2022-2023学年山东省威海市文登第五职业高级中学高三数学理期末试卷含解析

2022-2023学年山东省威海市文登第五职业高级中学高三数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知抛物线，过焦点F的直线与此抛物线交于A，B两点，点A在第一象限，过点A作抛物线准线的垂线，垂足为，直线的斜率为，则的面积为（　　） A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 根据抛物线的几何性质，求出点A的坐标，得到，利用三角形的面积公式，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，抛物线的焦点为，准线方程为， 设，则， 因为直线的斜率为，所以，所以， 所以， 所以的面积为，故选A． 【点睛】本题主要考查了抛物线的性质的应用，以及三角形面积的计算，其中解答中熟练应用抛物线的几何性质，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 2. 已知定义在R上的奇函数f(x)满足，且在区间[1，2]上是减函数，令，，，则的大小关系为（    ） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 由满足，且在区间[1，2]上是减函数，确定在上是增函数，再由奇函数性质得在上递增，在上单调递增．然后把自变量的值都转化到上，比较大小． 【详解】设，则，又在上递减，∴，而，，∴，即，∴在是递增， ∵是奇函数，∴在上递增，从而在上单调递增，， ，，，， ∴由得，即． 故选：C． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性．解题关键是确定函数的单调性，难点在于由满足，且在区间[1，2]上是减函数，确定在上是增函数，然后就是这类问题的常规解法，确定出上单调性，转化比较大小． 3. 若将函数的图象沿x轴向右平移a（a>0）个单位跃度，所得函数图象关于y轴对称，则a的最小值是 （   ）   A．    B．    C．    D． 参考答案： A 略 4. 已知实数，函数，若，则a的值为      （    ）        A              B             C             D． 参考答案： C 5. 复数z＝ ， 则|z|＝ A．25　           B. 5               C.3           D.1 参考答案： B 6. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为 A.π B.π C.4π D.16π 参考答案： D 本题主要考查三视图、空间几何体的结构和球的表面积公式,意在考查考生的空间想象能力.如图所示,由三视图可知该几何体为圆锥AO,AD为该圆锥外接球的直径,则AO=1,CO=,由射影定理可知CO2=AO·OD,得OD=3,所以外接球的半径为(AO+OD)=2,表面积为4π×22=16π. 7. 在命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c＜0}≠?”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是(　　) A．都真  B．都假 C．否命题真  D．逆否命题真 参考答案： D 略 8. 已知函数 ，若，则＝ A．－1 B．         C．－1或            D．1或－ 参考答案： C 略 9. 已知和2是函数的两个零点，则不等式的解集为    A.       B.       C.         D.   参考答案： C 略 10. 对于数列，称（其中）为数列的前项“波动均值”．若对任意的，都有，则称数列为“趋稳数列”．若数列为“趋稳数列”，则的取值范围 A．　　 B．　　  C．　 　D． 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，则成绩在中的学生人数为          ． 参考答案： 3 12. 已知l 为双曲线C：的一条渐近线，其倾斜角为，且C 的右焦点为（2,0），点C的右顶点为＿＿＿＿，则C 的方程为_______． 参考答案： 【知识点】双曲线 【试题解析】由题知： 所以的右顶点为： 的方程为： 故答案为： 13. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面. ①若，则； ②如果，则； ③若，且，则； ④若不平行，则与不可能垂直于同一平面. 其中为真命题的是          ． 参考答案： ②④ 若，则与位置关系不确定； ，则存在直线l与平行，因为所以，则； 若，且，则可异面； ④逆否命题为：若与垂直于同一平面，则平行，为真命题，所以 ②④正确   14. 在极坐标系中，点关于直线的对称点的坐标为________________． 参考答案： 【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理. 【知识内容】图形与几何/参数方程和极坐标/极坐标; 图形与几何/平面直线的方程/两条直线的平行关系与垂直关系. 【试题分析】直线化为普通方程为，点对应直角坐标系中的点为,设点关于直线的对称的点为，则，解得，所以点的坐标为，化为极坐标系中的点为. 15. 有下列命题： ①的图象关于直线x=对称； ②y=的图象关于点（﹣1，1）对称； ③关于x的方程ax2﹣2ax﹣1=0有且仅有一个实根，则a=﹣1； ④满足条件AC=，∠B=60°，AB=1的三角形△ABC有两个． 