2022年辽宁省沈阳市东北中心中学高二数学文月考试卷含解析

2022年辽宁省沈阳市东北中心中学高二数学文月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知是实数,则“且”是“且”的 (    )   A．充分必要条件     B．充分而不必要条件  C．必要而不充分条件  D．既不充分也不必要条件 参考答案： B 2. 已知，，且、都是锐角，则＋（   ） A                  B               C 或         D 或 参考答案： B 3. 若，则tan2α等于（ 　） Ａ．       Ｂ．       Ｃ．       Ｄ． 参考答案： B 略 4. 如图，正四面体ABCD的棱长为1，点E是棱CD的中点，则?=（　　） A．﹣ B．﹣ C． D． 参考答案： D 【考点】向量在几何中的应用． 【分析】根据向量的几何意义和向量的数量积公式计算即可． 【解答】解：∵正四面体ABCD的棱长为1，点E是棱CD的中点， ∴?=（+）? =?+?=×1×1×+×1×1×=， 故选：D． 　 5. 如图，D为等腰三角形ABC底边AB的中点，则下列等式恒成立的是（　　） A． ?=0 B． ?=0 C． ?=0 D． ?=0 参考答案： B 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】由于D为等腰三角形ABC底边AB的中点，可得CD⊥AB，即可得出=0． 【解答】解：∵D为等腰三角形ABC底边AB的中点， ∴CD⊥AB． ∴=0． 故选：B． 6. 有20位同学，编号从1至20，现在从中抽取4人作问卷调查，用系统抽样方法确定所抽的编号为(      ) A.5，10，15，20  B.2，6，10，14  C.2，4，6，8   D.5，8，11，14 参考答案： A 略 7. 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于      () A．11或18       B．11            C．18  D．17或18 参考答案： C 8. 如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F且EF＝，则下列结论中错误的是 (　　)．   A．AC⊥BE B．EF∥平面ABCD C．三棱锥A-BEF的体积为定值 D．异面直线AE，BF所成的角为定值   参考答案： D 略 9. 不等式组表示的平面区域的面积是（    ）     A．      B．      C．      D． 参考答案： B 10. 已知椭圆中心在原点，且一个焦点为，直线与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为1，则此椭圆的方程是（    ） A．         B．       C.         D． 参考答案： C 设椭圆方程为 联立方程：，整理得：, 设，，则，即，化简得：， 又，易得：， ∴此椭圆的方程是 故选：C   二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. △ABC中，AB=，AC=1，B=30°，则△ABC的面积等于　　． 参考答案： 或 【考点】解三角形． 【分析】由已知，结合正弦定理可得，从而可求sinC及C，利用三角形的内角和公式计算A，利用三角形的面积公式进行计算可求 【解答】解：△ABC中，c=AB=，b=AC=1．B=30° 由正弦定理可得 b＜c∴C＞B=30° ∴C=60°，或C=120° 当C=60°时，A=90°， 当C=120°时，A=30°， 故答案为：或 12. F1、F2是椭圆的左、右两焦点，P为椭圆的一个顶点，若△PF1F2是等边三角形，则a2＝________. 参考答案： 12 略 13. 已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值　　． 参考答案： 5﹣4 【考点】圆与圆的位置关系及其判定． 【分析】求出圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A，以及半径，然后求解圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出|PM|+|PN|的最小值． 【解答】解：如图，圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，﹣3），半径为1，圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3， |PM|+|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和， 即：﹣4=5﹣4． 故答案为：5﹣4． 【点评】本题考查圆的对称圆的方程的求法，考查两个圆的位置关系，两点距离公式的应用，考查转化思想与计算能力，考查数形结合的数学思想，属于中档题． 14. 在的展开式中x5的系数是______________. 参考答案： -77 略 15. 若等比数列{an}满足a2a4＝，则a1aa5＝________． 参考答案： 16. 已知，则的值是      ． 参考答案： 17. 已知两直线l1：ax﹣2y+1=0，l2：x﹣ay﹣2=0．当a=　　时，l1⊥l2． 参考答案： 0 【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系． 【专题】数形结合；数形结合法；直线与圆． 【分析】由垂直关系可得a的方程，解方程可得． 【解答】解：∵两直线l1：ax﹣2y+1=0，l2：x﹣ay﹣2=0相互垂直， ∴a×1﹣（﹣2）（﹣a）=0， 解得a=0 故答案为：0 【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，满足f（0）=2，f（x+1）﹣f（x）=2x﹣1． （Ⅰ） 求函数f（x）的解析式； （Ⅱ） 若关于x的不等式f（x）﹣t＞0在[﹣1，2]上有解，求实数t的取值范围； （Ⅲ） 若函数g（x）=f（x）﹣mx的两个零点分别在区间（﹣1，2）和（2，4）内，求实数m的取值范围． 