江西省宜春市林业中学高三数学文期末试题含解析

江西省宜春市林业中学高三数学文期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数y=Asin（ωx+φ）+m的最大值为4，最小值为0，两个对称轴间的最短距离为，直线是其图象的一条对称轴，则符合条件的解析式是(     ) A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 【专题】计算题． 【分析】由题意可得A+m=4，A﹣m=0，解得 A 和m的值，再根据周期求出ω，根据函数图象的对称轴及φ的范围求出φ，从而得到符合条件的函数解析式． 【解答】解：由题意m=2． A=±2， 再由两个对称轴间的最短距离为，可得函数的最小正周期为π可得，解得ω=2， ∴函数y=Asin（ωx+φ）+m=±2sin（2x+φ）+2． 再由 是其图象的一条对称轴，可得 +φ=kπ+，k∈z，即φ=kπ，故可取φ=， 故符合条件的函数解析式是 y=﹣2sin（2x+）+2， 故选B 【点评】本题主要考查利用y=Asin（ωx+?）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+?）的部分图象求解析式，属于中档题． 2. 某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于（　　） A．45 B．36 C．30 D．6 参考答案： C 【考点】由三视图求面积、体积． 【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离． 【分析】该几何体为长方体切去一个三棱锥剩下的几何体． 【解答】解：由三视图可知该几何体为长方体ABCD﹣A1B1C1D1切去一个三棱锥B1﹣A1BC1剩下的几何体． ∴V=4×3×3﹣=30． 故选：C． 【点评】本题考查了空间几何体的三视图与体积计算，属于基础题． 3. 在复平面内，复数对应的点位于    （   ） A．第一象限     B．第二象限    C．第三象限   D．第四象限 参考答案： D 4. 已知正项等比数列{an}的前n项和Sn，满足则的最小值为（   ） A. B.3 C.4 D.12 参考答案： D 由题意可知的公比，，则，则有，所以. 试题立意：本小题考查等比数列、二次函数等基础知识；考查推理论证能力，运算求解能力，化归与转化思想. 5. 已知数列{｝是公差为3的等差数列，且a1，a2，a4成等比数列，则a10等于 A. 30 　　　　B. 27    C.24 　　　　D.33 参考答案： A 6. 一个几何体的三视图如图2所示(单位：cm)，则该几何体的体积是 （A）  （B）     （C）      （D）7 参考答案： A 该几何体是棱长为2的正方体截去一个三棱锥后所得的多面体，其体积为 7. 函数是奇函数，且在上单调递增，则a等于        A．0                            B．-1                           C．1                            D． 参考答案： C 8. 一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，一学生到达该路口时，见到红灯的概率是(     ) A． B． C． D． 参考答案： A 考点：几何概型． 专题：计算题． 分析：本题是一个那可能事件的概率，试验发生包含的事件是总的时间长度为30+5+40秒，满足条件的事件是红灯的时间为30秒，根据等可能事件的概率得到答案． 解答： 解：由题意知本题是一个那可能事件的概率， 试验发生包含的事件是总的时间长度为30+5+40=75秒， 设红灯为事件A，满足条件的事件是红灯的时间为30秒， 根据等可能事件的概率得到 出现红灯的概率 ． 故选A． 点评：本题考查等可能事件的概率，是一个由时间长度之比确定概率的问题，这是几何概型中的一类题目，是最基础的题． 9. 在复平面内，复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 参考答案： A 略 10.  函数的值域为（     ） A．    B．    C．     D． 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知直线 和的夹角为 ，则的值为       . 参考答案： 或 12. 据记载，在公元前3世纪，阿基米德已经得出了前n个自然数平方和的一般公式．如图是一个求前n个自然数平方和的算法流程图，若输入x的值为1，则输出的S的值为　   　． 参考答案： 14 【考点】程序框图． 【分析】执行算法流程，写出每次循环得到的x，s的值，当s=14时满足条件s＞5，输出S的值14即可． 【解答】解：输入x=1，s=0，s=1≤5， x=2，s=1+4=5≤5， x=3，s=5+9=14＞5， 输出s=14， 故答案为：14． 13. 已知圆C：，点P在直线l：上，若圆C上存在两点A、B使得，则点P的横坐标的取值范围是___________． 参考答案： 略 14. 若函数定义域为R，则的取值范围是________． 参考答案： 15. （5分）（2015?万州区模拟）设双曲线的两个焦点分别为F1，F2，若双曲线上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=6：5：3，则双曲线的离心率等于　　． 参考答案： 【考点】： 双曲线的简单性质． 【专题】： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】： 根据|PF1|：|F1F2|：|PF2|=6：5：3，不妨设|PF1|=6m，|F1F2|=5m，|PF2|=3m，由双曲线的定义和离心率公式，计算即可得到． 解析： 根据|PF1|：|F1F2|：|PF2|=6：5：3， 不妨设|PF1|=6m，|F1F2|=5m，|PF2|=3m， 由双曲线的定义可得2a=|PF1|﹣|PF2|=3m， 又2c=|F1F2|=5m， 则双曲线的离心率等于=， 故答案为：． 