北京立新学校2022-2023学年高二数学理期末试卷含解析

北京立新学校2022-2023学年高二数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如右图为一个几何体的三视图，其中俯视图为正三角形，A1B1=2，AA1=4，则该几何体的表面积为（   ）      A．6+                   B．24+          C．24+2          D．32 参考答案： C 2. .已知直线与圆相交于两点，且 则的值是（   ） A．           B．                 C．              D．0 参考答案： A 3. 容量为的样本数据，按从小到大的顺序分为组，如下表： 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 频数 10 13 x 14 15 13 12 9 第三组的频数和频率分别是 (   ) A.14和0.14     B.  0.14和14    C. 和0.14    D.和 参考答案： A 4. 命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是（　　） A．所有不能被2整除的整数都是偶数 B．所有能被2整除的整数的整数都不是偶数 C．存在一个不能被2整除的整数是偶数 D．存在一个能被2整除的整数不是偶数 参考答案： D 【考点】命题的否定． 【专题】简易逻辑． 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可． 【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是：存在一个能被2整除的整数不是偶数． 故选：D． 【点评】本题考查命题的否定，全称命题与通常每天都否定关系，基本知识的考查． 5. 将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如右图所示,则该几何体的侧视图为 （    ） 参考答案： D 6. 等比数列的前3项的和等于首项的3倍，则该等比数列的公比为（    ） A．－2 B．1 C．－2或1 D．2或－1 参考答案： C 略 7. 已知等比数列{an}的公比为2，则值为（　　） A． B． C．2 D．4 参考答案： D 【考点】等比数列的通项公式． 【分析】利用等比数列的通项公式即可得出． 【解答】解：由已知可得： =22=4． 故选：D． 8. 已知f（x）=，若f（x）=2，则x的值是（　　） A．1或2 B．2或﹣1 C．1或﹣2 D．±1或±2 参考答案： C 考点： 函数的零点．  专题： 函数的性质及应用． 分析： 利用分段函数的性质求解． 解答： 解：∵f（x）=，f（x）=2， ∴当x≤0时，log2（|x|+2）=2， |x|+2=4，解得x=﹣2，或x=2（舍）， 当x＞0时，x2+1=2，解得x=1或x=﹣1（舍）． ∴x=﹣2或x=1． 故选：C． 点评： 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用． 9. 设是（    ）     A.4               B.3             C.2           D.1 参考答案： C 略 10. 已知命题p、q，“?p为真”是“p∧q为假”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】根据复合命题真假之间的关系，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】解：若?p为真，则p且假命题，则p∧q为假成立， 当q为假命题时，满足p∧q为假，但p真假不确定，∴￢p为真不一定成立， ∴“?p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件． 故选：A． 　 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在中，，，，则这个三角形中最大的内角为_____ 参考答案： 12. 已知点，是坐标原点，点的坐标满足，则的取值范围是________. 参考答案： 略 13. 已知直线L经过点P（﹣4，﹣3），且被圆（x+1）2+（y+2）2=25截得的弦长为8，则直线L的方程是　　． 参考答案： x=﹣4和4x+3y+25=0 【考点】直线与圆相交的性质． 【分析】求出圆心与半径，利用圆心到直线的距离、半径、半弦长满足勾股定理，求出弦心距，通过直线的斜率存在与不存在，利用圆心到直线的距离求解，求出直线的方程即可． 【解答】解：圆心（﹣1，﹣2），半径r=5，弦长m=8， 设弦心距是d， 则由勾股定理， r2=d2+（）2 d=3， 若l斜率不存在，直线是x=﹣4， 圆心和他的距离是﹣3，符合题意， 若l斜率存在，设直线方程y+3=k（x+4）， 即kx﹣y+4k﹣3=0， 则d==3， 即9k2﹣6k+1=9k2+9， 解得k=﹣，所以所求直线方程为x+4=0和4x+3y+25=0， 故答案为：x=﹣4和4x+3y+25=0． 