湖北省武汉市中学高二数学理联考试题含解析

湖北省武汉市中学高二数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 等于 (　　)． A．1       B．e－1     C．e       D．e＋1 参考答案： C 略 2. 下列说法正确的是                                  （  ） A、三点确定一个平面     B、四边形一定是平面图形     C、梯形一定是平面图形   D、平面和平面有不同在一条直线上的三个交点 参考答案： 略 3. 利用数学归纳法证明 “ ”时，从“”变到   “”时，左边应增乘的因式是     （      ）   A．       B．          C．          D．    参考答案： C 略 4. 已知函数，则f(x)的大致图像是（  ） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 利用函数值的正负及在单调递减，选出正确答案. 【详解】因为，排除A，D； ，在同一个坐标系考查函数与的图象， 可得，在恒成立，所以在恒成立， 所以在单调递减排除B，故选C. 【点睛】根据解析式选函数的图象是高考的常考题型，求解此类问题没有固定的套路，就是要利用数形结合思想，从数到形、从形到数，充分提取有用的信息. 5. 类比平面内 “垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间下列结论： ①垂直于同一条直线的两条直线互相平行  ②垂直于同一个平面的两条直线互相平行 ③垂直于同一条直线的两个平面互相平行  ④垂直于同一个平面的两个平面互相平行 则正确的结论是 A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 参考答案： C 6. 定义在R上的函数满足：，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为 A.     B.     C.     D. 参考答案： A 7. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（     ） A．         B．　     C．       　 D． 参考答案： B 8. 椭圆的两个焦点和短轴两个顶点，是一个含60°角的菱形的四个顶点，则椭圆的离心率为（   ）  A．或          B．           C．          D．     参考答案： A 9. 下列各函数的导数：①；②（ax）′=a2lnx；③（sin2x）′=cos2x；④（）′=．其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 参考答案： B 【考点】导数的运算． 【分析】根据题意，依次对4个函数求导，比较即可得答案． 【解答】解：根据题意，依次对4个函数求导： 对于①、y==，其导数y′=，正确； 对于②、y=ax，其导数y′=axlna，计算错误； 对于③、y=sin2x，其导数y′=2cos2x，计算错误； 对于④、y==（x+1）﹣1，其导数y′=﹣，计算错误； 只有①的计算是正确的； 故选：B． 10. 在长为4的线段上任取一点，则该点到两端点的距离均不小于1的概率为            （     ） A．               B．               C．                D．         参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. ．命题“若，则”的否命题是           ． 参考答案： 略 12. 若椭圆的离心率为，则它的长半轴长为　　． 参考答案： 4 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】由题意可知：m2+1＞1，则椭圆的焦点在x轴上，椭圆的离心率e====，解得：m2=3，它的长半轴长2a=4． 【解答】解：由题意可知：m2+1＞1，则椭圆的焦点在x轴上， 即a2=m2+1，b=1，则c=m2+1﹣1=m2， 由椭圆的离心率e====，解得：m2=3， 则a=2， 它的长半轴长2a=4， 故答案为：4． 13. 等差数列{an}中，若a3+a7=16,则a5=_________; 参考答案： 8 略 14. 给定下列命题： ①若k＞0，则方程x2+2x﹣k=0有实数根； ②“若a＞b，则a+c＞b+c”的否命题； ③“矩形的对角线相等”的逆命题； ④“若xy=0，则x、y中至少有一个为0”的否命题． 其中真命题的序号是__________． 参考答案： ①②④ 考点：命题的真假判断与应用． 专题：简易逻辑． 分析：利用判别式的符号判断①的正误；命题的否命题的真假判断②的正误；逆命题的真假判断③的正误；通过命题的否命题的真假判断④的正误； 解答：解：对于①，若k＞0，则方程x2+2x﹣k=0有实数根，∵△4+4k＞0，∴方程x2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根；①正确； 对于②，“若a＞b，则a+c＞b+c”的否命题：若a≤b，则a+c≤b+c，满足不等式的基本性质，∴②正确； 对于③，“矩形的对角线相等”的逆命题：对角线相等的四边形是矩形，显然不正确，例如等腰梯形，∴③不正确； 对于④，“若xy=0，则x、y中至少有一个为0”的否命题：若xy≠0，则x、y中都不为0．正确； 正确命题：①②④． 故答案为：①②④． 点评：本题考查命题的真假的判断，命题的否定以及四种命题的关系，考查基本知识的应用 15. 下列说法的正确的是             （1）经过定点的直线都可以用方程表示 （2）经过定点的直线都可以用方程表示 （3）不经过原点的直线都可以用方程表示 （4）经过任意两个不同的点的直线都可以用方程         表示 参考答案： （4） 16. 已知光线经过点A（﹣1，2）由镜面所在直线y=x反射后经过点B（1，4），则反射光线所在直线方程为            ． 