四川省攀枝花市第十六中学校高三数学理期末试题含解析

四川省攀枝花市第十六中学校高三数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 集合，，则（   ）  A．        B.        C .         D . 参考答案： C 2. 设函数与的图象在y轴右侧的第一个交点为A，过点A作y轴的平行线交函数的图象于点B，则线段AB的长度为（   ） A． B． C． D． 参考答案： C 由方程组，即，即，即， 又，联立得， 解得或（舍去），则， 又因为， 故选C．   3. 一个几何体的三视图如右上图所示，则这个几何体的体积是   A．   B．    C．    D． 参考答案： C 4. 已知两条平行直线 ，之间的距离为1，与圆：相切，与C相交于A，B两点，则（   ） A. B. C. 3 D. 参考答案： D 【分析】 根据题意，由直线与圆相切的性质可得圆心到直线 的距离为2，进而可得圆心到直线的距离，结合直线与圆的位置关系及垂径定理分析可得答案． 【详解】解：根据题意，与圆：相切，则圆心到直线的距离为2， 又由两条平行直线，之间的距离为1，则圆心到直线的距离， 则； 故选：D． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及弦长的计算，属于基础题． 5. 函数的图象大致是 A． B． C.            D． 参考答案： D 6. 德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半 (即)；如果是奇数，则将它乘3加1(即)，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1． 对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数(首项)按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：1可以多次出现)，则的所有不同值的个数为(　　) A．4           B．6         C．32        D．128 参考答案： B 【知识点】合情推理与演绎推理 【试题解析】因为倒着分析得第一个数可为共六个不同取值 故答案为：B 7. 已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点为F1，F2，若双曲线C上存在一点P，使得△PF1F2为等腰三角形，且cos∠F1PF2=，则双曲线C的离心率为(     ) A． B． C．2 D．3 参考答案： C 考点：双曲线的简单性质． 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：运用双曲线的定义和等腰三角形的定义，由离心率公式，计算即可得到 解答： 解：由双曲线的定义可得，||PF1|﹣|PF2||=2a， 由△PF1F2为等腰三角形，则|PF1|=|F1F2|或|F1F2|=|PF2|， 即有|PF2|=2c﹣2a或|PF1|=2c﹣2a， 即有cos∠F1PF2== ∴e==2． 故选：C． 点评：本题考查双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题． 8. 下列函数中，对于，同时满足条件和的函数是 （A）               （C） （B）          （D） 参考答案： D 9. （5分）（2014?分宜县校级二模）已知函数y=f（x）对任意的x∈（﹣，）满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】： 利用导数研究函数的单调性． 【专题】： 导数的综合应用． 【分析】： 根据条件构造函数g（x）=，求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可得到结论． 解：构造函数g（x）=， 则g′（x）== ∵对任意的x∈（﹣，）满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0， ∴g′（x）＞0，即函数g（x）在x∈（﹣，）单调递增， 则g（﹣）＜g（﹣），即＜， ∴f（﹣）＜f（﹣），故A正确． ∵g（）＞g（），即＞， ∴f（）＞f（），故B错误， ∵g（0）＜g（），即＜， ∴f（0）＜f（），故C错误， ∵g（0）＜g（），即＜， ∴f（0）＜2f（）．故D错误． 故选：A． 【点评】： 本题主要考查函数单调性的应用，利用条件构造函数是解决本题的关键，综合性较强，有一点的难度． 10. 在△ABC中，，，且，则AB=（  ） A. B. 5 C. D. 参考答案： A 【分析】 中，由正弦定理得，又，所以，再利用余弦定理，即可求解，得到答案。 【详解】在中，因为， 由正弦定理知，又，所以， 又由余弦定理知：， 解得，即，故选A。 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．在中，通常涉及三边三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知一组抛物线，其中为2、4中任取的一个数，为1、3、5中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线交点处的切线相互平行的概率是          。 参考答案： 略 12. 