江苏省镇江市丹徒区冷遹中学高三数学理测试题含解析

江苏省镇江市丹徒区冷遹中学高三数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 下列说法正确的是（　　） 　 A． 函数f（x）=ax+1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点（0，1） 　 B． 函数f（x）=x﹣3在其定义域上是减函数 　 C． 函数f（x）=2值域为（0，+∞） 　 D． 函数f（x）=|log2x|在区间（1，+∞）上单调递增 参考答案： 考点： 对数函数的单调性与特殊点． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 由条件根据对数函数、指数函数、幂函数的单调性和特殊点，判断各个选项是否正确，从而得出结论． 解答： 解：由于当x=0时，函数f（x）=ax+1=2，故函数f（x）=ax+1的图象恒过定点（0，2），故A不正确． 由函数f（x）=x﹣3在的图象可得函数在（0，+∞）上单调递减，且f（x）＞0，函数在（﹣∞，0）上单调递减，且f（x）＜0， 故函数在其定义域内没有单调性，故B不正确． 由于函数f（x）=2中，≠0，故函数f（x）≠20，即f（x）≠1，故f（x）=2值域一定不是（0，+∞），故C不正确． 在区间（1，+∞）上，函数f（x）=|log2x|=log2x，故函数在区间（1，+∞）上单调递增，故D正确， 故选：D． 点评： 本题主要考查对数函数、指数函数、幂函数的单调性和特殊点，属于基础题． 2. 已知f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＞，x∈R），若f（x）的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间（2π，3π），则ω的取值范围是（　　） A．[，]∪[，] B．（，]∪[，] C．[，]∪[，] D．（，]∪[，] 参考答案： C 【考点】三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法． 【分析】由题意可得， =≥3π﹣2π=π，求得＜ω≤1，故排除A、D．检验当ω=时，f（x）=sin（x﹣）满足条件，故排除B，从而得出结论． 【解答】解：f（x）=sinωx﹣cosωx=sin（ωx﹣）（ω＞，x∈R）， 若f（x）的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间（2π，3π）， 则=≥3π﹣2π=π，ω≤1，即＜ω≤1，故排除A、D． 当ω=时，f（x）=sin（x﹣）， 令x﹣=kπ+，求得 x=kπ+，可得函数f（x）的图象的对称轴为  x=kπ+，k∈Z． 当k=1时，对称轴为 x=＜2π，当k=2时，对称轴为 x==3π， 满足条件：任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间（2π，3π），故排除B， 故选：C． 【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性和周期性，属于中档题． 3. 定义在R上的可导函数，其导函数记为，满足，且当时，恒有.若，则实数m的取值范围是（   ） A．(－∞,1]              B．             C．[1,+∞)         D． 参考答案： D 4. 设函数，则（　　） A．在（0，）单调递增，其图像关于直线对称        B．在（0，）单调递增，其图像关于直线对称　　　　 C．在（0，）单调递减，其图像关于直线对称        D．在（0，）单调递减，其图像关于直线对称 参考答案： D 解法1：直接验证。由选项知在（0，）不是递增就是递减，而端点值又有意义， 故只需验证端点值，知递减。显然不会是对称轴。故选D。 解法2：， 因此在（0，）单调递减，图像关于直线对称，选择D。 5.    集合，那么   A.               B.      C.               D. 参考答案： A 略 6. 等比数列中，为方程的两根，则的值为（   ）                   参考答案： B 7. 下图给出的是计算值的程序框图，其中判断框内可填入的条件是（   ） A．           B．       C．       D． 参考答案： D 8. 函数的零点个数为（   ）   A．3                 B．2                 C．1                   D．0 参考答案： B 9. 若集合，且，则集合Q不可能是（    ） A． B． C． D． 参考答案： C 10. 若的展开式中各项系数之和为1024，则展开式中含x的整数次幂的项共有   （    ）     A．2项         B．3项         C．5项         D．6项 参考答案： 答案：B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上不存在点P，使得∠APB为直角，则实数m的取值范围是　　． 