参考答案： 5x+y﹣9=0 【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程． 【专题】方程思想；综合法；直线与圆． 【分析】先求出A（﹣1，2）关于直线y=x对称的点的坐标，代入直线方程即可． 【解答】解：设A（﹣1，2）关于直线y=x对称的点为（m，n）， 则，解得：， ∴反射光线的斜率为：k==﹣5， ∴反射光线的直线方程为：y﹣4=﹣5（x﹣1），即5x+y﹣9=0， 故答案为：5x+y﹣9=0． 【点评】本题考查了求直线的方程问题，考查直线的垂直关系，是一道基础题． 17. 若xdx=2，则常数a的值为　　． 参考答案： 2 【考点】定积分． 【分析】根据定积分的计算法则计算即可． 【解答】解：由xdx=x2|=a2=2， 解得a=2， 故答案为：2 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切． （1）求椭圆C的方程； （2）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于两点 A，B，设P为椭圆上一点，且满足（ O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围． 参考答案： 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（1）由离心率公式和直线与圆相切的条件，列出方程组求出a、b的值，代入椭圆方程即可； （2）设A、B、P的坐标，将直线方程代入椭圆方程化简后，利用韦达定理及向量知识，即可求t的范围． 【解答】解：（1）由题意知，…1分 所以．即a2=2b2．…2分 又∵椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切， ∴，…3分， 则a2=2．…4分 故椭圆C的方程为． …6分 （2）由题意知直线AB的斜率存在． 设AB：y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y）， 由得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0． △=64k4﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）＞0，解得…7分 且，． ∵足，∴（x1+x2，y1+y2）=t（x，y）． 当t=0时，不满足； 当t≠0时，解得x==， y===， ∵点P在椭圆上，∴， 化简得，16k2=t2（1+2k2）…8分 ∵＜，∴， 化简得， ∴， ∴（4k2﹣1）（14k2+13）＞0，解得，即，…10分 ∵16k2=t2（1+2k2），∴，…11分 ∴或， ∴实数取值范围为…12分 19. 已知函数f（x）=的定义域为集合A，B={x|x＜a}． （1）若A?B，求实数a的取值范围； （2）若全集U={x|x≤4}，a=﹣1，求?UA及A∩（?UB）． 参考答案： 【考点】函数的定义域及其求法；交、并、补集的混合运算． 【专题】计算题． 【分析】（1）首先求出集合A，根据A?B，利用子集的概念，考虑集合端点值列式求得a的范围； （2）直接运用补集及交集的概念进行求解． 【解答】解：（1）要使函数f（x）=有意义，则，解得：﹣2＜x≤3． 所以，A={x|﹣2＜x≤3}． 又因为B={x|x＜a}，要使A?B，则a＞3． （2）因为U={x|x≤4}，A={x|﹣2＜x≤3}，所以CUA={x|x≤﹣2或3＜x≤4}． 又因为a=﹣1，所以B={x|x＜﹣1}． 所以CUB={﹣1≤x≤4}，所以，A∩（CUB）=A={x|﹣2＜x≤3}∩{﹣1≤x≤4}={x|﹣1≤x≤3}． 【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了交集和补集的混合运算，求解集合的运算时，利用数轴分析能起到事半功倍的效果，此题是基础题． 20. 已知椭圆C的两焦点分别为，长轴长为6。 ⑴求椭圆C的标准方程;  ⑵已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C于A 、B两点,求线段AB的长度。 参考答案： （1）；（2） 【分析】 (1)由焦点坐标可求c值，a值，然后可求出b的值。进而求出椭圆C的标准方程。 （2）先求出直线方程然后与椭圆方程联立利用韦达定理及弦长公式求出|AB|的长度。 【详解】解：⑴由，长轴长为6 得：所以 ∴椭圆方程为 ⑵设,由⑴可知椭圆方程为①, ∵直线AB的方程为② 把②代入①得化简并整理得 所以 又 【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查韦达定理及弦长公式的应用，考查运算能力，属于中档题． 21. 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证： （1）B，C，H，G四点共面； （2）平面EFA1∥平面BCHG． 参考答案： 考点： 平面与平面平行的判定． 专题： 空间位置关系与距离． 分析： （1）利用三角形中位线的性质，证明GH∥B1C1，从而可得GH∥BC，即可证明B，C，H，G四点共面； （2）证明平面EFA1中有两条直线A1E、EF分别与平面BCHG中的两条直线BG、BC平行，即可得到平面EFA1∥平面BCHG． 解答： 证明：（1）∵G、H分别为A1B1，A1C1中点，∴GH∥B1C1， ∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC∥B1C1， ∴GH∥BC ∴B、C、H、G四点共面； （2）∵E、F分别为AB、AC中点， ∴EF∥BC ∴EF∥BC∥B1C1∥GH 又∵E、G分别为三棱柱侧面平行四边形AA1B1B对边AB、A1B1中点， ∴四边形A1EBG为平行四边形，A1E∥BG ∴平面EFA1中有两条直线A1E、EF分别与平面BCHG中的两条直线BG、BC平行 ∴平面EFA1∥平面BCHG． 点评： 本题考查平面的基本性质，考查面面平行，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 22. （满分12分）已知集合，，若，求实数的取值范围。 参考答案：