2022-2023学年内蒙古自治区呼和浩特市西光中学高三数学理期末试题含解析

2022-2023学年内蒙古自治区呼和浩特市西光中学高三数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知a，b，c∈R，且满足2a＜2b＜2c＜1，则（　　） A．log（ab）＜log（bc）＜log（ac） B．log（ab）＜log（ac）＜log（bc） C．log（bc）＜log（ac）＜log（ab） D．log（ac）＜log（ab）＜log（bc） 参考答案： B 【考点】4M：对数值大小的比较． 【分析】2a＜2b＜2c＜1，可得a＜b＜c＜0．ab＞ac＞bc＞0，再利用对数函数的单调性即可得出． 【解答】解：∵2a＜2b＜2c＜1，∴a＜b＜c＜0． ∴ab＞ac＞bc＞0， ∴log（ab）＜log（ac）＜log（bc）， 故选：B． 2. 圆心在，半径为3的圆的极坐标方程是                      （    ） A．   B．    C．    D． 参考答案： D 略 3. 若直线y＝x＋b与曲线y＝3－有公共点，则b的取值范围是 A．                   B． C．                      D． 参考答案： C 直线表示斜率为的直线，而曲线表示以为圆心以为半径的下半圆，如图 由图可知，当直线与曲线相切时取到最小值，则有，解得；当直线经过点时取到最大值，此时。所以．   4. 已知定义在R上的奇函数，满足，且在区间[0,2]上是增函数，则（  ）A．           B． C．           D． 参考答案： D 5. 已知的图像如图所示 ,则函数的图像是（    ） 参考答案： A 略 6. 设集合，集合，若，则实数的范围是（   ） （A） （B） （C） （D） 参考答案： B 7. 由直线x=﹣，x=，y=0与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为（　　） A． B．1 C． D． 参考答案： D 【考点】定积分在求面积中的应用． 【专题】计算题． 【分析】为了求得与x轴所围成的不规则的封闭图形的面积，可利用定积分求解，积分的上下限分别为与，cosx即为被积函数． 【解答】解：由定积分可求得阴影部分的面积 S=cosxdx==﹣（﹣）=， 所以围成的封闭图形的面积是． 故选D． 【点评】本小题主要考查定积分的简单应用、定积分、导数的应用等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化思想、考查数形结合思想，属于基础题． 8. 已知满足时, 的最大值为2,则直线过定点（    ） A．(3,1)         B． (－1,3)       C. (1,3)        D．(－3,1) 参考答案： A 由，得，画出可行域，如图所示，数学结合可知在点处取得最大值，，即： ，直线过定点.   9. 已知、是椭圆：的左右焦点，是上一点，若，则到左准线的距离等于 A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 参考答案： A 10. 设命题p：函数y=lg（x2+2x﹣c）的定义域为R，命题q：函数y=lg（x2+2x﹣c）的值域为R，若命题p、q有且仅有一个正确，则c的取值范围为（　　） A．（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1） C．[﹣1，+∞） D．R 参考答案： B 【考点】命题的真假判断与应用． 【专题】计算题． 【分析】先求出命题p和命题q，然后根据命题p、q的取值范围和命题p、q有且仅有一个正确，来确定c的取值范围． 【解答】解：∵命题p：函数y=lg（x2+2x﹣c）的定义域为R， ∴x2+2x﹣c＞0的解题为R， ∴△=4+4c＜0，∴c＜﹣1．即命题p：c＜﹣1． ∵函数y=lg（x2+2x﹣c）的值域为R， ∴x2+2x﹣c能取到所有大于零的值 这就要求抛物线t=x2+2x﹣c的值域包括t＞0这一范围 由于其开口向上，只需判别式大于等于零 所以4﹣4c≥0，∴c≤1．即命题q：c≤1． ∵命题p、q有且仅有一个正确， ∴c的取值范围为c＜﹣1． 故选B． 【点评】本题考查命题的真假判断和应用，解题时要认真审题，注意公式的合理运用． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若直三棱柱的六个顶点在半径为R的同一球面上，且AC=CB=1，，，则该球的表面积为         . 参考答案： 略 12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，设三角形ABC的顶点分别 为A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，点P(0，p)为线段AO上的一点(异 于端点)，这里a，b，c，p为非零常数．设直线BP、CP分别 与边AC、AB交于点E、F．某同学已正确求得直线OE的方程： (－)x＋(－)y＝0．请你完成直线OF的方程：(______)x＋(－ )y＝0． 参考答案： － 由对称性可猜想填－.事实上，由截距式可得直线AB：＋＝1，直线CP：＋＝1，两式相减得(－)x＋(－)y＝0，显然直线AB与CP的交点F满足此方程，又原点O也满足此方程，故为所求直线OF的方程 13. 行列式（）的所有可能值中，最大的是                。 参考答案： 本题考查行列式的计算、不等式的基本性质.因为行列式的值为，要最大，则取得最大值4，且bc取得最小值，此时取得最大值6. 14. 已知函数y=f（x）的图象在M（2，f（2））处的切线方程是y=x+2，则f（2）+f′（2）=    ． 参考答案： 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题：导数的综合应用． 