从某自动包装机包装的白糖中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：）        492   496   494   495   498   497   501   502   504   496 497   503   506   508   507   492   496   500   501   499 根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装白糖质量在497.5g—501.5g之间的概率约为           。 参考答案： 答案：0.25 13. 计算：_________． 参考答案： 由该定积分的几何意义可知为半圆：的面积.. 14. 若关于，的不等式组（为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则的值为    .                   参考答案： 先做出不等式对应的区域如图。因为直线过定点，且不等式表示的区域在直线的下方，所以三角形ABC为不等式组对应的平面区域，三角形的高为1，所以，所以，当时，,所以，解得。 15. 口袋中装有大小质地都相同、编号为1，2，3，4，5，6的球各一只．现从中一次性随机地取出两个球，设取出的两球中较小的编号为，则随机变量的数学期望是  ． 参考答案： 16. 已知正方形边长为1，是线段的中点，则____. 参考答案： 【考点】平面向量。 解析：以B为原点，BC向右方向为x轴正方向，BA向上方向为y轴正方向，建立直角坐标系，则各点坐标为：A（0,1），B（0,0），D（1,1），E（1，）， 所以，＝（1，－）（1,1）＝，答案： 17. 已知半径为的球中有一内接圆柱,当圆柱的侧面积最大时,球的表面积与该圆柱的侧面积之差是_____________. 参考答案： 32 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，抛物线的准线与轴交于点，过点的直线与拋物线交于两点，设到准线的距离.      （1）若，求拋物线的标准方程； （2）若，求直线的斜率. 参考答案： （1）∵，∴，∴，得 ∴抛物线为； （2）设，由得: ∴，则 设直线的方程为，由 ，得， 即，∴， ∴，整理得， ∴，∴，依题意，∴. 21. 19. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，为极点，点（2，），（）． (1)求经过，，的圆的极坐标方程； (2)以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆的参数方程为是参数，为半径），若圆与圆相切，求半径的值． 参考答案： （I）      ………5分 （II）或．          ………10分 20. 如图，在△ABC中，M是边BC的中点，cos∠BAM=，tan∠AMC=﹣． （Ⅰ）求角B的大小； （Ⅱ）若角∠BAC=，BC边上的中线AM的长为，求△ABC的面积． 参考答案： 【考点】HT：三角形中的几何计算． 【分析】（Ⅰ）根据三角形的性质和内角和的定理，转化为和与差公式求解即可． （Ⅱ）利用余弦定理求解出BM，即可求解△ABC的面积 【解答】解：（Ⅰ）由， 得：， ∴． 又∠AMC=∠BAM+∠B， ∴=； 又B∈（0，π）， ∴． （Ⅱ）由（Ⅰ）知．角∠BAC=， ∴C=． 则AB=BC． 设MB=x， 则AB=2x． 在△ABM中由余弦定理，得AM2=AB2+MB2﹣2AB?BMcosB，即7x2=21． 解得：． 故得△ABC的面积． 21. （本小题满分12分）在中，分别是角的对边，且， （Ⅰ）求的度数； （Ⅱ）若，求和的值. 参考答案： 22. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，O为AC的中点，点P为平面ABCD外一点，且平面PAC⊥平面ABCD，PO=1，PA=2． （1）求证：PO⊥平面ABCD； （2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值． 参考答案： 【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定． 【分析】（1）推导出AO⊥PO，由此能证明PO⊥平面ABCD． （2）以O为原点，OB，OC，OP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PA与平面PBC所成角的正弦值． 【解答】证明：（1）在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，AO=， 又∵PO=1，PA=2，∴PO2+AO2=PA2， ∴AO⊥PO， ∵平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC， PO?平面PAC， ∴PO⊥平面ABCD． 解：（2）以O为原点，OB，OC，OP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则A（0，﹣，0），B（1，0，0），C（0，，0），P（0，0，1）， =（1，0，﹣1），=（﹣1，，0），=（0，，1）， 设平面PBC的法向量=（x，y，z）， 则，取x=，得=（）， 设直线PA与平面PBC所成角为θ， 则sinθ===． ∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为．