北京钢院附属中学高一数学文模拟试题含解析

北京钢院附属中学高一数学文模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数f(x)＝，则f(－1)的值是(     )． A．－2            B．－1    C．0       D．1 参考答案： D 2. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（   ） A. B. C. D. 12 参考答案： B 【分析】 三视图可看成由一个长1宽2高1的长方体和以2和1为直角边的三角形为底面高为1的三棱柱组合而成。 【详解】几何体可看成由一个长1宽2高1长方体和以2和1为直角边的三角形为底面高为1的三棱柱组合而成 ，选B. 【点睛】已知三视图，求原几何体的表面积或体积是高考必考内容，主要考查空间想象能力，需要熟练掌握常见的几何体的三视图，会识别出简单的组合体。 3. 把曲线先沿轴向右平移个单位，再沿轴向下平移1个单位，得到的曲线方程为(     ) A.    B.         C. D. 参考答案： C 4. 设集合，，则  A．      B．       C．         D． 参考答案： B 5. 若是的一个内角，且，则的值为（  ） A．          B．        C.          D． 参考答案： D 6. 使得函数f（x）=lnx+x﹣2有零点的一个区间是（　　） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4） 参考答案： C 【考点】函数零点的判定定理． 【分析】由题意可得函数的定义域（0，+∞），令f（x）=lnx+x﹣2，然后根据f（a）?f（b）＜0，结合零点判定定理可知函数在（a，b）上存在一个零点，可得结论． 【解答】解：由题意可得函数的定义域（0，+∞），令f（x）=lnx+x﹣2 ∵f（1）=﹣＜0，f（2）=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3﹣＞0 由函数零点的判定定理可知，函数y=f（x）=lnx+x﹣2在（2，3）上有一个零点 故选C． 7. 已知数列{an}是等差数列，，则（  ） A. 36 B. 30 C. 24 D. 18 参考答案： B 试题分析： 8. 由下列命题构成的“”，“”均为真命题的是（　　） Ａ．菱形是正方形，正方形是菱形 Ｂ．是偶数，不是质数 Ｃ．是质数，是12的约数 Ｄ．， 参考答案： D 9. 已知函数，则下列结论错误的是 A．函数的最小正周期为     B．函数在区间上是增函数 C．函数的图象关于轴对称     D．函数是奇函数 参考答案： D 10. 在下列区间中，函数的零点所在区间是（   ） .            .          .       . 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数+2最小正周期为____________ 参考答案： 12. 如图1，一个底面是正三角形，侧棱与底面垂直的棱柱形容器，底面边长为，高为，内装水若干．将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这时水面恰好为中截面（分别是棱的中点），则图1中容器内水面的高度为________． 参考答案： 13. 如图所示是y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的一段，它的一个解析式是       ． 参考答案：  y=sin（2x+） 【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 【分析】根据函数的图象，得出振幅A与周期T，从而求出ω与φ的值． 【解答】解：根据函数的图象知，振幅A=， 周期T=﹣（﹣）=π， 即=π，解得ω=2； 所以x=﹣时，ωx+φ=2×（﹣）+φ=+2kπ，k∈Z； 解得φ=+2kπ，k∈Z， 所以函数y的一个解析式为y=sin（2x+）． 故答案为：y=sin（2x+）． 14. 下列角中，终边与相同的角是（   ）                     参考答案： B 15. 函数的单调递增区间是        ． 参考答案： （2，+∞） 【考点】复合函数的单调性． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】先根据真数大于0求出函数的定义域，根据对数函数和二次函数的单调性分析出内函数t=x2+4x﹣12和外函数y=log2t的单调性，最后根据“同增异减”的原则求出复合函数的单调性． 【解答】解：函数的定义域为（﹣∞，﹣6）∪（2，+∞） 令t=x2+4x﹣12，则y=log2t ∵y=log2t在定义域上为增函数， t=x2+4x﹣12在（﹣∞，﹣6）上为减函数，在（2，+∞）上为增函数， 故函数的单调增区间是（2，+∞） 故答案为：（2，+∞） 【点评】本题考查的知识点是复合函数的单调性，熟练掌握各种基本初等函数的单调性及复合函数单调性“同增异减”的原则是解答的关键． 16. 在△ABC中，已知a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，且a=4，b=4，∠A=30°，则∠B等于　   　． 参考答案： ，或 【考点】HR：余弦定理． 【分析】由已知及正弦定理可得sinB的值，结合B为三角形内角，利用特殊角的三角函数值即可得解． 【解答】解：∵a=4，b=4，∠A=30°， ∴由正弦定理可得：sinB===， 又∵B为三角形内角， ∴B=，或． 故答案为：，或． 17. 数列满足：，若＝10，则＝________. 