山西省忻州市阳明堡镇古城中学高三数学理期末试卷含解析

山西省忻州市阳明堡镇古城中学高三数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若集合，，则（    ） A．          B．          C．         D．  参考答案： 答案：C 解析：{1，3}∩{2，3，4}={3}，选C 2. 已知向量，若向量与平行，则实数的值为（    ） A．2        B．－2       C．        D. － 参考答案： B 由题意知，，若向量与平行，则，解得.故选B. 3. “”是“直线与直线垂直”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 参考答案： A 若两直线垂直，则当时，两直线为与，此时两直线垂直。当，即时，两直线为与，此时两直线相交不垂直。当且时，两直线的斜截式方程为与。两直线的斜率为与，所以由得，所以是两直线垂直的充分不必要条件，选A. 4. “函数y＝ax是增函数”是“log2a＞1”的(　　) A．必要不充分条件  B．充分不必要条件 C．充要条件  D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 略 5. 已知、、为互不重合的三个平面，命题若，，则；命题 若上存在不共线的三点到的距离相等，则.对以上两个命题，下列结论中正确的是（    ） A．命题“且”为真 B．命题“或”为假 C．命题“或”为假 D．命题“且”为假 参考答案： C 略 6. 设函数，则     参考答案： D   ，所以，选D. 7. 下列命题中，真命题是（   ） 参考答案： C 略 8. 以点（2，0）为圆心且与直线相切的圆的方程为（    ） A．                                 B． C．                                  D． 参考答案： D 略 9. 已知A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），若，则的值为（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】两角和与差的正弦函数；平面向量数量积的运算． 【分析】由A，B，C的坐标求出和，根据平面向量数量积的运算法则及同角三角函数间的基本关系化简得到sinα+cosα的和，然后利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求出sin（α+）的值． 【解答】解：∵=（cosα﹣3，sinα），=（cosα，sinα﹣3） ∴=（cosα﹣3）?cosα+sinα（sinα﹣3）=﹣1 得cos2α+sin2α﹣3（cosα+sinα）=﹣1 ∴， 故sin（α+）=（sinα+cosα）=×= 故选B 10. 若向量与的夹角为120° ，且，则有（   ） A．          B．       C．          D． 参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面， 有下列四个命题:      ①若 ； ②，则； ③若则且； ④若 其中正确的命题是        ．（写出所有真命题的序号）． 参考答案： ②④ 12. 定义行列式的运算:，若将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值为        参考答案：   ，平移后得到函数 ，则由题意得，因为，所以的最小值为. 13. 若不等式的解集为空集，则实数的取值范围为__________ 参考答案： 略 14. 如图：已知，，在边上，且，，，（为锐角），则的面积为_________． 参考答案： 在中，由余弦定理可得，得，在中，由正弦定理，解得，所以，在中，， 由正弦定理可得，解得， 所以的面积为． 15. 设数列都是等差数列,若,则______。 参考答案： 35 16. 已知数列{an}的通项为an=sin（+）+（n∈N*），则数列{an}中最小项的值为      ． 参考答案： 考点：数列递推式． 专题：等差数列与等比数列． 分析：由已知得n=4k，k∈N*时，an=sin+；n=4k+1，k∈N*时，an=sin（）+；n=4k+2，k∈N*时，an=sin（）+；n=4k+3，k∈N*时，an=sin（）+．由此能求出数列{an}中最小项的值． 解答： 解：∵an=sin（+）+（n∈N*）， ∴n=4k，k∈N*时，an=sin+=， n=4k+1，k∈N*时，an=sin（）+=， n=4k+2，k∈N*时，an=sin（）+=， n=4k+3，k∈N*时，an=sin（）+=． ∴数列{an}中最小项的值为． 故答案为：． 点评：本题考查数列中最小项的值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦函数的周期性质的合理运用． 17. 复数的共轭复数为        . 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分13分）已知函数,其中. （1）求函数的单调区间; （2）设,求在区间上的最大值.