其中真命题的序号是　　． 参考答案： ①③ 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】利用积化和差公式化简函数解析式，进而分析其对称性，可判断①；求出函数的对称中心，可判断②；根据一元二次方程根的个数与系数的有关系，求出a值，可判断③；利用正弦定理，判断三角形解的个数，可判断④． 【解答】解：① ={+}=cos2x， 当x=时，y取最小值，故函数图象关于直线x=对称，故①正确； 函数y==+1的图象由函数y=的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到， 函数y=的图关于点（0，0）对称，故函数y=的图象关于点（1，1）对称，故②错误； 关于x的方程ax2﹣2ax﹣1=0有且仅有一个实根，则，即a=﹣1，故③正确； 满足条件AC=，∠B=60°，AB=1的三角形△ABC有且只有一个，故④错误； 故正确的命题的序号为：①③， 故答案为：①③ 【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的对称性，函数图象的平移变换，正弦定理，积化和差公式，难度中档． 16. 已知直线和圆心为C的圆相交于A，B两点，则线段AB的长度等于__________. 参考答案： 17. 已知正实数满足，则的最小值等于_______. 参考答案： 9 由得，由得。所以，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值等于9. 【答案】 【解析】 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （12分）已知函数 （I）若是的极值点，求在上的最小值和最大值； （Ⅱ）若上是增函数，求实数的取值范围。 参考答案： 解析：（I）      有极大值点，极小值点。      此时在上是减函数，在上是增函数。 在上的最小值是-18，最大值是-6 （Ⅱ）            当时，是增函数，其最小值为       时也符合题意，    19. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为. （1）求直线l的极坐标方程以及曲线C的直角坐标方程； （2）若直线l与曲线C交于P，Q两点，求|PQ|的值. 参考答案： （1）;;（2）. 【分析】 （1）消参即可得到直线的普通方程，再利用可得直线的极坐标方程；进一步可得曲线的普通方程； （2）利用参数方程中参数的几何意义，可求得弦长. 【详解】（1）∵； ∵， ∴直线的极坐标方程为. ∵ ∴曲线的直角坐标方程为. （2）把直线的参数方程化简为标准式为（t为参数），代入x2+4y2＝4， 得到：3t2﹣4t﹣4＝0， 所以，， 则：|PQ|. 【点睛】本题考查普通方程、参数方程、极坐标方程之间的互化、参数方程中参数几何意义的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 20. （本小题满分12分） 设，且曲线y＝f（x）在x＝1处的切线与x轴平行。 （I）                   求a的值，并讨论f（x）的单调性； （II）               证明：当             参考答案： 解析：（Ⅰ）.有条件知，            ，故.                        ………2分       于是.       故当时，＜0；                   当时，＞0.        从而在，单调减少，在单调增加.        ………6分       （Ⅱ）由（Ⅰ）知在单调增加，故在的最大值为， 最小值为.                    从而对任意，，有.            ………10分       而当时，.       从而                                   ………12分 21. 如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC （Ⅰ）求证：BE=2AD； （Ⅱ）当AC=3，EC=6时，求AD的长． 参考答案： 考点：与圆有关的比例线段． 专题：选作题；立体几何． 分析：（Ⅰ）连接DE，证明△DBE∽△CBA，利用AB=2AC，结合角平分线性质，即可证明BE=2AD； （Ⅱ）根据割线定理得BD?BA=BE?BC，从而可求AD的长． 解答： （Ⅰ）证明：连接DE， ∵ACED是圆内接四边形， ∴∠BDE=∠BCA， 又∠DBE=∠CBA，∴△DBE∽△CBA，即有， 又∵AB=2AC，∴BE=2DE， ∵CD是∠ACB的平分线，∴AD=DE， ∴BE=2AD；… （Ⅱ）解：由条件知AB=2AC=6，设AD=t， 则BE=2t，BC=2t+6， 根据割线定理得BD?BA=BE?BC， 即（6﹣t）×6=2t?（2t+6），即2t2+9t﹣18=0， 解得或﹣6（舍去），则．… 点评：本题考查三角形相似，考查角平分线性质、割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 22. （本小题共13分） 已知函数其中。若点为函数图像的一个对称中心，（1）求的值；（2）求函数的周期和单调增区间。 参考答案： （1）点为函数图像的一个对称中心      ，即：          ……3分              ……6分    又因为，所以。                        ……7分 （2）由（1）知，则，所以    ……9分 由得     ……11分 函数的单调增区间为。                     ……13分