分析：由函数y=f（x）的图象在M（2，f（2））处的切线方程是y=x+2求得f′（2），再求出f（2），则答案可求． 解答： 解：∵函数y=f（x）的图象在M（2，f（2））处的切线方程是y=x+2， ∴， 又f（2）=， ∴f（2）+f′（2）=3． 故答案为：． 点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是基础题． 15. 若不等式|ax+1|＞2在（1，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围为　    　． 参考答案： [1，+∞）∪（﹣∞，﹣3] 【考点】绝对值不等式的解法． 【分析】|ax+1|＞2在（1，+∞）上恒成立可转换为ax+1＞2在（1，+∞）上恒成立或ax+1＜﹣2在（1，+∞）上恒成立，分类讨论，去掉绝对值，得到关于a的不等式，从而求出a的范围． 【解答】解：∵不等式|ax+1|＞2在（1，+∞）上恒成立， ∴ax+1＞2在（1，+∞）上恒成立或ax+1＜﹣2在（1，+∞）上恒成立 ①a＞0时，a+1≥2，∴a≥1， ②a＜0时，a+1≤﹣2，∴a≤﹣3， ③a=0不成立． 故答案为：[1，+∞）∪（﹣∞，﹣3]． 16. 已知x，y满足（k为常数），若z=x+2y最大值为8，则k=　　． 参考答案： 【考点】简单线性规划． 【分析】由目标函数z=x+3y的最大值为8，我们可以画出满足条件的平面区域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数k的方程组，消参后即可得到k的取值． 【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示： ， 由，解得A（，）， 将z=x+2y转化为：y=﹣x+， 显然直线过A（，）时，z最大， z的最大值是： +k=8，解得：k=， 故答案为：． 17. 已知圆x2＋y2－4x－9＝0与y轴的两个交点A，B都在某双曲线上，且A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为________． 参考答案： ＝1 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，试在DD1确定一点P，使得直线BD1∥平面PAC，并证明你的结论. 参考答案： 取中点,则点为所求. 证明：连接，设交于点.则为中点，连接,又为中点，所以.因为,,所以.…………10分 19. 已知正方体的棱长为1，S是的中点，M是SD上的点，且SD⊥MC． （1）求证：SD⊥面MAC （2）求平面SAB与平面SCD夹角的余弦值． 参考答案： 1）见解析，（2）． （1）证明：由题意可知，SA＝SB＝SC＝SD，连BD，设AC交于BD于O，由题意知SO⊥平面ABCD．以O为坐标原点，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立坐标系O-xyz如图， 则高SO＝1，于是S(0，0，1)，D(，0，0)，A（0，，0），C（0，，0），所以，，所以，即AC⊥SD，又因为SD⊥MC，所以SD⊥面MAC．··················································5分 （2）根据题意可知，，，， ，则， 设平面SAB的法向量为， 则，所以，所以解得， 令，解得， 所以法向量，················································7分 设平面SCD的法向量为， 则，所以，所以解得， 令，解得， 所以法向量，············································9分 所以，，所以两个法向量的夹角余弦值为 ．···········································11分 所以平面SAB与平面SCD夹角的余弦值为．····························12分 20. 在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示. （1）求这4000名考生的竞赛平均成绩（同一组中数据用该组区间中点作代表）； （2）记70分以上为优秀，70分及以下为合格，结合频率分布直方图完成下表，并判断是否有99%的把握认为该学科竞赛成绩与性别有关？   合格 优秀 合计 男生     女生     合计     附： . 参考答案： （1）由题意，得： 中间值 概率 ∴. ∴名考生的竞赛平均成绩为分. （2）   合格 优秀 合计 男生 女生 合计 . 故有的把握认为有关. 21. 已知函数，且. （1）若曲线在点处的切线垂直于轴，求实数的值； （2） 当时，求函数 的最小值. 参考答案： 解：由题意得： ； (1)由曲线在点处的切线垂直于轴，结合导数的几何意义得，即，解得； (2) 设，则只需求当时，函数的最小值. 令，解得或，而，即. 从而函数在和上单调递增，在上单调递减. 当时，即时，函数在上为减函数，； 当，即 时，函数的极小值即为其在区间上的最小值， . 综上可知，当时，函数的最小值为；当时，函数的最小值为. 略 22. （本小题满分13分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问6分） 某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中： （Ⅰ）两种大树各成活1株的概率； （Ⅱ）成活的株数的分布列与期望．      参考答案： 解析：设表示甲种大树成活k株，k＝0，1，2 　　表示乙种大树成活l株，l＝0，1，2 　　则，独立. 由独立重复试验中事件发生的概率公式有      ,  .     据此算得 　　 ,   ,  .      ,