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福建省泉州市苏坑中学高二数学理联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 命题“?x∈R,使x>1”的否定是( )
A.?x∈R,都有x>1 B.?x∈R,使x<1 C.?x∈R,都有x≤1 D.?x∈R,使x≤1
参考答案:
C
【考点】特称命题;命题的否定.
【专题】计算题.
【分析】根据命题“?x∈R,使得x>1”是特称命题,其否定为全称命题,即?x∈R,使得x≤1,从而得到答案.
【解答】解:∵命题“?x∈R,使得x>1”是特称命题
∴否定命题为:?x∈R,使得x≤1
故选C.
【点评】这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词,或者对于“>”的否定用“<”了.这里就有注意量词的否定形式.如“都是”的否定是“不都是”,而不是“都不是”.特称命题的否定是全称命题,“存在”对应“任意”.
2. 在△ABC中,已知,B=,C=,则等于
A. B. C. D.
参考答案:
A
3. 如图所示是一个几何体的三视图,则其表面积为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
【分析】
根据三视图可得对应的三棱锥,逐个计算其侧面积和底面积可得其表面积.
【详解】将三视图复原后得到的几何体即为如图所示的三棱锥,
其中是棱长为4的正方体的顶点,为正方体的底面中心,注意到所以,,,因此该三棱锥的表面积等于.故选A.
【点睛】本题考查三视图,要求根据三视图复原几何体,注意复原前后点、线、面的关系.
4. 设函数, 若恒成立,则a的取值范围是
A. B. C. D.
参考答案:
C
5. 命题“?x0∈(0,+∞),lnx0=x0﹣1”的否定是( )
A.?x0∈(0,+∞),lnx0≠x0﹣1 B.?x0?(0,+∞),lnx0=x0﹣1
C.?x∈(0,+∞),lnx≠x﹣1 D.?x?(0,+∞),lnx=x﹣1
参考答案:
C
【考点】命题的否定.
【专题】简易逻辑.
【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论.
【解答】解:命题的否定是:?x∈(0,+∞),lnx≠x﹣1,
故选:C
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础.
6. 已知集合,则=
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
7. 若函数恰有三个极值点,则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【分析】
因为二次函数最多有一个极值点,故先分析的部分;时,令,利用参变分离将变形为,构造新函数,判断的单调性,得出结论:最多仅有两解,因此可确定:时有两个极值点,时有一个极值点. 时,利用与有两个交点时(数形结合),对应求出的范围;时,利用二次函数的对称轴进行分析可求出的另一个范围,两者综合即可.
【详解】由题可知,当时,令,可化为,令,则,则函数在上单调递增,在上单调递减,的图象如图所示,所以当,即时,有两个不同的解;当,令,,解得,综上,.
【点睛】分析极值点个数的时候,可转化为导函数为零时方程解的个数问题,这里需要注意:并不是导数值为零就一定是极值点,还需要在该点左右两侧导数值符号相异.
8. 若函数的图象总在直线的上方,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,0) B.(0,+∞) C.(1,+∞) D. (-∞,1)
参考答案:
D
由题意得在区间上恒成立,,令函数所以函数在区间(0,1)上单调递减,在区间上单调递增,所以,所以,选D.
9. 如果方程﹣=1表示双曲线,那么实数m的取值范围是( )
A.m>2 B.m<1或m>2 C.﹣1<m<2 D.m<1
参考答案:
B
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】由题意,(m﹣1)(m﹣2)>0,即可求出实数m的取值范围.
【解答】解:由题意,(m﹣1)(m﹣2)>0,
∴m<1或m>2,
故选B.
10. 设平面与平面相交于直线m,直线a在平面内,直线b在平面内,且则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 即不充分不必要条件
参考答案:
A
【详解】试题分析:α⊥β, b⊥m又直线a在平面α内,所以a⊥b,但直线不一定相交,所以“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件,故选A.
考点:充分条件、必要条件.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在等比数列中,若前项之积为,则有.那么在等差数列中,若前项之和为,用类比的方法得到的结论是
参考答案:
略
12. 已知 ,,的夹角为60°,则_____.
参考答案:
13. 已知回归方程=2x+1,而试验得到一组数据是(2,4.9),(3,7.1),(4,9.1),则残差平方和是 .
参考答案:
0.03
【考点】线性回归方程.
【分析】根据所给的回归直线方程,代入三个点的坐标的横坐标,求出对应的纵标值,把求得的纵标和点的原来的纵标做差,求出三个差的平方和,即得到残差平方和.
【解答】解:当x=2时,y=5,
当x=3时,y=7,
当x=4时,y=9.
∴e1=4.9﹣5=﹣0.1,e2=7.1﹣7=0.1,e3=9.1﹣9=0.1.
∴残差平方和(﹣0.1)2+(0.1)2+(0.1)2=0.03.
故答案为:0.03.
14. 已知,则的值等于 ▲ .
参考答案:
15. 已知关于的方程在上恒有实数根,则实数的取值范围是 .
参考答案:
16. 已知数列{an},a1=1,an+1=an-n,计算数列{an}的第20项.现已给出该问题算法的程序框图(如图所示).
