湖北省襄阳市长春中学高二数学理上学期期末试卷含解析

湖北省襄阳市长春中学高二数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 不等式组表示的平面区域的面积为（　 ）   A．               B．                C．              D．无穷大 参考答案： D 2. 当时，下面的程序段输出的结果是（   ） A．           B．            C．           D． 参考答案： D 3. 命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是（    ） A.有两个内角是直角              B. 至少有两个内角是直角 C.有三个内角是直角              D.没有一个内角是直角  参考答案： B 4. 为了了解某校高三400名学生的数学学业水平测试成绩，制成样本频率分布直方图如图，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格率与优秀人数分别是（　　） A．60%，60 B．60%，80 C．80%，80 D．80%，60 参考答案： C 【分析】利用频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组据求出频率；再利用频数等于频率乘以样本容量求出优秀人数． 【解答】解：由频率分布直方图得，及格率为1﹣（0.005+0.015）×10=1﹣0.2=0.8=80% 优秀的频率=（0.01+0.01）×10=0.2，优秀的人数=0.2×400=80 故选C． 【点评】本题考查频率分布直方图中的频率公式：频率=纵坐标×组据；频数的公式：频数=频率×样本容量． 5. 已知双曲线的一个焦点为F,则焦点F到其中一条渐近线的距离为（   ） A.2        B. 1     C.         D. 参考答案： C 6. 设函数的极小值为a，则下列判断正确的是 A. B. C. D. 参考答案： D 【分析】 对函数求导，利用求得极值点，再检验是否为极小值点，从而求得极小值的范围. 【详解】令，得，检验：当 时， ，当 时，，所以的极小值点为，所以的极小值为 ，又．∵，∴，∴．选D. 【点睛】本题考查利用导数判断单调性和极值的关系，属于中档题. 7. 已知函数f(x)＝3x3－ax2＋x－5在区间[1,2]上单调递减，则a的取值范围是(　　) A．        B．(－∞，5)∪ C．[5，＋∞)       D． 参考答案： D 8. 双曲线 的焦点分别为 以线段 为边长作等边三角形，若双曲线恰好平分正三角形的另外两边，则双曲线的离心率为（　 ） 　　 　　　　　 　　　　 　　　　　 参考答案： 解析：由题设易知等边三角形的另一顶点P在y轴上，且中线OP的长为 　　设 　　故有 　　    　　由此解得 或 （舍去）　∴ 　　应选A. 9. 直线2x－y－4=0绕它与x轴的交点逆时针旋转后,所得的直线方程为     （     ） A.x－3y－2=0                          B.3x＋y－6=0   C. 3x－y＋6=0                         D.x＋y－2=0 参考答案： B 10. 在正方体中，异面直线与所成角的大小为（  ）. A.        B.         C.          D. 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为______ 参考答案： 3 略 12. 已知定点且，动点满足，则的最小值是_____________ 参考答案： 13. 设函数则的值为             ． 参考答案： 略 14. 函数的定义域为__________． 参考答案： 【分析】 根据函数的解析式有意义，得到相应的不等式组，即可求解函数的定义域，得到答案. 【详解】由题意，要使此函数有意义，需2x－4≥0，即2x≥22，∴x≥2， 所以函数的定义域为[2，＋∞) 【点睛】本题主要考查了具体函数的定义域的求解问题，其中解答中根据函数的解析式有意义，列出相应的不等式组是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 15. 已知，则a与b的大小关系______． 参考答案： a＜b 【分析】 可先利用作差法比较两数平方的大小，然后得出两数的大小关系. 【详解】解：因为，， 所以， 因为， 所以， 而， 所以得到. 【点睛】本题考查了综合法与分析法比较两数的大小关系，解题时可先用分析法进行分析，再用综合法进行书写解题过程. 16. 已知且，则的最大值为        ． 参考答案： 由题意， 又由柯西不等式可得， 所以，即的最大值为．   17. 复数满足,则_______． 参考答案： 本题主要考查的是复数的概念,意在考查学生的运算求解能力. 由可得,故.故答案为 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题满分15分）如图，矩形所在的半平面和直角梯形所在的半平面成的二面角，∥,, ,,,. （Ⅰ）求证：∥平面； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正切值. 参考答案： （Ⅰ）因为∥,平面，所以∥平面， 同理∥平面，又因为,所以平面∥平面, 而平面，所以∥平面. ………………………………………5分 （Ⅱ），又， 所以…………………………………10分 因为,，所以就是二面角的平面角，为， ……………………………………………………………………………………11分 因为  平面平面, 作于，则,连接， 所以就是直线与平面所成角  …………12分 在中，可算出 在直角梯形，可算出 所以 所以直线与平面所成角的正切值为………………………………15分 19. 某企业加工生产一批珠宝，要求每件珠宝都按统一规格加工，每件珠宝的原材料成本为3.5万元，每件珠宝售价（万元）与加工时间（单位：天）之间的关系满足图1，珠宝的预计销量（件）与加工时间（天）之间的关系满足图2.原则上，单件珠宝的加工时间不能超过55天，企业支付的工人报酬为这批珠宝销售毛利润的三分之一，其他成本忽略不计算. （1）如果每件珠宝加工天数分别为6，12，预计销量分别会有多少件？ （2）设工厂生产这批珠宝产生的纯利润为S（万元），请写出纯利润S（万元）关于加工时间t（天）之间的函数关系式，并求纯利润S（万元）最大时的预计销量. 注：毛利润=总销售额-原材料成本,纯利润=毛利润-工人报酬 参考答案： （1）预计订单数分别为29件，43件（2），利润最大时，预计的订单数为28件. 【分析】 （1）先求出预计订单函数为再求解；（2）先求出利润函数为再分段求函数的最大值即得解. 【详解】（1）预计订单函数 . 所以每件珠宝加工天数分别为6，12，预计订单数分别为29件，43件. （2）售价函数为（万元）. ∴利润函数为 当时，的最大值为（万元） 当时，的最大值为（万元） 故利润最大时，，此时预计的订单数为28件. 【点睛】本题主要考查函数的应用，考查函数的解析式的求法和函数最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 20. 已知△OAB的顶点，OA边上的中线所在直线为l． （1）求直线l的方程； （2）求点A关于直线l的对称点的坐标． 参考答案： （1）设边的中点为，则，边上的中线所在直线为，即为，故直线的方程为．                                         …………7分 （2）设点关于直线的对称点，则有 ，解得，即，所以点关于直线的对称点的坐标为．……14分 21. (12分) 已知在抛物线上，的重心与此抛物线的焦点F重合。 ⑴ 写出该抛物线的标准方程和焦点F的坐标； ⑵ 求线段BC的中点M的坐标； ⑶ 求BC所在直线的方程。 参考答案： 解：⑴ 由点在抛物线上，有解得p =16，所以抛物线方程为，焦点F的坐标为。 ⑵ 解法一：由于是的重心，设M是BC的中点， 所以，即有 设点M的坐标为，所以 解得，所以点M的坐标为 解法二： ∵M是BC的中点， ⑶ ∵点在抛物线上， ，又点在直线BC上 …12分 略 22. 设函数. （1）解不等式； （2）对于实数，若，求证． 参考答案： （1）解： （1）令，则         作出函数的图象，它与直线的交点为和． 所以的解集为． （2）因为       所以  ．