参考答案： 320  略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知抛物线y＝x2－2(m－1)x＋(m2－7)与x轴有两个不同的交点． (1)求m的取值范围； (2)若抛物线与x轴的两个交点为A，B，且点B的坐标为(3,0)，求出点A的坐标，抛物线的对称轴和顶点坐标． 参考答案： (1) m<4 (2) A的坐标为(－1,0), 顶点坐标为(1，－4)，对称轴为直线x＝1 【分析】 （1）抛物线y＝x2－2(m－1)x＋(m2－7)与x轴有两个不同的交点即相应的二次方程有两个不等的实根； （2）由抛物线y＝x2－2(m－1)x＋(m2－7)经过点B(3,0)，可得m值，进而得到A点坐标，从而得到结果. 【详解】(1)∵抛物线y＝x2－2(m－1)x＋(m2－7)与x轴有两个不同的交点， ∴方程x2－2(m－1)x＋(m2－7)＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝4(m－1)2－4(m2－7)＝－8m＋32>0， ∴m<4. (2)∵抛物线y＝x2－2(m－1)x＋(m2－7)经过点B(3,0)， ∴9－6(m－1)＋m2－7＝0， m2－6m＋8＝0，解得m＝2或m＝4. 由(1)知m<4，∴m＝2. ∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3. 令y＝0，得x2－2x－3＝0， 解得x1＝－1，x2＝3， ∴点A的坐标为(－1,0)． 又y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4， ∴顶点坐标为(1，－4)，对称轴为直线x＝1. 【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，抛物线与x轴的交点问题常转化为二次方程的根，属于基础题. 19. 设f（x）的定义域为[﹣3，3]，且f（x）是奇函数，当x∈[0，3]时，f（x）=x（1﹣3x）． （1）求当x∈[﹣3，0）时，f（x）的解析式； （2）解不等式f（x）＜﹣8x． 参考答案： 【考点】奇偶性与单调性的综合． 【分析】（1）根据函数奇偶性的性质进行求解即可． （2）根据函数的解析式，利用分类讨论的思想解不等式即可． 【解答】解：（1）若x∈[﹣3，0），则﹣x∈（0，3]， 即f（﹣x）=﹣x（1﹣3﹣x）． ∵f（x）是奇函数， ∴f（﹣x）=﹣x（1﹣3﹣x）=﹣f（x）， 即f（x）=x（1﹣3﹣x）．x∈[﹣3，0）． （2）若x∈[0，3]时，由f（x）=x（1﹣3x）＜﹣8x． 得1﹣3x＜﹣8，即3x＞9，即2＜x≤3， 若x∈[﹣3，0）时，由f（x）=x（1﹣3﹣x）＜﹣8x． 得1﹣3﹣x＞﹣8，即3﹣x＜9，即﹣2＜x＜0， 综上不等式的解集为（﹣2，0）∪（2，3]． 20. (本题13分)如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中， （1）求证：BD1⊥平面ACB1 （2）若BD1 与平面ACB1交于点H，求BH的长。 参考答案： （1）三视图略。   （2）【解】在中，，，∴． ∵，∴四边形为正方形．            （3）当点为棱的中点时，DE∥平面．        证明如下：     如图，取的中点，连、、， ∵、、分别为、、的中点， ∴EF∥． ∵平面，平面， ∴EF∥平面．　　　　    同理可证FD∥平面． ∵， ∴平面∥平面． ∵平面，∴DE∥平面．  略 21. 如图，棱柱中，四边形 是菱形，四边形是矩形， . 1             求证：平面； 2             求点到平面的距离； ③ 求直线与平面所成角的正切值. 参考答案： (1)证明：……………4分 (2)，所以点到面的距离相等，………6分 设点到面的距离相等，则 为正三角形，………7分ks5u 又                           ………8分 ，点到平面的距离为。           ………9分 (3)解：过作       ………10分                    ………12分 为直线与平面所成线面角，………13分 在中，， 所以直线与平面所成角的正切值为。                          ………14分 22. 设函数． （Ⅰ）设t=log3x，用t表示f（x），并指出t的取值范围； （Ⅱ）求f（x）的最值，并指出取得最值时对应的x的值． 参考答案： 【考点】函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法． 【专题】计算题；函数思想；换元法；函数的性质及应用． 【分析】（Ⅰ）设t=log3x，由x的范围，可得t的范围，运用对数的运算性质，可得f（x）关于t的解析式； （Ⅱ）由二次函数在闭区间上的最值的求法，讨论区间上的单调性，即可得到所求最值及对应x的值． 【解答】解：（Ⅰ）设t=log3x，由， 即有﹣2≤log3x≤3，即﹣2≤t≤3． 此时，f（x）=﹣log3（9x）?（log3x﹣1） =﹣（log3x+2）（log3x﹣1）=﹣t2﹣t+2， 即f（x）=﹣t2﹣t+2，其中﹣2≤t≤3； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得，， 又﹣2≤t≤3，函数y=﹣t2﹣t+2在单调递增，在单调递减， 所以当，即，即时，f（x）取得最大值； 所以当t=3，即log3x=3，即x=27时，f（x）取得最小值﹣10． 【点评】本题考查函数的最值的求法，考查换元法的运用，以及对数函数的单调性，同时考查二次函数的最值的求法，及化简运算能力，属于中档题．