参考答案： 【考点】函数的零点与方程根的关系；抽象函数及其应用． 【专题】计算题；规律型；转化思想；解题方法；函数的性质及应用． 【分析】（Ⅰ）通过f（0）=2，求出c，利用f（x+1）﹣f（x）=2x﹣1，求出a，b，得到函数的解析式． （Ⅱ）求出函数f（x）的对称轴，然后求解fmax（x），列出关系式即可求解实数t的取值范围为（﹣∞，5）． （Ⅲ）g（x）=x2﹣（2+m）x+2，若g（x）的两个零点分别在区间（﹣1，2）和（2，4）内，利用零点存在定理列出不等式组求解即可． 【解答】（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由f（0）=2，得c=2，… 又f（x+1）﹣f（x）=2x﹣1，得2ax+a+b=2x﹣1，… 故，解得：a=1，b=﹣2，… 所以f（x）=x2﹣2x+2．… （Ⅱ）f（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，对称轴为x=1∈[﹣1，2]，… 又f（﹣1）=5，f（2）=2，所以fmax（x）=f（﹣1）=5．   … 关于x的不等式f（x）﹣t＞0在[﹣1，2]有解，则t＜f（x）max=5， 所以实数t的取值范围为（﹣∞，5）． … （Ⅲ）g（x）=x2﹣（2+m）x+2，若g（x）的两个零点分别在区间（﹣1，2）和（2，4）内， 则满足… 解得：，所以实数m的取值范围为． … 【点评】本题考查二次函数的最值的求法，零点存在定理的应用，考查分析问题解决问题的能力． 19. 如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB=AD=CD=1．现以AD为一边向形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2． （1）求证：AM∥平面BEC； （2）求证：BC⊥平面BDE； 参考答案： 考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定． 专题：空间位置关系与距离． 分析：（1）取EC中点N，连接MN，BN，证明BN∥AM．说明BN?平面BEC，且AM?平面BEC，即可证明AM∥平面BEC； （2）先证明ED⊥BC，BC⊥BD，ED∩BD=D，即可证明BC⊥平面BDE． 解答： 证明：（1）取EC中点N，M是EC的中点，连接MN，BN． 在△EDC中，M，N分别为ED，EC的中点， 所以MN∥CD，且MN=CD． 由已知AB∥CD，AB=， 所以MN∥AB，且MN=AB．        所以四边形ABNM为平行四边形． 所以BN∥AM．                              又因为BN?平面BEC，且AM?平面BEC， 所以AM∥平面BEC．         （2）在正方形ADEF中，ED⊥AD． 又因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD， 所以ED⊥平面ABCD． 所以ED⊥BC． 在直角梯形ABCD中，AB=AD=1，CD=2，得BC=． 在△BCD中，BD=BC=， 所以BD2+BC2=CD2． 所以BC⊥BD． 所以BC⊥平面BDE． 点评：本题是中档题，考查直线与平面的平行与垂直的证明方法，几何体的体积的解法，考查空间想象能力、计算能力，注意转化思想的应用，判定定理的正确应用． 20. (本小题满分12分) 已知函数. （Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间； （Ⅱ）若对于都有成立，试求的取值范围； （Ⅲ）记.当时，函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围. 参考答案： 解: (I) 直线的斜率为1.函数的定义域为，，所以，所以. 所以. .由解得；由解得. 所以的单调增区间是,单调减区间是.   ……………4分 (II) ，由解得；由解得. 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减. 所以当时，函数取得最小值，. 因为对于都有成立，所以即可. 则. 由解得.   所以的范围是. (III)依题得，则.由解得；由解得. 所以函数在区间为减函数，在区间为增函数. 又因为函数在区间上有两个零点，所以 解得.所以的取值范围是.    ……12分 略 21. 已知函数 （1）若函数在处有极值为10，求b的值； （2）对任意，f(x)在区间(0,2)单调增，求b的最小值； （3）若，且过点(－2,0)能作f(x)的三条切线，求b的取值范围． 参考答案： (1) (2) (3) 【分析】 （1）根据列方程组，解方程组求得的值.（2）依题意得对，当恒成立，构造函数，利用一次函数的单调性求得.再构造函数，根据二次函数的对称轴得，由此求得的最小值.（3）当时，，设出切点的坐标，利用导数求得切线的斜率列方程并化简，构造函数记，根据过点，能作的三条切线可知有三个零点，利用的导数求得的极大值和极小值，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围. 【详解】解：（1），依题意： ①，② 由①②解得：，或； 经检验当时无极值点， 当时函数在处有极小值，故， （2）对，当恒成立 记， ∴ 又设， 当时， ，∴的最小值为， （3）：当时，， 设切点为，则切线斜率为， ∴， 记， 过点能作三条切线等价于有三个零点 正 负 正 增 减 增     令，即， ∴． 【点睛】本小题主要考查已知极值点求参数，考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究切线问题，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于难题. 22. 已知圆的极坐标方程为：. （1）将极坐标方程化为普通方程； （2）若点在该圆上，求的最大值和最小值. 参考答案：