2022年安徽省合肥市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案及部分解析)

2022年安徽省合肥市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案及部分解析) 学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________ 一、单选题(20题) 1. A.A.2 B.1 C.1/2e D. 2.下列反常积分收敛的是( )。 A.∫1+∞xdx B.∫1+∞x2dx C. D. 3. 4.交换二次积分次序等于( )． A.A. B. C. D. 5.  6.设D={(x，y){|x2+y2≤a2，a＞0,y≥0)，在极坐标下二重积分(x2+y2)dxdy可以表示为( ) A.∫0πdθ∫0ar2dr B.∫0πdθ∫0ar3dr C. D. 7.点作曲线运动时，“匀变速运动”指的是( )。 A.aτ为常量 B.an为常量 C.为常矢量 D.为常矢量 8. 9.对于微分方程y"-2y'+y=xex，利用待定系数法求其特解y*时，下列特解设法正确的是（）。 A.y*=(Ax+B)ex B.y*=x(Ax+B)ex C.y*=Ax3ex D.y*=x2(Ax+B)ex 10.  11.设 y=2^x，则dy等于( )． A.x.2x-1dx B.2x-1dx C.2xdx D.2xln2dx 12.  13. 设函数f(x)与g(x)均在(α，b)可导，且满足f'(x)＜g'(x)，则f(x)与g(x)的关系是 A.必有f(x)＞g(x) B.必有f(x)＜g(x) C.必有f(x)=g(x) D.不能确定大小 14.曲线y=x2+5x+4在点(-1，0)处切线的斜率为（　　） A.A.2 B.-2 C.3 D.-3 15.设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)，则在(0，1)内曲线y=f(x)的所有切线中( )． A.A.至少有一条平行于x轴 B.至少有一条平行于y轴 C.没有一条平行于x轴 D.可能有一条平行于y轴 16.微分方程y'+y=0的通解为y= A.e-x+C B.-e-x+C C.Ce-x D.Cex 17. 18. 19.设f'(x0)=1,则等于( )． A.A.3 B.2 C.1 D.1/2 20.方程x2+2y2-z2=0表示的曲面是 A.A.椭球面 B.锥面 C.柱面 D.平面 二、填空题(20题) 21. 设y=f(x)可导，点xo=2为f(x)的极小值点，且f(2)=3．则曲线y=f(x)在点(2，3)处的切线方程为__________． 22.  23.  24.  25. 26.  27. 28. 29.  30. 31. 设y=lnx，则y'=_________。 32.已知当x→0时，-1与x2是等价无穷小，则a=________。 33. f(x)=sinx，则f"(x)=_________。 34.  35.  36. 37.微分方程y"-y'-2y=0的通解为______． 38. 39.  40. 三、计算题(20题) 41. 42.  43.当x一0时f(x)与sin 2x是等价无穷小量，则 44.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几? 45.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解． 46.  47.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点． 48. 求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值． 49.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为 S(x)． (1)写出S(x)的表达式； (2)求S(x)的最大值． 50. 51.  52.证明： 53. 将f(x)=e-2X展开为x的幂级数． 54.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0． 55.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度 u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m． 56. 57. 求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程． 58. 59. 求曲线在点(1，3)处的切线方程． 60. 求微分方程的通解． 四、解答题(10题) 61. (本题满分8分)  62.  63.判定曲线y=3x3-4x2-x＋1的凹向． 64. 65.  66.  67. 68. 69.在曲线y=x2(x≥0)上某点A(a，a2)处作切线，使该切线与曲线及x轴所围成的图形的面积为1/12．试求： (1)切点A的坐标((a，a2)． (2)过切点A的切线方程． 70. 五、高等数学(0题) 71. 六、解答题(0题) 72.