福建省泉州市同安第三中学2022-2023学年高二数学理模拟试题含解析

福建省泉州市同安第三中学2022-2023学年高二数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（      ） （A）         （B）         （C）          (D) 参考答案： D 解析：设的中点为D，连结D，AD，易知即为异面直线与所成的角,由三角余弦定理， 易知.故选D       2. 如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值为（　　） A． B． C． D．﹣ 参考答案： A 【考点】异面直线及其所成的角． 【分析】连结ND，取ND的中点E，连结ME，推导出异面直线AN，CM所成角就是∠EMC，通解三角形，能求出结果． 【解答】解：连结ND，取ND的中点E，连结ME， 则ME∥AN，∴∠EMC是异面直线AN，CM所成的角， ∵AN=2，∴ME==EN，MC=2， 又∵EN⊥NC，∴EC==， ∴cos∠EMC===， ∴异面直线AN，CM所成的角的余弦值为． 故选：A． 【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 　 3. 若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（   ） A. B. C. D. 2 参考答案： A 【分析】 由垂直关系得出渐近线的斜率，再转化为离心率的方程即可． 【详解】∵双曲线的一条渐近线与直线垂直，∴， ，，∴． 故选A． 【点睛】本题考查双曲线的渐近线，掌握两直线垂直的充要条件是解题基础． 4. 某程序框图如下图所示，若输出的s=57，则判断框内为（   ） A．         B．       C.         D． 参考答案： A 由程序框图知第一次运行，第二次运行，第三次运行，第四次运行，输出，所以判断框内为.   5. 下列命题中，正确的是（　　　） A．两个复数不能比较大小      　    B.若 ，则复数            C. 虚轴上的点的纵坐标都是纯虚数    D. 参考答案： D 6. 设随机变量服从正态分布N（）（＞0），若P（X＜0+P（X＜1=1，则的值为（   ）    A．－1              B．－             C．              D．1 参考答案： C 略 7. f（x）是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f（2）=0．则方程f（x）=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（　　） A．5B．4C．3D．2 参考答案： B 【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的周期性． 【分析】根据题意，由f（x）是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f（2）=0，可得f（﹣2）=0，重复利用函数的周期性，看在区间（0，6）内，还能推出哪些数的函数值等于0． 【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且周期是3，f（2）=0，∴f（﹣2）=0， ∴f（5）=f（2）=0，f（1）=f（﹣2）=0，f（4）=f（1）=0． 即在区间（0，6）内， f（2）=0，f（5）=0，f（1）=0，f（4）=0， 故答案：B 8. 现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为(   ) A. B.     C. D. 参考答案： C 9. 函数有（    ） A. 极大值5，极小值－27 B. 极大值5，极小值－11 C. 极大值5，无极小值 D. 极小值－27，无极大值 参考答案： C 【分析】 利用导函数的正负可确定原函数的单调性，由单调性可知当时，函数取极大值，无极小值；代入可求得极大值，进而得到结果. 【详解】 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减 当时，函数取极大值，极大值为；无极小值 故选： 【点睛】本题考查函数极值的求解问题，关键是能够根据导函数的符号准确判断出原函数的单调性，属于基础题. 10. 下列命题中不正确的是   （    ） A．若x ~B(n,p)，则Ex = np，Dx = np(1－p) B．E(ax + b) = aEx + b C．D(ax + b) = a Dx                       D．Dx = Ex 2－(Ex )2 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 边长分别为、的矩形，按图中所示虚线剪裁后，可将两个小矩形拼接成一个正四棱锥的底面，其余恰好拼接成该正四棱锥的4个侧面，则的取值范围是         . 参考答案： 12. 已知等差数列{an}的公差是正数，且a3·a7=－12，a4＋a6=－4，则S20=          ． 参考答案： 180 13. 数列的前10项和为_____________. 参考答案： 解：记，             ……① 则，        ……② ①－②得： ，∴. 14. 某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是　　． 参考答案： 甲 【考点】F4：进行简单的合情推理． 【分析】此题可以采用假设法进行讨论推理，即可得出结论． 【解答】解：假如甲：我没有偷是真的，乙：丙是小偷、丙：丁是小偷是假的，丁：我没有偷就是真的，与他们四人中只有一人说真话矛盾， 假如甲：我没有偷是假的，那么丁：我没有偷就是真的，乙：丙是小偷、丙：丁是小偷是假的，成立， 故答案为：甲． 