以A不成立，又，平面PAB⊥平面PAE， 所以平面PAB⊥平面PBC也不成立；BC∥AD∥平面PAD， ∴直线BC∥平面PAE也不成立． 在Rt△PAD中，PA=AD=2AB，∴∠PDA=45°， 故选D． 3. 下面四个判断中，正确的是（    ） A．式子，当时为1 B．式子，当时为 C．式子，当时为 D．设，则 参考答案： C 4. 设f(x)= x3+ax2+5x+6在区间[1,3]上为单调函数,则实数a的取值范围是(    )   A.[ -,+∞)   B.(-∞,-3]    C.(-∞,-3]∪[-,+∞)   D.[-, ] 参考答案： C 略 5. 命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的否命题是（    ）     A．“若一个数是负数,则它的平方不是正数”         B．“若一个数的平方是正数,则它是负数”          C．“若一个数不是负数,则它的平方不是正数”                      D．“若一个数的平方不是正数,则它不是负数” 参考答案： C 略 6. 连接椭圆 (a>b>0)的一个焦点和一个顶点得到的直线方程为x-2y+2=0,则该椭圆的离心率为(　　) A．         B．         C．         D． 参考答案： A 略 7. 若数列的前n项的和S n = n2－2n+ 1,则这个数列的前三项为 (    ) A  –1,1,3       B  –1,1,4       C  0,1,3        D  0,-1,4 参考答案： C 8. 如图，非零向量           (    ） A．                           B． C．                            D． 参考答案： A 9. 若成等比数列，则关于的方程         (     )  A．必有两个不等实根             B．必有两个相等实根            C．必无实根                     D．以上三种情况均有可能 参考答案： C 10. 由曲线,直线及y轴所围成的图形的面积为    （　　） A. B. 4 C. D. 6 参考答案： A 【分析】 确定出曲线y，直线y＝x﹣2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系求解即可． 【详解】联立方程得到两曲线的交点（4，2）， 因此曲线y，直线y＝x﹣2及y轴所围成的图形的面积为： S． 故选:A． 【点睛】本题考曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若函数在在[1,2]上单调递增,则实数a的取值范围是          ． 参考答案：    [16,+∞) 12. 直线必过一定点，定点的坐标为             ． 参考答案： 略 13. 命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为          ． 参考答案： 存在，使得 全称命题的否定为其对应的特称命题，则： 命题“对任意，都有”的否定为存在，使得.   14. 在△ABC中，已知sinA+sinBcosC=0，则tanA的最大值为　　． 参考答案： 由sinA+sinBcosC=0，利用三角形内角和定理与诱导公式可得：sin（B+C）=﹣sinBcosC，展开化为：2sinBcosC=﹣cosBsinC，因此2tanB=﹣tanC，由tanA=﹣tan（B+C）展开代入利用基本不等式的性质即可得出答案． 解：由sinA+sinBcosC=0， 得， ∴C为钝角，A，B为锐角且sinA=﹣sinBcosC． 又sinA=sin（B+C）， ∴sin（B+C）=﹣sinBcosC， 即sinBcosC+cosBsinC=﹣sinBcosC， ∴2sinBcosC=﹣cosBsinC ∴2tanB=﹣tanC ∴tanA=﹣tan（B+C） == =， ∵tanB＞0，根据均值定理，， ∴，当且仅当时取等号． ∴tanA的最大值为． 故答案为：． 15. 一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东，行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔的距离为__ km．   参考答案： 略 16. 有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有                种。 参考答案： 192 略 17. 函数的定义域是__________． 参考答案： 【分析】 根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可． 【详解】要使函数=有意义,则,解得,即函数=的定义域为. 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据函数解析式求定义域的应用问题，是基础题目． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC=2AB=4，，E是A1D1的中点． （Ⅰ）在平面A1B1C1D1内，请作出过点E与CE垂直的直线l，并证明l⊥CE； （Ⅱ）设（Ⅰ）中所作直线l与CE确定的平面为α，求点C1到平面α的距离． 参考答案： 【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的性质． 【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离． 【分析】（Ⅰ）连接B1E，C1E，则直线B1E即为所求直线l，推导出B1E⊥CC1，B1E⊥C1E，能证明l⊥CE． （Ⅱ）连接B1C，则平面CEB1即为平面α，过点C1作C1F⊥CE于F，则C1F⊥平面α，直线CC1和平面α所成角为∠FCC1，由此能求出点C1到平面α的距离． 【解答】解：（Ⅰ）如图所示，连接B1E，C1E，则直线B1E即为所求直线l… ∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，CC1⊥平面A1B1C1D1 ∴B1E⊥CC1… ∵B1C1=2A1B1=4，E是A1D1的中点 ∴B1E⊥C1E… 又CC1∩C1E=C1 ∴B1E⊥平面CC1E ∴B1E⊥CE，即l⊥CE… （Ⅱ）如图所示，连接B1C，则平面CEB1即为平面α 过点C1作C1F⊥CE于F… 由（Ⅰ）知B1E⊥平面CC1E，故B1E⊥C1F ∵C1F⊥CE，CE∩B1E=E ∴C1F⊥平面CEB1，即C1F⊥平面α… ∴直线CC1和平面α所成角为∠FCC1… ∵在△ECC1中，，且EC1⊥CC1 ∴C1F=2… ∴点C1到平面α的距离为2… 【点评】本题考查线面垂直的作法与证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 19. 如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，，分别是，的中点，点在直线上，且； （Ⅰ）证明：无论取何值，总有； （Ⅱ）当取何值时，直线与平面所成的角最大？并求该角取最大值时的正切值； （Ⅲ）是否存在点，使得平面与平面所成的二面角为30o，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由． 参考答案： 证明：（1）如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则A1（0，0，1）， B1（1，0，1）， M（0，1，），N（，0） ，， C   N   （1）∵，∴ ∴无论取何值，AM⊥PN………………………………4分 （2）∵（0，0，1）是平面ABC的一个法向量。 ∴sinθ=|cos<|= ∴当＝时，θ取得最大值，此时sinθ=,cosθ=,tanθ=2  ………8分 （3）假设存在，则，设是平面PMN的一个法向量。 则得令x=3，得y=1+2,z=2-2 ∴ ∴|cos<>|=化简得4 ∵△＝100-4413＝-108<0 ∴方程（*）无解 ∴不存在点P使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30o………………………13分 20. 环境监测中心监测我市空气质量，每天都要记录空气质量指数（指数采取10分制，保留一位小数）．现随机抽取20天的指数（见下表），将指数不低于8.5视为当天空气质量优良． 天数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 空气质量指数 7.1 8.3 7.3 9.5 8.6 7.7 8.7 8.8 8.7 9.1   天数 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 空气质量指数 7.4 8.5 9.7 8.4 9.6 7.6 9.4 8.9 8.3 9.3 （Ⅰ）求从这20天随机抽取3天，至少有2天空气质量为优良的概率； （Ⅱ）以这20天的数据估计我市总体空气质量（天数很多）．若从我市总体空气质量指数中随机抽取3天的指数，用X表示抽到空气质量为优良的天数，求X的分布列及数学期望． 参考答案： 【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 【分析】（I）根据组合数公式计算所有可能的情况种数，得出答案； （II）根据二项分布的概率计算公式得出分布列，再计算数学期望． 【解答】解：（I）由表中数据可知20天中，空气质量优良的天数是12天， ∴从这20天随机抽取3天，至少有2天空气质量为优良的概率为P==． （II）任意抽取1天，则该天空气质量优良的概率为=， 故X服从二项分布X～B（3，）， ∴P（X=0）=（）3=， P（X=1）=××（）2=， P（X=2）=×（）2×=， P（X=3）=（）3=． ∴X的分布列为： X 0 1 2 3 P ∴E（X）=0×+1×+2×+3×=． 　 21. （本题14分） 已知函数，若图象上的点处的切线斜率为，求在区间上的最值． 参考答案：   ∴   ① 又在图象上,∴ 即   ② 由①②解得，  ∴ ∴ 解得或3． ∴． 又