(其中为自然对数的底数) 参考答案： (1)() ---------2分 令,则,又的定义域是 (0,2) 2 (2,) 0   ----------5分 (2)       令,则, ----------7分 (Ⅰ)当时,在单调增加 ----------9分 (Ⅱ)当时,在单调减少,在单调增加; 若时,; 若时, ; ---------11分 (Ⅲ)时, ----------13分 19. 如图，在底面是菱形的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∠ABC=60°，AA1=AC=2，A1B=A1D=2，点E在A1D上． （1）证明：AA1⊥面ABCD． （2）当为何值时，A1B∥平面EAC，并求出此时直线A1B与平面EAC之间的距离． 参考答案： 【考点】MK：点、线、面间的距离计算；LW：直线与平面垂直的判定． 【分析】（I）利用勾股定理的逆定理可得：A1A⊥AB；A1A⊥AD．再利用线面垂直的判定定理即可证明结论． （II）①当=1时，A1B∥平面EAC．下面给出证明：连接BD，交AC于点O．利用三角形中位线定理可得：A1B∥OE，再利用线面平行的判定定理即可证明A1B∥平面EAC． ②由OE是△A1BD的中位线，可得求出点D到平面EAC的距离即直线A1B与平面EAC之间的距离．利用VE﹣ACD=VD﹣ACE，即=，解出即可得出． 【解答】（I）证明：∵AA1=2，A1B=A1D=2， ∴=8=，可得∠A1AB=90°， ∴A1A⊥AB；同理可得：A1A⊥AD． 又AB∩AD=A，∴AA1⊥面ABCD． （II）①当=1时，A1B∥平面EAC．下面给出证明：连接BD，交AC于点O． 连接OE，则OE是△A1BD的中位线，∴A1B∥OE． 又A1B?平面EAC，OE?平面EAC， ∴A1B∥平面EAC． ②∵OE是△A1BD的中位线， ∴求出点D到平面EAC的距离即直线A1B与平面EAC之间的距离． 点E到平面ACD的距h=AA1=1． S△ACD==． EC==2=AC，AE=． ∴S△ACE==． ∵VE﹣ACD=VD﹣ACE， ∴=， ∴d==． 20. （本小题满分12分）ks5u 已知的内角的对边分别是,且. (1) 求的值； (2) 求的值.         参考答案： （1）解:∵, 依据正弦定理得:,                           …………… 1分 即,解得.                         …………… 3分 (2)解:∵，      ∴.                                      …………… 4分      ∴.                          …………… 5分 ∴,                      …………… 6分   .                           …………… 7分 ∵, ∴.                                          …………… 8分 ∴                               …………… 9分                         …………… 10分                 .                                   …………… 12分 21. （13分）（2014秋?丰台区期末）已知数列{an}满足a1=1，an=λan﹣1+1，（λ≠1，n≥2且n∈N*）． （Ⅰ）求证：当λ≠0时，数列为等比数列； （Ⅱ）如果λ=2，求数列{nan}的前n项和Sn； （Ⅲ）如果[an]表示不超过an的最大整数，当时，求数列{[（λ﹣1）an]}的通项公式． 参考答案： 考点： 数列的求和；数列的概念及简单表示法；等比关系的确定．  专题： 等差数列与等比数列． 分析： （Ⅰ）当λ≠0，1时，设，由于an=λan﹣1+1，可得当n≥2时，=λ为常数．即可证明． （Ⅱ）由（Ⅰ）知 λ=2时，{an+1}为首项为2，公比为2的是等比数列，可得an+1=2n，即nan=n?2n﹣n．再利用“错位相减法”、等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出； （Ⅲ）由（Ⅰ）可知：an=．设cn=（λ﹣1）an=λn﹣1=，由二项式定理可知：为整数，即可得出． 解答： （Ⅰ）证明：当λ≠0，1时，设， ∵an=λan﹣1+1， ∴当n≥2时，===λ为常数． ∵， ∴数列为等比数列，首项为，公比为λ． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知 λ=2时，{an+1}为首项为2，公比为2的是等比数列， ∴an+1=2n， nan=n?2n﹣n． 设An=1×21+2×22+3×23+…+n×2n， 则2An=22+2×23+…+（n﹣1）×2n+n×2n+1． 相减得=﹣n×2n+1=（1﹣n）×2n+1﹣2， ∴． 设Bn=1+2+…+n=， 则Sn=An﹣Bn=． （Ⅲ）由（Ⅰ）可知：=． 设cn=（λ﹣1）an=λn﹣1=， 由二项式定理可知：为整数， ∴[cn]=，（k∈N*）． ∴[cn]=﹣． 点评： 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”、“取整函数的性质”、二项式定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 22. 函数是的导函数． （Ⅰ）求函数的最大值和最小正周期； （Ⅱ）若的值． 参考答案： 1）， ．…………………………………5分 时，  ，最小正周期为 ．…………………………………8分 （2），  ． =………………16分