湖南省长沙市银桥中学高三数学理上学期期末试卷含解析

湖南省长沙市银桥中学高三数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 执行右面的框图，输出的结果s的值为 A．        B． 2         C．     D． 参考答案： A 略 2. 已知集合A={（x，y）|x，y为实数，且y=x2}，B={（x，y）|x，y为实数，且x+y=1}，则A∩B的元素个数为（　　） A．无数个 B．3 C．2 D．1 参考答案： C 考点： 直线与圆锥曲线的关系． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 题目转化为y=x2和x+y=1的交点个数，联立消y并整理可得x2+x﹣1=0，由△的值可得． 解答： 解：由题意A∩B的元素即为y=x2和x+y=1的交点个数， 联立消y并整理可得x2+x﹣1=0， ∵△=12﹣4×1×（﹣1）=5＞0， ∴方程组有2组解，即A∩B的元素个数为2 故选：C 点评： 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，属基础题． 3. 函数，的图象可能是下列图象中的 (     ） 参考答案： C 4. 设等差数列的前项和为，若，则中最大的是 A． B． C． D． 参考答案： B 5. 函数的大致图象为 (     ) 参考答案： D 由可知,为偶函数,排除B、C; 因为,所以排除A,故选D. 6. 已知直线⊥平面，直线m平面，有下列命题：       ①∥⊥m；  ②⊥∥m；③∥m⊥；  ④⊥m∥．       其中正确的命题是                                                                                                      （    ）       A．①与②                 B．③与④                 C．②与④                 D．①与③ 参考答案： D 略 7. 设不等式的解集为M，函数的定义域为N，则为 （A）[0，1）     （B）（0，1）     （C）[0，1]     （D）（-1，0]      、 参考答案： 解析：不等式的解集是，而函数的定义域为，所以的交集是[0，1），故选择A 8. 已知双曲线的中心为O，过焦点F向一条渐近线作垂线，垂足为A，如果△OFA的内切圆半径为1，则此双曲线焦距的最小值为 （A）    （B）    （C）    （D） 参考答案： D 9. 若的平均数为4，标准差为3，且，， 则新数据的平均数和标准差分别为（     ） A ．-6   9      B．-6   27        C ．-12   9      D．-12   27 参考答案： A 选A．数据的变化，会引起其数字特征的变化．变化规律总结为： 若数据由 ,则平均值由  方差由 ，标准差由． 10. 已知函数 则函数的零点个数为 （    ） A．           B．           C．             D． 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 将直线绕着其与轴的交点逆时针旋转得到直线m，则m的方程为                 . 参考答案： 12. 设向量与的夹角为θ，，，则sinθ=　　． 参考答案： 考点： 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角． 专题： 计算题． 分析： 根据题意，易得的坐标，进而由向量模的计算可得、的模，再根据向量的数量积的计算，可得cosθ，最后由同角三角函数基本关系式，计算可得答案． 解答： 解：根据题意，由，， 可得，=[（+3）﹣]=（1，1）， 则||=，||=， cosθ==， 则sinθ==． 点评： 本题考查向量的数量积的运算与运用，要求学生能熟练计算数量积并通过数量积来求出向量的模和夹角． 13. 如图4，是圆外一点，过引 圆  的两条割线、，， ，则______     _____．  参考答案： 2 14. 设函数（为常数），若在区间 上是增函数，则的 取值范围是 __________ . 参考答案： 15. 已知正实数，记m为和中较小者，则m的最大值为      __________。 参考答案： 略 16. 若关于x的方程在时没有实数根，则的取值范围是_______ 参考答案： (－∞，0) 略 17. 点在函数的图象上运动，则2x﹣y的最大值与最小值之比为　　　　． 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2=4，S5=30，数列{bn}满足b1+2b2+…+nbn=an （Ⅰ）求an； （Ⅱ）设cn=bn?bn+1，求数列{cn}的前n项和Tn． 参考答案： 【考点】数列的求和；等差数列的通项公式． 【分析】（I）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出； （II）利用递推关系与“裂项求和”即可得出． 【解答】解：（I）设等差数列{an}的公差为d， ∵a2=4，S5=30， ∴，解得a1=d=2． ∴an=2+2（n﹣1）=2n． （II）∵b1+2b2+…+nbn=an， ∴当n=1时，b1=a1=2； 当n≥2时，b1+2b2+…+（n﹣1）bn﹣1=an﹣1， ∴nbn=an﹣an﹣1=2， 解得bn=． ∴cn=bn?bn+1==4． ∴数列{cn}的前n项和Tn=4++…+ =4 =． 19. 为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层．体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm）满足关系：(，为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元． 设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． （1）求的值及的表达式； （2）隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值． 参考答案： 解：（1）当时，，，           …………………6分 （2），    设，.    当且仅当这时，因此    即隔热层修建厚时，总费用达到最小，最小值为70万元．………14分 略 20. （15分）（2015秋?余姚市校级期中）已知平面区域恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2及其内部所覆盖． （1）作出该不等式组所确定的平面区域试，并求圆C的方程． （2）若斜率为1的直线l与圆C交于不同两点A，B，满足CA⊥CB，求直线l的方程． 参考答案： 【考点】简单线性规划的应用． 【专题】计算题；作图题；数形结合；不等式的解法及应用． 【分析】（1）作平面区域，从而可得C（2，1），r==，从而解得； （2）由题意作图，从而可得CB∥x轴，从而解得B（2+，1）或B（2﹣，1）；从而解得． 【解答】解：（1）、作平面区域如下， ， 结合图象可知， 点C（2，1），r==， 故圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5； （2）由题意作图如右图， 结合图象可知，CB∥x轴， 故由（x﹣2）2+（1﹣1）2=5解得， x=2+或x=2﹣； 故B（2+，1）或B（2﹣，1）； 故l的方程为y﹣1=x﹣2﹣或y﹣1=x﹣2+； 即x﹣y﹣1﹣=0或x﹣y﹣1+=0． 【点评】本题考查了学生的作图能力及数形结合的思想应用． 21.     某校拟从高二年级2名文科生和4名理科生中选出4名同学代表学校参加知识竞赛活 动，其中每个人被选中的可能性均相等。 (I)列出所有可能的选取结果； (II)求被选中的4名同学恰有2名文科生的概率； (Ⅲ)求被选中的4名同学中至少有1名文科生的概率 参考答案： 略 22. 在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，向量，且． （Ⅰ）求角B的大小； （Ⅱ）若sinAsinC=sin2B，求a﹣c的值． 参考答案： 【考点】正弦定理；余弦定理． 【分析】（I）由，可得2sin（A+C）﹣cos2B=0，解得tan2B=，可得B． （II）sinAsinC=sin2B，由正弦定理可得：ac=b2，再利用余弦定理即可得出． 【解答】解：（I）∵，∴2sin（A+C）﹣cos2B=0， ∴﹣2sinBcosB=cos2B，即sin2B=﹣cos2B，解得tan2B=， ∵，∴2B∈（0，π），∴，解得B=． （II）∵sinAsinC=sin2B，由正弦定理可得：ac=b2， 由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB， ∴ac=a2+c2﹣2accos，化为（a﹣c）2=0，解得a﹣c=0． 【点评】本题考查了正弦定理余弦定理的应用、数量积运算性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．