安徽省安庆市鸦滩中学高三数学理上学期期末试卷含解析

安徽省安庆市鸦滩中学高三数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在边长为１的正六边形中，的值为………………（    ）． .                          .             . 参考答案： B 2. 一个空间几何体的三视图如图所示，则其体积是（    ）        A．                            B．                      C．                     D．8 参考答案： B 由三视图知，该几何体为正三棱柱，底面边长为2，高为2， 所以体积，故选择B。 3. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（参数t），圆C的参数方程为 （参数），则圆C 的圆心到直线的距离为 A .      B.       C.3          D. 参考答案： D 4. 已知F为椭圆的左焦点，A是椭圆的短轴的上顶点，点B在x轴上，且AF⊥AB，A，B，F三点确定的圆C恰好与直线x+my+3=0相切，则m的值为（　　） A．±3 B． C．± D．3 参考答案： C 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】求得椭圆的焦点坐标，设B，则圆心C（，0），半径为r=，利用勾股定理求得x的值，利用点到直线的距离公式，即可求得m的值． 【解答】解：由题意可知：椭圆+=1的左焦点（﹣1，0），设B（x，0）， 由AF⊥AB，且A，B，F三点确定的圆C，圆心C（，0），半径为r=， 在△AOC中，由丨AO丨2+丨OC丨2=丨AC丨2=r2，即（）2+（）2=（）2， 解得：x=3， 则C（1，0），半径为2， 由题意可知：圆心到直线x+my+3=0距离d==2，解得：m=±， 故选：C． 【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题． 5. 如图，平行四边形ABCD中，，点M在AB边上，且等于  （  　　）                            A. B. C. D.1 参考答案： D 略 6. 等于   （   ） A．        B．         C．        D． 参考答案： D 略 7. 下列命题是真命题的是（　　） A．?φ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）都不是偶函数 B．?α，β∈R，使cos（α+β）=cosα+cosβ C．向量=（2，1），=（﹣1，0），则在方向上的投影为2 D．“|x|≤1”是“x≤1”的既不充分又不必要条件 参考答案： B 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】举出反例φ=，可判断A；举出正例α=，β=﹣，可判断B；求出向量的投影，可判断C；根据充要条件的定义，可判断D． 【解答】解：当φ=时，函数f（x）=sin（2x+φ）=cos2x是偶函数，故A为假命题； ?α=，β=﹣∈R，使cos（α+β）=cosα+cosβ=1，故B为真命题； 向量=（2，1），=（﹣1，0），则在方向上的投影为﹣2，故C为假命题； “|x|≤1”?“﹣1≤x≤1”是“x≤1”的充分不必要条件，故D为假命题， 故选：B 【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查奇数的奇偶性，特称命题，向量的投影，充要条件等知识点，难度中档． 8. 已知函数，则（  ） A．是奇函数，且在 R 上是增函数       B．是偶函数，且在 R 上是增函数 C．是奇函数，且在 R 上是减函数       D．是偶函数，且在 R 上是减函数 参考答案： A 9. 给出下列命题，其中错误的是（　　） 　 A． 在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB 　 B． 在锐角△ABC中，sinA＞cosB 　 C． 把函数y=sin2x的图象沿x轴向左平移个单位，可以得到函数y=cos2x的图象 　 D． 函数y=sinωx+cosωx（ω≠0）最小正周期为π的充要条件是ω=2 参考答案： 考点： 命题的真假判断与应用． 专题： 阅读型；三角函数的图像与性质． 分析： 由正弦定理和三角形中大角对大边，即可判断A；由锐角三角形中，两锐角之和大于90°，运用正弦函数的单调性，即可判断B；运用图象的左右平移，只对自变量x而言，再由诱导公式，即可判断C；由两角和的正弦公式化简，再由周期公式，即可判断D． 解答： 解：对于A．在△ABC中，若A＞B，则a＞b，即由正弦定理有sinA＞sinB，故A正确； 对于B．在锐角△ABC中，A+B＞，则A＞﹣B，由y=sinx在（0，）上递增， 则sinA＞sin（﹣B）=cosB，故B正确； 对于C．把函数y=sin2x的图象沿x轴向左平移个单位，可以得到函数y=sin2（x） =sin（2x）=cos2x的图象，故C正确； 对于D．函数y=sinωx+cosωx（ω≠0）=2sin（ωx）， 最小正周期为π时，ω也可能为﹣2，故D错． 故选D． 点评： 本题考查三角函数的图象和性质，考查三角形的边角关系和正弦定理的运用，正弦函数的单调性，以及三角函数的图象平移规律，周期公式，属于中档题． 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，且，若点P在椭圆上，且满足，则该椭圆的离心率等于(    ) A．           B．        C．             D． 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 盒中装有形状、大小完全相同的7个球，其中红色球4个，黄色球3个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于　　　　　． 参考答案： 从7个球中取2个有种，颜色不同的有，所以取出的2个球颜色不同的概率等于。 12. 过点（1，0）且与直线2x+y﹣1=0平行的直线方程为         ． 