14. 如图,在△ABC中,AB＝AC,∠C＝720,⊙O过A、B两点且 与BC相切于点B,与AC交于点D,连结BD,若BC＝, 则AC＝         参考答案： 2  略 15. 在等比数列中，＝1，，则＝         . 参考答案： 4 略 16. 已知向量且与互相垂直，则k的值是________. 参考答案： 略 17. 已知双曲线，两焦点为，过作轴的垂线交双曲线于两点，且内切圆的半径为，则此双曲线的离心率为__________． 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AB的中点. （1）证明：BC1∥平面A1CD； （2）若AC=CB，求证：A1D⊥CD. 参考答案： 证明：（1）如图，连接，交于点，连结. 据直三棱柱性质知四边形为平行四边形，所以为的中点. 又因为是的中点，所以.………………2分 又因为平面，平面， 所以平面.………………4分 （2）因为，为的中点，所以.………………5分 据直三棱柱性质知平面，又因为平面，所以. 又因为，平面， 所以平面，………………11分 又因为平面，所以，即.………………12分   19. 已知函数 (a>0) ． (1)若a=1，求在x∈(0，+∞)时的最大值； (2)若直线是曲线的切线，求实数a的值。 参考答案： (1)当a=1时≤，当x=1时取“=”； (2)设切点(x0，y0)，则， 则，得  ∴  ……① 又由切线，则     则：……②  由将①代入②得 若则：得  解得a=2 若则：得  解得a=    即a=2或a= 20. 某大学高等数学这学期分别用A、B两种不同的数学方式试验甲、乙两个大一新班（人数均为60人，入学数学平均分和优秀率都相同；勤奋程度和自觉性都一样）.现随机抽取甲、乙两班各20名的高等数学期末考试成绩，得到茎叶图。 学校规定：成绩不得低于85分的为优秀 （1）根据以上数据填写下列的2×2的列联表   甲     乙    总计    成绩优秀       成绩不优秀       总计           （2）是否有99%的把握认为成绩优异与教学方式有关？”(计算保留三位有效数字) 下面临界值表仅供参考：   参考答案： （1）见解析；（2）没有99%的把握认为成绩优异与教学方式有关. 【分析】 （1）结合茎叶图给出的数据，直接填写表格即可； （2）结合第（1）问表格利用公式，参照临界值表作出判断. 【详解】（1）   甲     乙    总计    成绩优秀 3 10 13 成绩不优秀 17 10 27 总计 20 20 40   (2)由公式可得， 没有99%的把握认为成绩优异与教学方式有关 【点睛】本题考查了列联表与独立性检验，属于基础题. 21. 平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：（a＞b＞0）右焦点的直线x+y﹣=0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为． （Ⅰ）求M的方程 （Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值． 参考答案： 【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系． 【分析】（Ⅰ）把右焦点（c，0）代入直线可解得c．设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点P（x0，y0），利用“点差法”即可得到a，b的关系式，再与a2=b2+c2联立即可得到a，b，c． （Ⅱ）由CD⊥AB，可设直线CD的方程为y=x+t，与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到弦长|CD|．把直线x+y﹣=0与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到弦长|AB|，利用S四边形ACBD=即可得到关于t的表达式，利用二次函数的单调性即可得到其最大值． 【解答】解：（Ⅰ）把右焦点（c，0）代入直线x+y﹣=0得c+0﹣=0，解得c=． 设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点P（x0，y0）， 则，，相减得， ∴， ∴，又=， ∴，即a2=2b2． 联立得，解得， ∴M的方程为． （Ⅱ）∵CD⊥AB，∴可设直线CD的方程为y=x+t， 联立，消去y得到3x2+4tx+2t2﹣6=0， ∵直线CD与椭圆有两个不同的交点， ∴△=16t2﹣12（2t2﹣6）=72﹣8t2＞0，解﹣3＜t＜3（*）． 设C（x3，y3），D（x4，y4），∴，． ∴|CD|===． 联立得到3x2﹣4x=0，解得x=0或， ∴交点为A（0，），B， ∴|AB|==． ∴S四边形ACBD===， ∴当且仅当t=0时，四边形ACBD面积的最大值为，满足（*）． ∴四边形ACBD面积的最大值为． 22. 直三棱柱ABC-A1B1C1中，B1C1=A1C1，M、N分别是A1B1，AB的中点。 （1）求证C1M平面AA1B1B （2）求证平面AMC1//平面NB1C （3）若AC1 参考答案：