福建省泉州市苏坑中学高二数学理联考试题含解析

福建省泉州市苏坑中学高二数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 命题“?x∈R，使x＞1”的否定是（　　） A．?x∈R，都有x＞1 B．?x∈R，使x＜1 C．?x∈R，都有x≤1 D．?x∈R，使x≤1 参考答案： C 【考点】特称命题；命题的否定． 【专题】计算题． 【分析】根据命题“?x∈R，使得x＞1”是特称命题，其否定为全称命题，即?x∈R，使得x≤1，从而得到答案． 【解答】解：∵命题“?x∈R，使得x＞1”是特称命题 ∴否定命题为：?x∈R，使得x≤1 故选C． 【点评】这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“＞”的否定用“＜”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”．特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”． 2. 在△ABC中，已知，B=，C=，则等于 A．    B．   C．     D． 参考答案： A 3. 如图所示是一个几何体的三视图，则其表面积为（    ） A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 根据三视图可得对应的三棱锥，逐个计算其侧面积和底面积可得其表面积. 【详解】将三视图复原后得到的几何体即为如图所示的三棱锥， 其中是棱长为4的正方体的顶点，为正方体的底面中心，注意到所以，，，因此该三棱锥的表面积等于.故选A. 【点睛】本题考查三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系． 4. 设函数, 若恒成立，则a的取值范围是 A.             B.           C.           D. 参考答案： C 5. 命题“?x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是（　　） A．?x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 B．?x0?（0，+∞），lnx0=x0﹣1 C．?x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．?x?（0，+∞），lnx=x﹣1 参考答案： C 【考点】命题的否定． 【专题】简易逻辑． 【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论． 【解答】解：命题的否定是：?x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1， 故选：C 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础． 6. 已知集合,则= A． B．  C．  D． 参考答案： C 略 7. 若函数恰有三个极值点，则m的取值范围是（   ） A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 因为二次函数最多有一个极值点，故先分析的部分；时，令，利用参变分离将变形为，构造新函数，判断的单调性，得出结论：最多仅有两解，因此可确定：时有两个极值点，时有一个极值点. 时，利用与有两个交点时(数形结合)，对应求出的范围；时，利用二次函数的对称轴进行分析可求出的另一个范围，两者综合即可. 【详解】由题可知，当时，令，可化为，令，则，则函数在上单调递增，在上单调递减，的图象如图所示，所以当，即时，有两个不同的解；当，令，，解得，综上，. 【点睛】分析极值点个数的时候，可转化为导函数为零时方程解的个数问题，这里需要注意：并不是导数值为零就一定是极值点，还需要在该点左右两侧导数值符号相异. 8. 若函数的图象总在直线的上方，则实数a的取值范围是（    ） A．(－∞,0)      B．(0,+∞)        C．(1,+∞)     D． (－∞,1) 参考答案： D 由题意得在区间上恒成立，，令函数所以函数在区间（0，1）上单调递减，在区间上单调递增，所以，所以，选D.   9. 如果方程﹣=1表示双曲线，那么实数m的取值范围是（　　） A．m＞2 B．m＜1或m＞2 C．﹣1＜m＜2 D．m＜1 参考答案： B 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】由题意，（m﹣1）（m﹣2）＞0，即可求出实数m的取值范围． 【解答】解：由题意，（m﹣1）（m﹣2）＞0， ∴m＜1或m＞2， 故选B． 10. 设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内，直线b在平面内，且则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分不必要条件 参考答案： A 【详解】试题分析：α⊥β， b⊥m又直线a在平面α内，所以a⊥b，但直线不一定相交，所以“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选A. 考点：充分条件、必要条件. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在等比数列中，若前项之积为，则有.那么在等差数列中，若前项之和为，用类比的方法得到的结论是              参考答案： 略 12. 已知 ，，的夹角为60°，则_____. 参考答案： 13. 已知回归方程=2x+1，而试验得到一组数据是（2，4.9），（3，7.1），（4，9.1），则残差平方和是　    　． 参考答案： 0.03 【考点】线性回归方程． 【分析】根据所给的回归直线方程，代入三个点的坐标的横坐标，求出对应的纵标值，把求得的纵标和点的原来的纵标做差，求出三个差的平方和，即得到残差平方和． 