河南省平顶山市第二中学高一数学理联考试卷含解析

河南省平顶山市第二中学高一数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数满足下列条件：①定义域为[1,+∞)；②当时；③. 若关于x的方程恰有3个实数解，则实数k的取值范围是 A.        B.        C.        D. 参考答案： D 因为，当时；所以可作函数在上图像，如图，而直线过定点A（1，0）,根据图像可得恰有3个实数解时实数k的取值范围为 ,   2. 若集合，则集合的子集共有             （    ） A．3个      B．6个      C．7个     D．8个 参考答案： D 3. 函数的图象可由函数的图象（   ） A. 向左平移个单位长度得到 B. 向左平移个单位长度得到 C. 向右平移个单位长度得到 D. 向右平移个单位长度得到 参考答案： B 【分析】 直接利用函数图象平移规律得解. 【详解】函数的图象向左平移个单位长度， 可得函数的图象， 整理得： 故选：B 【点睛】本题主要考查了函数图象平移规律，属于基础题。 4. 如图，PA⊥矩形ABCD，下列结论中不正确的是(　　) A．PD⊥BD                            B．PD⊥CD C．PB⊥BC                            D．PA⊥BD 参考答案： A 略 5. 若在[ ]上为减函数，则的取值范围是（   ）     A． ( k∈Z )        B. ( k∈Z ) C． ( k∈Z )         D. ( k∈Z ) 参考答案： A 略 6. 下列函数没有零点的是_________ A． B． C． D． 参考答案： C 7. 已知，则函数的表达式为（   ） A．        B． C．              D． 参考答案： C 8. 函数的值域为                         （   ） A.       B.       C.       D. 参考答案： C 9. 在等差数列{an}中，，且，Sn为数列{an}的前n项和，则使得的n的最小值为（   ） A．23         B．24       C．25       D．26 参考答案： B 由题意可得：因为，且， 所以公差d>0, 所以由等差数列的性质可得：S24=＞0，S23=23?a12＜0， 所以使Sn＞0的n的最小值为24．   10. 函数在上满足，则的取值范围是 （   ） A．    B．  C． D． 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数单调递减区间是_____________． 参考答案： 12. 已知 ，sin= ,则tan2 =___________. 参考答案： 13. 函数y＝的最大值是______． 参考答案： 4 14. 2﹣3，，log25三个数中最大数的是　　． 参考答案： log25 【考点】72：不等式比较大小． 【分析】运用指数函数和对数函数的单调性，可得0＜2﹣3＜1，1＜＜2，log25＞log24=2，即可得到最大数． 【解答】解：由于0＜2﹣3＜1，1＜＜2， log25＞log24=2， 则三个数中最大的数为log25． 故答案为：log25． 15. 已知函数有3个零点分别为，则的取值范围是__________. 参考答案： 略 16. 化简=______________. 参考答案： 略 17. 函数的零点所在区间是，则正整数             . 参考答案： 1 ∵， 又函数单调递增， ∴函数在区间内存在唯一的零点， ∴． 答案：1   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在直角坐标系xOy中，若角α的始边为x轴的非负半轴，终边为射线l：． (I)求的值；w_w w. k#s5_u.c o*m   (II)求的值． 参考答案： 解：（Ⅰ）在终边l上取一点，则 3分 ∴ ． 6分 （Ⅱ）． 9分 12分   【题文】已知，，求的值． 【答案】解：由 2分          将上式两边平方得 4分 所以 5分 又由 6分 所以 7分   原式 10分         将，，的值代入上式 得原式的值为 12分   略 19. 如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PD=CD=2，∠PDC=120°． （Ⅰ）证明平面PDC⊥平面ABCD； （Ⅱ）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值． 参考答案： 【考点】LY：平面与平面垂直的判定；MI：直线与平面所成的角． 【分析】（Ⅰ）证明AD⊥CD，AD⊥PD，推出AD⊥平面PDC，然后证明平面PCD⊥平面ABCD． （Ⅱ）在平面PCD内，过点P作PE⊥CD交直线CD于点E，连接EB，说明∠PBE为直线PB与平面ABCD所成的角，通过在Rt△PEB中，求解sin∠PBE=，推出结果． 【解答】（Ⅰ）证明：由于底面ABCD是矩形， 故AD⊥CD，又由于AD⊥PD，CD∩PD=D， 因此AD⊥平面PDC，而AD?平面ABCD， 所以平面PCD⊥平面ABCD．…6分； （Ⅱ）解：在平面PCD内，过点P作PE⊥CD交直线CD于点E，连接EB， 由于平面PCD⊥平面ABCD，而直线CD是平面PCD与平面ABCD的交线， 故PE⊥平面ABCD，由此得∠PBE为直线PB与平面ABCD所成的角…8分 在△PDC中，由于PD=CD=2，∠PDC=120°，知∠PDE=60°．， 在Rt△PEC中，PE=PDsin60°=3，DE=12，PD=1， 且BE===， 故在Rt△PEB中，PB==，sin∠PBE==． 所以直线PB与平面ABCD所成的角的正弦值为．…12分． 20. 已知、是方程的两个根，求证：. 参考答案： 【分析】 首先利用韦达定理得到然后求出 的值即可证明。 【详解】由题意，根据韦达定理可得                  又 即 【点睛】本题考查了正切的和角公式。本题的关键是由得到的韦达定理联想到正切的和角公式。 21. 已知函数为偶函数． （Ⅰ）求实数a的值； （Ⅱ）记集合E={y|y=f（x），x∈{﹣1，1，2}}，，判断λ与E的关系； （Ⅲ）当x∈（m＞0，n＞0）时，若函数f（x）的值域为，求m，n的值． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合． 【专题】函数的性质及应用；导数的概念及应用． 【分析】（Ⅰ）根据函数为偶函数f（﹣x）=f（x），构造关于a的方程组，可得a值； （Ⅱ）由（Ⅰ）中函数f（x）的解析式，将x∈{﹣1，1，2}代入求出集合E，利用对数的运算性质求出λ，进而根据元素与集合的关系可得答案 （Ⅲ）求出函数f（x）的导函数，判断函数的单调性，进而根据函数f（x）的值域为，x∈，m＞0，n＞0构造关于m，n的方程组，进而得到m，n的值． 【解答】解：（Ⅰ）∵函数为偶函数． ∴f（﹣x）=f（x） 即= ∴2（a+1）x=0， ∵x为非零实数， ∴a+1=0，即a=﹣1 （Ⅱ）由（Ⅰ）得 ∴E={y|y=f（x），x∈{﹣1，1，2}}={0，} 而==== ∴λ∈E （Ⅲ）∵＞0恒成立 ∴在上为增函数 又∵函数f（x）的值域为， ∴f（）=1﹣m2=2﹣3m，且f（）=1﹣n2=2﹣3n， 又∵，m＞0，n＞0 ∴m＞n＞0 解得m=，n= 【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性，其中利用奇偶性求出a值，进而得到函数的解析式，是解答的关键． 22. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求的值； （2）若，求△ABC的面积的最大值. 参考答案： (1)；(2). 【分析】 （1）由，可得，化为，可得，可得；（2），再利用基本不等式的性质可得，利用即可得出． 【详解】（1）∵， ∴， ，化为：，∴， 可得． （2），可得， 当且仅当取等号，∴， ∴当且仅当时，的面积的最大值为． 【点睛】本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．