河北省邯郸市倪辛庄中学高三数学理测试题含解析

河北省邯郸市倪辛庄中学高三数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在封闭的正三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB＝6，AA1＝4，则V的最大值是（     ） A．16π         B．        C．12π          D． 参考答案： 2. 已知双曲线的左.、右焦点分别为、，点在双曲线的右支上,且,则此双曲线的离心率的最大值为（  ）    A.         B.  2          C.             D.  参考答案： 答案：B 3. 若O是△ABC的重心，=﹣2，A=120°，则||的最小值为(     ) A． B． C． D． 参考答案： C 考点：平面向量数量积的运算． 专题：平面向量及应用． 分析：根据已知条件容易得到，O是△ABC的重心，而重心是中线的交点，从而可得到（），从而可得到，由基本不等式即可得到，从而求得的最小值． 解答： 解：，A=120°； ∴； O是△ABC的重心； ∴； ∴； ∴； ∴的最小值为． 故选C． 点评：考查数量积的计算公式及其运算，重心的定义，重心的性质：重心到顶点距离是它到对边中点距离的2倍，以及基本不等式用于求最值，以及要求的范围先求范围的方法． 4. 平面内凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，以此类推，凸13边形的对角线条数为（　　） A．42 B．65 C．143 D．169 参考答案： B 【考点】归纳推理． 【分析】首先从特殊四边形的对角线观察起，则四边形是2条对角线，五边形有5=2+3条对角线，六边形有9=2+3+4条对角线，则七边形有9+5=14条对角线，则八边形有14+6=20条对角线．根据对角线条数的数据变化规律进行总结即得． 【解答】解：可以通过列表归纳分析得到； 多边形 4 5 6 7 8 对角线 2 2+3 2+3+4 2+3+4+5 2+3+4+5+6 13边形有2+3+4+…+11==65条对角线． 故选B． 5. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 A．    　B．        C．         D． 参考答案： A 6. 已知，那么 A．      B．        C．          D． 参考答案： C 考查三角函数诱导公式，，选C. 7. 已知集合，，则                                  参考答案： A 8. 复数的共轭复数是（    ） A．2＋i                B．2－i C．－1＋i D．－1－i 参考答案： D 略 9. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入的值分别为.则输出的值为（    ） A. 15    B. 16    C. 47    D. 48 参考答案： D 10. “”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件     D． 既不充分又非必要条件 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知点A，B，C，D在同一个球的球面上，，若四面体ABCD的体积为，球心O恰好在棱DA上，则这个球的表面积为__________． 参考答案： 分析：确定 外接圆的直径为 圆心 为的中点，求出球心到平面 的距离，利用勾股定理求出球的半径，即可求出球的表面积． 详解：∵， 外接圆的直径为，圆心 为的中点 ∵球心恰好在棱上，，则为球的直径，则 由球的性质，平面，则平面，即为三棱锥的高，由四面体的体积为，可得 ， ∴球的半径为 ∴球的表面积为 ． 即答案为． 点睛：本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，正确求出球的半径是关键． 12. 如图，在△ABC中，AB=5，AC=9，若O为△ABC内一点，且满足||=||=||，则?的值是　　． 参考答案： 28 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】如图所示，取BC的中点D，连接OD，AD．则=（+），OD⊥BC，即?=0．于是?=（+）?=?+?=?=（+）?（﹣），化简代入即可得出． 【解答】解：由题意，||=||=||，则O是外心． 如图所示，取BC的中点D，连接OD，AD． 则=（+），OD⊥BC，即?=0． ∴?=（+）?=?+?=? =（+）?（﹣） =（2﹣2）=（81﹣25）=28． 故答案为：28． 13. 右图是一个空间几何体的三视图，如果主视图和左视图都是边长为2的正三角形，俯视图为正方形，那么该几何体的体积为________________. 