参考答案： 2x+y﹣2=0 考点：直线的一般式方程与直线的平行关系． 专题：直线与圆． 分析：由平行关系可设所求直线方程为2x+y+c=0，代点可得c值，可得方程． 解答： 解：由平行关系可设所求直线方程为2x+y+c=0， ∵直线过点（1，0），∴2×1+0+c=0， 解得c=﹣2， ∴所求直线方程为2x+y﹣2=0 故答案为：2x+y﹣2=0 点评：本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题． 13. 如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m＋n   ＝          。 参考答案： 14. 已知函数满足=1 且，则=___________． 参考答案： 1023 15. 如图，在中，是高线， 是中线，，于，且，则  ___ . 参考答案： 4  略 16. 已知函数f（x）=x|x﹣2|，则不等式的解集为     ． 参考答案： [﹣1，+∞） 【考点】函数的图象． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】化简函数f（x），根据函数f（x）的单调性，解不等式即可． 【解答】解：当x≤2时，f（x）=x|x﹣2|=﹣x（x﹣2）=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1≤1， 当x＞2时，f（x）=x|x﹣2|=x（x﹣2）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，此时函数单调递增． 由f（x）=（x﹣1）2﹣1=1，解得x=1+． 由图象可以要使不等式成立， 则， 即x≥﹣1， ∴不等式的解集为[﹣1，+∞）． 故答案为：[﹣1，+∞）． 【点评】本题主要考查不等式的解法，利用二次函数的图象和性质是解决本题的关键，使用数形结合是解决本题的基本思想． 17. 甲、乙两人同时参加一次数学测试，共10道选择题，每题均有四个选项，答对得3分，答错或不答得0分，甲和乙都解答了所有试题，经比较，他们只有2道题的选项不同，如果甲乙的最终得分的和为54分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为　　． 参考答案： {24，27，30} 【考点】计数原理的应用；集合的表示法． 【分析】以甲全对，乙全对，甲乙各错一道，进行分析即可求出答案． 【解答】解：若甲全对，则乙的得分为54﹣3×10=24，则此时乙做对了8道题，则甲乙恰有2道题的选项不同， 若乙全对，则甲的得分为54﹣3×10=24，则此时甲做对了8道题，则甲乙恰有2道题的选项不同， 若甲做错了一道，则乙的得分为54﹣3×9=27，则此时乙做对了9道题，即甲乙错的题目不是同一道题， 故乙的得分为{24，27，30}， 故答案为{24，27，30}． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率，直线l过椭圆的右顶点和上顶点，且右焦点到直线l的距离 （I）求椭圆C的方程； （II）过点坐标原点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明点O到直线AB的距离为定值，并求出定值． 参考答案： 【考点】KL：直线与椭圆的位置关系． 【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率，直线l过椭圆的右顶点和上顶点，且右焦点到直线l的距离，列出方程组，能求出椭圆C的方程． （Ⅱ）当k存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，与椭圆联立，得3x2+4（k2x2+2kmx+m2）﹣12=0，由此利用韦达定理、直线垂直、点到直线距离公式求出O到直线AB的距离为定值．当k不存在时，同理得O到直线AB的距离为．由此能证明点O到直线AB的距离为定值． 【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率， 直线l过椭圆的右顶点和上顶点，且右焦点到直线l的距离， ∴直线l的方程为=1，右焦点F（c，0），且c2=a2﹣b2， ∴，解得a=2，b=，c=1， ∴椭圆C的方程为=1． 证明：（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）， ①当k存在时，设直线AB的方程为y=kx+m， 与椭圆联立，消去y，得3x2+4（k2x2+2kmx+m2）﹣12=0， ，， ∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=x1x2+k（x1+m）（kx2+m）=（k2+1）=0， ∴（k2+1）?﹣+m2=0， 整理，得7m2=12（k2+1），符合△＞0， ∴O到直线AB的距离d===， ∴O到直线AB的距离为定值． ②当k不存在时，同理得O到直线AB的距离为． 综上，点O到直线AB的距离为定值． 【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查点到直线的距离为定值的证明，考查椭圆、韦达定理、直线垂直、点到直线距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题． 19. 已知函数． （）若曲线与直线相切于点，求点的坐标． （）令，当时，求的单调区间． （）当，证明：当，． 参考答案： （） （）单调增区间为 单调减区间为 （）略 （）设， ， 由题意， 解出， ∴， ∴． （）， ， 令， 则， ， ∵，， ∴． 只需考虑的正负即可． ∴时，， 时，， 单调减区间为， 单调增区间为． （）∵， 设， ， 当时，∵， ∴， ∴， 在单调递增， ∴， 当时，令， 解出， 令，解出， ，解出， ∴在单调递减， 在单调递增， ∴， 综上，时，． ∴在单调递减， 在单调递增． 极小值， ∴在成立． 20. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， sinB﹣cosB=1，a=2． （1）求角B的大小； （2）若b2=ac，求△ABC的面积． 参考答案：