广东省河源市东源中学高一数学理测试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在△ABC中, ,则△ABC为( )
A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
参考答案：
C
【分析】
直接利用正弦定理余弦定理化简得到，即得解.
【详解】由已知得，由正、余弦定理得，
即，即，
故是直角三角形.
故答案为：C
【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理水平.
2. 化简sin600°的值是（ ）
A．0.5 B．﹣0.5 C． D．
参考答案：
D
【考点】诱导公式的作用．
【专题】计算题；三角函数的求值．
【分析】利用诱导公式可求得sin600°的值．
【解答】解：sin600°=sin=sin240°=sin=﹣sin60°=﹣．
故选D．
【点评】本题考查诱导公式sin（2kπ+α）=sinα及sin（π+α）=﹣sinα的应用，属于基础题．
3. 已知角α的终边经过点P（﹣3，﹣4），则cosα的值是（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
C
【考点】任意角的三角函数的定义．
【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得cosα的值．
【解答】解：∵角α的终边经过点P（﹣3，﹣4），∴x=﹣3，y=﹣4，r=|OP|=5，
则cosα==﹣，
故选：C．
4. 下列函数中，既是偶函数，又在区间内是增函数的为（ ）
A. B. C. D.
参考答案：
B
5. 棱长为4的正方体的八个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为__________。
参考答案：
略
6. 已知，则函数与函数的图象可能是( )
参考答案：
B
7. 在等差数列{an}中，若a4+a6=12, Sn是数列{an}的前n项和，则S9的值为
A．48 B．54 C．60 D．66
参考答案：
B
略
8. 已知△ABC中，，，，那么角A等于（ ）
A. 135° B. 45° C. 135°或45° D. 90°
参考答案：
B
【分析】
先由正弦定理求出，进而得出角，再根据大角对大边，大边对大角确定角．
【详解】由正弦定理得：，，
∴或，
∵，∴，∴，故选B.
【点睛】本题主要考查正弦定理的应用以及大边对大角，大角对大边的三角形边角关系的应用。
9. 在△ABC中，cos2=，（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则△ABC的形状为( )
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
参考答案：
B
【考点】解三角形．
【专题】计算题．
【分析】利用二倍角公式代入cos2=求得cosB=，进而利用余弦定理化简整理求得a2+b2=c2，根据勾股定理判断出三角形为直角三角形．
【解答】解：∵cos2=，∴=，∴cosB=，
∴=，
∴a2+c2﹣b2=2a2，即a2+b2=c2，
∴△ABC为直角三角形．
故选B
【点评】本题主要考查了三角形的形状判断．考查了学生对余弦定理即变形公式的灵活利用．
10. 函数，则 的取值范围是（ ）
A． B. C. D.
参考答案：
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图在△ABC中，AB=3，BC=，AC=2，若O为△ABC的外心，则= ， = ．
参考答案：
2，﹣．
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】设外接圆半径为R，则═，故可求；根据，将向量的数量积转化为： =，故可求．
【解答】解：设外接圆半径为R，则═==2
同理═=
所以=
故答案为：2，﹣．
12. 已知集合，，则_________.
参考答案：
略
13. 已知， ,则= .
参考答案：
14. 已知角的终边上一点，则 ．
参考答案：
15. sin(－120°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)sin(－ 1050°)＝________.
参考答案：
1 ;
16. 方程的解为 ．
参考答案：
x=－2
令，
则
解得：或
即，∴
17. △ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosB＝5bcosA，asinA﹣bsinB＝2sinC，则边c的值为_______．
参考答案：
3
【分析】
由acosB＝5bcosA得，由asinA﹣bsinB＝2sinC得，解方程得解.
【详解】由acosB＝5bcosA得.
由asinA﹣bsinB＝2sinC得，
所以.
故答案：3
【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
三、解答题（本大题共5小题，共计74分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （12分）已知函数，
(1)当时，求f(x)在区间[1,6]上最大值和最小值；
（2）如果方程f(x)=0有三个不相等的实数解，求的取值范围.
参考答案：
（1）因为，则
所以，
当时，函数为单调递增函数，所以，；
当时，函数是先减后增的函数，所以，，
所以函数的最大值为，最小值为.
（2）设，则方程，等价于有三个实数根，
此时，
①若，因为方程有三个不相等的实根，
故时，方程有两个不相等的实根，
时，方程有一个不相等的实根，
所以，解得，
不妨设，则，
所以，
所以的取值范围是；
②若，当时，方程的判别式小于，
不符合题意；
③若时，显然不合题意，
故的取值范围是；
19. 已知数列满足，是数列的前n项和，且有
（1）若数列为等差数列，求通项；
（2）若对于任意恒成立，求的取值范围。
参考答案：
（1），，即，又，
数列为等差数列，，解得=1，，
（2），
两式作差得
所以
可求得
若任意恒成立，所以且<<<
，解得
所以的取值范围为
略
20. 已知直线过点, (1)若直线在两坐标轴上截距相等，求直线的方程。
（2）若直线分别与轴、y轴的正半轴相交于两点，O为坐标原点，记
，求的最小值，并写出此时直线的方程。
参考答案：
解：（1）若直线过原点，设其方程为：，又直线过点，则即
若直线不过原点，设其方程为：，直线过点，
直线的方程为；综上，的方程为或
（2）设的方程为：，直线过点，（1）
当且仅当
即时取等号，将与（1）式联立得，的方程为
综上，的最小值为9，的方程为------------10分
21. 已知函数，
（1）写出f(x)的定义域、值域、单调区间（不必证明）；
（2）讨论f(x)的奇偶性；
（3）是否存在实数a使得f(x)的定义域为[m,n],值域为？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由。
参考答案：
解：（1）定义域为{x|x<-2或x>2},值域为，单调区间为
（2）定义域关于原点对称，且
所以f(x)是奇函数。
（3）a>1时不存在
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