为使之能完成上述的算法功能,则在右图判断框中(A)处应填上合适的语句是 ;在处理框中(B)处应填上合适的语句是 .
参考答案:
n≤19?(或n<20?);S=S-n.
17. 设,式中变量满足下列条件,则的最大值为 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知顶点在原点,焦点在轴上的抛物线被直线截得的弦长为,
求抛物线的方程。
参考答案:
解析:设抛物线的方程为,则消去得
,
则
19. 已知函数.
(1)当a=2时,求不等式的解集;
(2)设函数.当时,,求a的取值范围.
参考答案:
(1);(2).
试题分析:(1)当时;(2)由
等价于
,解之得.
试题解析: (1)当时,.
解不等式,得.
因此,解集为.
(2)当时,,
当时等号成立,
所以当时,等价于. ①
当时,①等价于,无解.
当时,①等价于,解得.
所以的取值范围是.
考点:不等式选讲.
20. 如图,平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点.
(1)求证:PB∥平面EFG;
(2)求异面直线EG与BD所成角的余弦值;
(3)在线段CD上是否存在一点Q,使得A点到平面EFQ的距离为,
若存在,求出CQ的值?若不存在,请说明理由.
参考答案:
解法一:
(1)取AB的中点H,连接GH,HE,
∵E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点,
∴GH∥AD∥EF,∴E、F、H、G四点共面.
又H为AB的中点,∴EH∥PB.
又EH面EFG,PB平面EFG,∴PB∥平面EFG.
(4分)
(2)取BC的中点M,连接GM、AM、EM,则GM∥BD,
∴∠EGM(或其补角)就是异面直线EG与BD所成的角.
在Rt△MAE中,EM==,
同理EG=,又GM=MD=
∴在△MGE中,cos∠EGM===,
故异面直线EG与BD所成角的余弦值为.
(8分)
(3)假设在线段CD上存在一点Q满足题设条件,过点Q作QR⊥AB于R,连接RE,则QR∥AD.
∵四边形ABCD是正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,
∴AD⊥AB,AD⊥PA.又AB∩PA=A,∴AD⊥平面PAB.
又∵E、F分别是PA、PD的中点,∴EF∥AD,∴EF⊥平面PAB.
又EF面EFQ,∴面EFQ⊥面PAB.
过A作AT⊥ER于T,则AT⊥平面EFQ,
∴AT就是点A到平面EFQ的距离.
设CQ=x(0≤x≤2),则BR=CQ=x,AR=2-x,AE=1,
在Rt△EAR中,AT===
解得x=.故存在点Q,当CQ=时,点A到平面EFQ的距离为
(13分)
解法二:建立如图所示的空间直角坐标系A—xyz,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0).
(1)∵PB=(2,0,-2),FE=(0,-1,0),FG=(1,1,-1),
设PB=sFE+tFG,即(2,0,-2)=s(0,-1,0)+t(1,1,-1),
∴ 解得s=t=2.
∴PB=2FE+2FG
又∵FE与FG不共线,∴PB,FE与FG共面.
∵PB平面EFG,∴PB∥平面EFG.
(4分)
(2)∵EG=(1,2,-1),BD=(-2,2,0).
∴cos<EG,BD>===
故异面直线EG与BD所成的角的余弦值为
(8分)
(3)假设线段CD上存在一点Q满足题设条件,令CQ=m(0≤m≤2),则DQ=2-m,
∴点Q的坐标为(2-m,2,0)
∴EQ=(2―m,2,―1)
而EF=(0,1,0),设平面EFQ的法向量为n=(x,y,z),则
∴
令x=1,则n=(1,0,2-m),又AE=(0,0,1),
∴点A到平面EFQ的距离d===
即(2-m)2=,
∴m=或m=,又m=>2不合题意,舍去.
故存在点Q,当CQ=时,点A到平面EFQ的距离为.
(13分)
略
21. 海关对同时从A,B,C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口此商品的数量(单位:件)如表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
地区
A
B
C
数量
50
150
100
(Ⅰ)求这6件样品来自A,B,C各地区商品的数量;
(Ⅱ)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测,求这2件商品来自相同地区的概率.
参考答案:
【考点】古典概型及其概率计算公式.
【专题】概率与统计.
【分析】(Ⅰ)先计算出抽样比,进而可求出这6件样品来自A,B,C各地区商品的数量;
(Ⅱ)先计算在这6件样品中随机抽取2件的基本事件总数,及这2件商品来自相同地区的事件个数,代入古典概型概率计算公式,可得答案.
【解答】解:(Ⅰ)A,B,C三个地区商品的总数量为50+150+100=300,
故抽样比k==,
故A地区抽取的商品的数量为:×50=1;
B地区抽取的商品的数量为:×150=3;
C地区抽取的商品的数量为:×100=2;
(Ⅱ)在这6件样品中随机抽取2件共有:=15个不同的基本事件;
且这些事件是等可能发生的,
记“这2件商品来自相同地区”为事件A,则这2件商品可能都来自B地区或C地区,
则A中包含=4种不同的基本事件,
故P(A)=,
即这2件商品来自相同地区的概率为.
【点评】本题考查的知识点是分层抽样,古典概型概率计算公式,难度不
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