【点评】： 本题主要考查双曲线的定义，考查双曲线的离心率，属于基础题． 16. 函数（）在处有极值，则曲线在原点处的切线方程是          ． 参考答案： 1   17. 边长为2的正方形ABCD，其内切圆与边BC切于点E、F为内切圆上任意一点，则取值范围为            参考答案： 【知识点】向量;线性规划.F3,E5 【答案解析】D  解析：解：以正方形ABCD的中心为原点如图建立坐标系， 所以，设F点的坐标为，按线性规划可知，当直线与圆相切时，有最大值与最小值，再由点的直线的距离公式可求出Z的最值，所以最大值为，最小值为. 【思路点拨】把向量问题转换成线性规划问题是解题的关键. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数f（x）=x3﹣(2m+1)x2+3m(m+2)x+1，其中m为实数． （Ⅰ）若函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程为3x+3y﹣4=0，求m的值； （Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到关于m的方程组，解出即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的递增区间即可． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：… 所以有：，∴m=0．… （Ⅱ）f'（x）=x2﹣2（2m+1）x+3m（m+2）=（x﹣3m）（x﹣m﹣2）… 当3m=m+2即m=1时，f'（x）=（x﹣3）2≥0，所以f（x）单调递增；… 当3m＞m+2即m＞1时，由f'（x）=（x﹣3m）（x﹣m﹣2）＞0可得x＜m+2或x＞3m； 所以此时f（x）的增区间为（﹣∞，m+2）和（3m，+∞）… 当3m＜m+2即m＜1时，由f'（x）=（x﹣3m）（x﹣m﹣2）＞0可得x＜3m或x＞m+2； 所以此时f（x）的增区间为（﹣∞，3m）和（m+2，+∞）… 综上所述，当m=1时，f（x）增区间为（﹣∞，+∞）； 当m＞1时，f（x）的增区间为（﹣∞，m+2）和（3m，+∞）； 当m＜1时，f（x）的增区间为（﹣∞，3m）和（m+2，+∞）．… 　 19. .已知抛物线的焦点为F，x轴上方的点在抛物线上，且，直线l与抛物线交于A、B两点（点A、B与M不重合），设直线MA，MB的斜率分别为，. （Ⅰ）求抛物线的方程； （Ⅱ）当时，求证：直线l恒过定点并求出该定点的坐标. 参考答案： （Ⅰ）； （Ⅱ）见解析. 【分析】 （Ⅰ）根据及抛物线定义可求p，从而得到方程； （Ⅱ）设出直线方程，与抛物线方程相联立，写出韦达定理，结合可得关系，从而得到定点坐标. 【详解】（Ⅰ）由抛物线的定义可以， ,抛物线的方程为. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，点的坐标为 当直线斜率不存在时，此时重合，舍去. 当直线斜率存在时，设直线的方程为 设，将直线与抛物线联立得： 又， 即， ， ， 将①代入得， 即 得或 当时，直线为，此时直线恒过; 当时，直线为，此时直线恒过（舍去） 所以直线恒过定点. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义及直线和抛物线的综合问题，直线过定点一般是寻求之间的关系式.侧重考查数学运算的核心素养. 20. 为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人） (I) 求x、y; (II)若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自高校C的概率。 参考答案： 解：（I）由题意可得，，所以    （II）记从高校B抽取的2人为，从高校C抽取的3人为，则从高校B，C抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有 共10种． 设选中的2人都来自高校C的事件为X，则X包含的基本事件有 ，，共3种         所以 故选中的2人都来自高校C的概率为 略 21. 已知函数f（x）=x﹣2sinx． （Ⅰ）求函数f（x）在上的最值； （Ⅱ）若存在，使得不等式f（x）＜ax成立，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用． 【专题】转化思想；分类法；导数的综合应用． 【分析】（1）求出导函数，得出极值点，根据极值点求闭区间函数的最值； （2）不等式整理得出2sinx﹣（1﹣a）x＞0，构造函数，根据导函数进行分类讨论，即最大值大于零即可． 【解答】（本大题满分12分） （1）f'（x）=1﹣2cosx，…（2分） x y'   + 0 ﹣ 0 +   y ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ …（6分） （2）f（x）＜ax， ∴2sinx﹣（1﹣a）x＞0 设g（x）=2sinx﹣（1﹣a）x，则g'（x）=2cosx﹣（1﹣a）…（7分） 由 ①1﹣a≥2即a≤﹣1，此时g'（x）＜0得出g（x）在单调递减，g（x）＜g（0）=0不成立…（8分） ②1﹣a≤0即a≥1，此时g'（x）＞0得出g（x）在单调递增，g（x）＞g（0）=0成立…（9分） ③0＜1﹣a＜2即﹣1＜a＜1，令，存在唯一，使得．当x∈（0，x0）时，g'（x）＞0得出g（x）＞g（0）=0， ∴存在，有g（x）＞0成立…（11分） 综上可知：a＞﹣1…（12分） 【点评】考查了导函数求闭区间函数的最值和存在问题的转化思想． 22. 从2名女生和5名男生中任选3人参加演讲比赛．设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数． （1）求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率