参考答案： （0，4）∪（6，+∞） 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径r=1，设P（a，b）在圆C上，则=（a+m，b），=（a﹣m，b），由已知得m2=a2+b2=|OP|2，m的最值即为|OP|的最值，可得结论． 【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径r=1， 设P（a，b）在圆C上，则=（a+m，b），=（a﹣m，b）， 若∠APB=90°，则⊥， ∴?=（a+m）（a﹣m）+b2=0， ∴m2=a2+b2=|OP|2， ∴m的最大值即为|OP|的最大值，等于|OC|+r=5+1=6．最小值为5﹣1=4， ∴m的取值范围是（0，4）∪（6，+∞）． 故答案为：（0，4）∪（6，+∞）． 【点评】本题考查实数的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用． 12. 已知函数的图象经过点A(1,1)，则不等式的解为                       . 参考答案： 略 13. 设,分别是双曲线的左、右焦点,若双曲线左支上存在一点,使,为坐标原点,且,则该双曲线的离心率为           ； 参考答案： 14. 函数的最小正周期是___________． 参考答案： ,所以周期。 15. 设0≤α≤π，不等式x2－(2sin α)x＋≥0对x∈R恒成立，则a的取值范围为________． 参考答案： 16. 观察下列等式: 照此规律, 第n个等式可为_                        _ 参考答案： 17. 将斜边长为4的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，则所形成的几何体体积是　  　． 参考答案： ． 【分析】几何体为两个同底等高的圆锥的组合体． 【解答】解：等腰直角三角形的斜边长为4，斜边的高为2． ∴旋转后的几何体为两个大小相等的圆锥的组合体．圆锥的底面半径为2，高为2． ∴几何体的体积V=2×=． 故答案为：． 【点评】本题考查了旋转体的结构特征和体积计算，属于基础题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分14分）已知直线所经过的定点F恰好是中心在原点的椭圆C的—个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为8． (I)求椭圆C的标准方程； (II)点A的坐标为(-2，1)，M为椭圆C上任意一点，求的最大值； (Ⅲ)已知圆，直线．试证明当点在椭圆C上运动时，直线与圆O恒相交，并求直线被圆O所截得的弦长的取值范围． 参考答案： 16.（本小题满分12分） 正项数列｛an｝满足-（2n-1）an-2n=0. （1） 求数列｛an｝的通项公式an； （2） 令bn=，求数列｛bn｝的前n项和Tn。 参考答案： 由于｛an｝是正项数列，则。 （2）由（1）知，故 20. 已知抛物线y=x2，过点P（0，2）作直功l，交抛物线于A、B两点，O为坐标原点． （Ⅰ）求证：?为定值； （Ⅱ）求三角形AOB面积的最小值． 参考答案： 解：如图所示， （1）证明：抛物线方程可化为x2=4y，焦点为F（0，1）， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 直线l的方程为：y=kx+2； ∴， 化为x2﹣4kx﹣8=0， ∴x1+x2=4k，x1x2=﹣8； ∴y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4=﹣8k2+8k2+4=4， ∴?=x1x2+y1y2=﹣8+4=﹣4； （2）由（1）知，x1+x2=4k，x1x2=﹣8； ∴S△OAB=S△OAP+S△OBP=|OP|?|x1|+|OP|?|x2|=|OP|?|x2﹣x1| =×2， ∴当k=0时，△OAB面积最小，最小值为4． 略 21. 已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，，，，. （1）求{an}，{bn}的通项公式； （2）若数列，求数列{Cn}的前n项和Sn. 参考答案： （1）设公差为，公比为， 由题意得：，............（3分） 解得，或（舍），∴，.............（6分）   22. 如图，在四棱锥中，四边形为梯形，，，为等边三角形，. （1）求证：平面平面； （2）求二面角大小的余弦值. 参考答案： （1)如图取的中点，连接，依题， 所以四边形是平行四边形， 所以.因为是中点， 所以，故， 所以为等边三角形，所以， 因为，所以 所以平行四边形为菱形， 所以，所以，即，又已知，所以平面， 平面，所以平面平面. (2)由（1)知，平面，平面平面，所以如图，以为轴， 为轴，过点与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标.设，则，，所以， 所以.设平面的法向量，则 ，令，则，所以. 同理可得平面的法向量，所以， 所以二面角大小的余弦值为.