【解答】解：当x=2时，y=5， 当x=3时，y=7， 当x=4时，y=9． ∴e1=4.9﹣5=﹣0.1，e2=7.1﹣7=0.1，e3=9.1﹣9=0.1． ∴残差平方和（﹣0.1）2+（0.1）2+（0.1）2=0.03． 故答案为：0.03． 14. 已知，则的值等于   ▲   ． 参考答案：   15. 已知关于的方程在上恒有实数根，则实数的取值范围是                   . 参考答案： 16. 已知数列{an}，a1＝1，an＋1＝an－n，计算数列{an}的第20项．现已给出该问题算法的程序框图(如图所示)． 为使之能完成上述的算法功能，则在右图判断框中(A)处应填上合适的语句是       ；在处理框中(B)处应填上合适的语句是       ． 参考答案： n≤19?(或n＜20?)；S＝S－n． 17. 设，式中变量满足下列条件，则的最大值为           ． 参考答案：       三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线被直线截得的弦长为， 求抛物线的方程。 参考答案： 解析：设抛物线的方程为，则消去得 ， 则 19. 已知函数. （1）当a=2时，求不等式的解集； （2）设函数.当时，，求a的取值范围. 参考答案： （1）；（2）． 试题分析：（1）当时；（2）由 等价于 ，解之得. 试题解析： （1）当时，. 解不等式，得. 因此，解集为. （2）当时，， 当时等号成立， 所以当时，等价于. ① 当时，①等价于，无解. 当时，①等价于，解得. 所以的取值范围是. 考点：不等式选讲. 20. 如图，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点. （1）求证：PB∥平面EFG； （2）求异面直线EG与BD所成角的余弦值； （3）在线段CD上是否存在一点Q，使得A点到平面EFQ的距离为， 若存在，求出CQ的值？若不存在，请说明理由. 参考答案： 解法一： （1）取AB的中点H，连接GH，HE， ∵E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点， ∴GH∥AD∥EF，∴E、F、H、G四点共面. 又H为AB的中点，∴EH∥PB. 又EH面EFG，PB平面EFG，∴PB∥平面EFG. （4分） （2）取BC的中点M，连接GM、AM、EM，则GM∥BD， ∴∠EGM（或其补角）就是异面直线EG与BD所成的角. 在Rt△MAE中，EM＝＝， 同理EG＝，又GM＝MD＝ ∴在△MGE中，cos∠EGM＝＝＝， 故异面直线EG与BD所成角的余弦值为. （8分） （3）假设在线段CD上存在一点Q满足题设条件，过点Q作QR⊥AB于R，连接RE，则QR∥AD. ∵四边形ABCD是正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2， ∴AD⊥AB，AD⊥PA.又AB∩PA＝A，∴AD⊥平面PAB. 又∵E、F分别是PA、PD的中点，∴EF∥AD，∴EF⊥平面PAB. 又EF面EFQ，∴面EFQ⊥面PAB. 过A作AT⊥ER于T，则AT⊥平面EFQ， ∴AT就是点A到平面EFQ的距离. 设CQ＝x(0≤x≤2)，则BR＝CQ＝x，AR＝2－x，AE＝1， 在Rt△EAR中，AT＝＝＝ 解得x＝.故存在点Q，当CQ＝时，点A到平面EFQ的距离为 （13分）   解法二：建立如图所示的空间直角坐标系A—xyz，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（0，0，1），F（0，1，1），G（1，2，0）. （1）∵PB＝（2，0，－2），FE＝（0，－1，0），FG＝（1，1，－1）， 设PB＝sFE＋tFG，即(2，0，－2)＝s(0，－1，0)＋t(1，1，－1)，   ∴ 解得s＝t＝2.   ∴PB＝2FE＋2FG 又∵FE与FG不共线，∴PB，FE与FG共面. ∵PB平面EFG，∴PB∥平面EFG. （4分） （2）∵EG＝（1，2，－1），BD＝（－2，2，0）. ∴cos＜EG，BD＞＝＝＝ 故异面直线EG与BD所成的角的余弦值为 （8分） （3）假设线段CD上存在一点Q满足题设条件，令CQ＝m(0≤m≤2)，则DQ＝2－m， ∴点Q的坐标为（2－m，2，0） ∴EQ＝（2―m，2，―1） 而EF＝（0，1，0），设平面EFQ的法向量为n＝(x，y，z)，则 ∴ 令x＝1，则n＝（1，0，2－m），又AE＝（0，0，1）， ∴点A到平面EFQ的距离d＝＝＝ 即(2－m)2＝， ∴m＝或m＝，又m＝＞2不合题意，舍去. 故存在点Q，当CQ＝时，点A到平面EFQ的距离为. （13分） 略 21. 海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此商品的数量（单位：件）如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测． 地区 A B C 数量 50 150 100 （Ⅰ）求这6件样品来自A，B，C各地区商品的数量； （Ⅱ）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率． 参考答案： 【考点】古典概型及其概率计算公式． 【专题】概率与统计． 【分析】（Ⅰ）先计算出抽样比，进而可求出这6件样品来自A，B，C各地区商品的数量； （Ⅱ）先计算在这6件样品中随机抽取2件的基本事件总数，及这2件商品来自相同地区的事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案． 【解答】解：（Ⅰ）A，B，C三个地区商品的总数量为50+150+100=300， 故抽样比k==， 故A地区抽取的商品的数量为：×50=1； B地区抽取的商品的数量为：×150=3； C地区抽取的商品的数量为：×100=2； （Ⅱ）在这6件样品中随机抽取2件共有：=15个不同的基本事件； 且这些事件是等可能发生的， 记“这2件商品来自相同地区”为事件A，则这2件商品可能都来自B地区或C地区， 则A中包含=4种不同的基本事件， 故P（A）=， 即这2件商品来自相同地区的概率为． 【点评】本题考查的知识点是分层抽样，古典概型概率计算公式，难度不