参考答案： 略 14. 记等差数列{an} 的前n项和Sn，利用倒序求和的方法得：Sn=；类似的，记等比数列{bn}的前n项的积为Tn，且bn＞0（n∈N+），试类比等差数列求和的方法，可将Tn表示成首项b1，末项bn与项数n的一个关系式，即公式Tn=　　． 参考答案：   【考点】进行简单的合情推理；等比数列；等比数列的前n项和；类比推理． 【分析】由等差和等比数列的通项和求和公式及类比推理思想可得结果，在运用类比推理时，通常等差数列中的求和类比等比数列中的乘积． 【解答】解：在等差数列{an}的前n项和为Sn=， 因为等差数列中的求和类比等比数列中的乘积， 所以各项均为正的等比数列{bn}的前n项积Tn=（b1bn） 故答案为：． 15. 设（2x+1）5+（x﹣2）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a2=　 　． 参考答案： 考点： 二项式系数的性质． 专题： 二项式定理． 分析： 由题意可得，a2就是x2的系数，再根据二项式的展开式的通项公式可得x2的系数为 +，计算求得结果． 解答： 解：由题意可得，a2就是x2的系数， 再根据二项式的展开式的通项公式可得x2的系数为 +=40+24=64， 故答案为：64． 点评： 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题． 16. 在△ABC中，a＝15，b＝10，∠A＝60°，则cos B＝____． 参考答案： 17. 如图是正四棱锥P－ABCD的三视图，其中正视图是边长为1的正三角形，则这个四棱锥的表面积是__________ 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分） 在中，分别是角的对边，已知． （Ⅰ）若，求的大小； （Ⅱ）若，的面积，且，求． 参考答案： 19. （14分）过椭圆=1（a＞b＞0）的左顶点A做斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B，与y轴的交点为C，已知． （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）设动直线y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点，且与直线x=4相交于点Q，若x轴上存在一定点M（1，0），使得PM⊥QM，求椭圆的方程． 参考答案： 20. （本小题满分13分） 已知椭圆E的中心在原点O,焦点在x轴上，离心率，椭圆E的右顶点与上顶点之间的距离为。 （1）求椭圆E的标准方程； （2）过定点且斜率为k的直线交椭圆E与不同的两点M,N,在线段MN上取异于M,N的点H,满足，证明：点H恒在一条直线上，并求出点H所在的直线方程。   参考答案： （1）；（2）见解析 【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题． 解析：（1）设椭圆的标准方程为，焦点坐标为(c，0)， 由题知：结合a2=b2+c2，解得：a2=3，b2=2， ∴ 椭圆E的标准方程为．  ………………………………………4分 （2）设M(x1，y1)，N(x2，y2)，H(x0，y0)， 由已知直线MN的方程为y=kx+3k+4， 联立方程 消去，得， 于是x1+x2=，x1x2=．① ………………………7分 又P，M，H，N四点共线，将四点都投影到x轴上， 则可转化为， 整理得：．     …………………………………………10分 将①代入可得，     …… 12分 ∴ ， 消去参数得，即H点恒在直线上．  ………13分 【思路点拨】（1）设椭圆的标准方程为，焦点坐标为（c，0），由题知：，又a2=b2+c2，解出即可；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），H（x0，y0），由已知直线MN的方程为y=kx+3k+4，与椭圆的方程联立可得：， 得到根与系数的关系．又P，M，H，N四点共线，将四点都投影到x轴上，满足．可得，进而解出x0用k表示，及其y0用k表示，消去k即可得出．   21. （12分） 已知 （1）求函数f(x)的最小正周期和函数在[0,π]上的单调减区间； （2）若三角形ABC中， ,求角C. 参考答案： 或. 或． 考点：三角函数图像和性质，正弦定理 22. 设，   ． （1）当时，求曲线在处的切线的斜率； （2）如果存在，使得成立，求满足上述条件的最大整数； （3）如果对任意的，都有成立，求实数的取值范围． 参考答案： （1）当时，，，，， 所以曲线在处的切线方程为；       （2）存在，使得成立  等价于：， 考察， ，   递减 极（最）小值 递增           由上表可知：， · ， 所以满足条件的最大整数；                        略