15. 已知函数f (x)＝ln(2x－1)，则f ′(x)＝   ▲     ． 参考答案： 略 16. 圆心在原点，且与直线相切的圆的方程为_____________。 参考答案： 略 17. 一个多面体内接于一个旋转体，其正视图、侧视图及俯视图都是一个圆的正中央含一个正方形，如图，若正方形的边长是1，则该旋转体的表面积是　　． 参考答案： 3π 【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）． 【分析】原几何体是一个棱长为1的正方体内接于一个球，则球的直径是，即可求出球的表面积． 【解答】解：原几何体是一个棱长为1的正方体内接于一个球， 则球的直径是，故球的表面积是4π?=3π． 故答案为3π． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （10分）过点C（0，）的椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为 ，椭圆与x轴交于两点A（a，0），B（﹣a，0），过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与BD交于点Q． （1）求椭圆的方程； （2）当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长； （3）当点P异于点B时，求证：?为定值． 参考答案： 【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程． 【分析】（1）由过点C（0，）的椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆的方程． （2）椭圆的右焦点为（，0），直线l的方程为y=﹣x+，代入椭圆方程化简，得，由此能求出|CD|． （3）当直线l与x轴垂直时，与题意不符．当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=kx+，（k≠0，且k≠），代入椭圆方程，化简得（2k2+1）x2+4=0，求出D（），从而得到kBD，进而求出直线BD的方程，再由直线AC的方程联立，求出Q（﹣2，2k+），由l方程得P（﹣，0），由此能证明?为定值． 【解答】解：（1）∵过点C（0，）的椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为， ∴，解得a=2，b=，c=， ∴椭圆的方程为． （2）椭圆的右焦点为（，0）， 此时直线l的方程为y=﹣x+， 代入椭圆方程化简，得， 解得， 代入直线l的方程，得，y2=﹣， ∴|CD|==． 证明：（3）当直线l与x轴垂直时， ∵椭圆与x轴交于两点A（a，0），B（﹣a，0），∴AC∥BD，与题意不符． 设直线l的方程为y=kx+，（k≠0，且k≠）， 代入椭圆方程，化简得（2k2+1）x2+4=0， 解得， 代入直线l的方程，得，， ∴D（）， ∴kBD=== ==， ∴直线BD的方程为y=（x+2）， 又直线AC的方程为， 联立，得，∴Q（﹣2，2k+）， 又由l方程得P（﹣，0）， ∴=（﹣）?（﹣2，2k+）=4 19. （13分）已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（,0）的距离减去它到y轴距离的差都是. ⑴求曲线C的方程； ⑵是曲线C上的动点，点在轴上，圆内切于，求面积的最小值． 参考答案： ⑴设是曲线上任意一点，那么点满足：   化简得 . ……………………5分 ⑵设，不妨设． 直线的方程:， 化简得 ． 又圆心到的距离为1， ， 故， 易知，上式化简得， 同理有．   所以，，则． 因是抛物线上的点，有，则 ，． 所以．. ……………………11分 当时，上式取等号，此时．因此的最小值为8． ………………13分          20. （本题满分16分） 经销商用一辆J型卡车将某种水果运送（满载）到相距400km的水果批发市场。据测 算，J型卡车满载行驶时，每100km所消耗的燃油量u（单位：L）与速度v（单位：km/h） 的关系近似地满足，除燃油费外，人工工资、车损等 其他费用平均每小时300元。已知燃油价格为7.5元/L。 （1）设运送这车水果的费用为y（元）（不计返程费用），将y表示成速度v的函数关系式； （2）卡车该以怎样的速度行驶，才能使运送这车水果的费用最少？ 参考答案： 18.   略 21. (本小题满分分)    某流感中心对温差与甲型病毒感染数之间的相关关系进行研究，他们每天在实验室放入数量相同的甲型病毒和头家禽，然后分别记录了月号至月号每天昼夜温差与实验室里头家禽的感染数，得到如下资料： 日 期 月号 月号 月号 月号 月号 温 差 感染数   (Ⅰ)求这天的平均感染数和方差； (Ⅱ)从月号至月号中任取两天，这两天的感染数分别记为，.用的形式列出所有的基本事件（和视为同一事件），并求事件“”的概率. （参考公式：方差） 参考答案： 解（Ⅰ）这天的平均感染数为,方差    6分 （Ⅱ）所有基本事件为： ，基本事件总数为，记满足的事件为，则事件包含的基本事件为，，所以，. 故事件的概率为.                          ………………12分 22. （本小题满分12分） 如图，已知二次函数过点（0,0）和（1,0），(2,6).直线，直线（其中，为常数）.的图象所围成的封闭图形如阴影所示.  （1）求；  （2）求阴影面积s关于t的函数的解析式；（3）若过点可作曲线的三条切线，求实数m的取值范围. 参考答案： 解：（1由图可知二次函数的图象过点（0，0），（1，0） 则，又因为图象过点（2，6）∴6=2a ∴a=3 ∴函数的解析式为  （2)由得 ∵，∴直线与的图象的交点横坐标分别为0,1+t , 由定积分的几何意义知：                                                ， ； （3