求，其中区域D是由曲线y=1+x2与y=0，x=0，x=1所围成． 参考答案 1.B 2.D A，∫1+∞xdx==∞发散； 3.A 4.B 本题考查的知识点为交换二次积分次序． 由所给二次积分可知积分区域D可以表示为 1≤y≤2，y≤x≤2， 交换积分次序后，D可以表示为 1≤x≤2，1≤y≤x， 故应选B． 5.A解析： 6.B 因为D：x2+y2≤a2，a＞0，y≥0，令则有r2≤a2，0≤r≤a，0≤θ≤π，所以(x2+y2)dxdy=∫0πdθ∫0ar2.rdr=∫0πdθ∫0ar3.rdr故选B。 7.A 8.D 9.D 特征方程为r2-2r+1=0，特征根为r=1(二重根)，f(x)=xex，α=1为特征根，因此原方程特解y*=x2(Ax+B)ex，因此选D。 10.B解析： 11.D 南微分的基本公式可知，因此选D． 12.D解析： 13.D解析：由f'(x)＜g'(x)知，在(α，b)内，g(x)的变化率大于f(x)的变化率，由于没有g(α)与f(α)的已知条件，无法判明f(x)与g(x)的关系。 14.C 点(-1，0)在曲线y=x2+5x+4上．y=x2+5x+4，y'=2x+5，由导数的几何意义可知，曲线y=x2+5x+4在点(-1,0)处切线的斜率为3，所以选C． 15.A 本题考查的知识点有两个：罗尔中值定理；导数的几何意义． 由题设条件可知f(x)在[0，1]上满足罗尔中值定理，因此至少存在一点ξ∈(0，1)，使f'(ξ)=0．这表明曲线y=f(x)在点(ξ，f(ξ))处的切线必定平行于x轴，可知A正确，C不正确． 如果曲线y=f(x)在点(ξ，f(ξ))处的切线平行于y轴，其中ξ∈(0，1)，这条切线的斜率为∞，这表明f'(ξ)=∞为无穷大，此时说明f(x)在点x=ξ不可导．因此可知B，D都不正确． 本题对照几何图形易于找出解答，只需依题设条件，画出一条曲线，则可以知道应该选A． 有些考生选B，D，这是由于不明确导数的几何意义而导致的错误． 16.C 17.C 18.B 19.B 本题考查的知识点为导数的定义． 由题设知f'(x0)=1，又由题设条件知 可知应选B． 20.B 21. 22. 解析： 23.0 24.2/3 25. 26.(e-1)2 27.e ；本题考查的知识点为极限的运算． 注意：可以变形，化为形式的极限．但所给极限通常可以先变形： 28. 本题考查的知识点为隐函数的求导． 29. 30.x 31.1/x 32.当x→0时，-1与x2等价，应满足所以当a=2时是等价的。 33.-sinx 34.1 35. 36.1 37.y=C1e-x+C2e2x 本题考查的知识点为二阶线性常系数微分方程的求解． 特征方程为 r2-r-2=0， 特征根为 r1=-1，r2=2， 微分方程的通解为 y=C1e-x+C2ex． 38.0 39.3x+y-5z+1=03x+y-5z+1=0 解析： 40.12dx+4dy． 本题考查的知识点为求函数在一点处的全微分． 41. 42. 43.由等价无穷小量的定义可知 44.需求规律为Q=100ep-2.25p ∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p, ∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％ 45.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0， 46. 由一阶线性微分方程通解公式有 47. 列表： 说明 48. 函数的定义域为 注意 49. 50. 51. 则 52. 53. 54. 55.由二重积分物理意义知 56. 57. 58. 59.曲线方程为，点(1，3)在曲线上． 因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0． 如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点 (x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为 60. 61. 本题考查的知识点为曲线的切线方程． 62. 63.解 64.本题考查的知识点为计算二重积分；选择积分次序或利用极坐标计算． 积分区域D如图2—1所示． 解法1利用极坐标系． D可以表示为 解法2利用直角坐标系． 如果利用直角坐标计算，区域D的边界曲线关于x，y地位等同，因此选择哪种积分次序应考虑被积函数的特点．注意 可以看出，两种积分次序下的二次积分都可以进行计算，但是若先对x积分，后对y积分，将简便些． 本题中考生出现的较普遍的错误为，利用极坐标将二重积分化为二次积分： 右端被积函数中丢掉了r，这是考生应该注意的问题．通常若区域可以表示为 65. 66. 67. 68. 69.由于y=x2，则y'=2x，曲线y=x2上过点A(a，a2)的切线方程为y-a2=2a(x-a)，即y=2ax-a2，曲线y=x2， 其过点A(a，a2)的切线及x轴围成的平面图形的面积  由题设S=1/12，可得a=1， 因此A点的坐标为(1，1)． 过A点的切线方程为y-1=2(x-1)或y=2x-1． 解析：本题考查的知识点为定积分的几何意义和曲线的切线方程。 本题在利用定积分表示平面图形时，以y为积分变量，以简化运算，这是值得注意的技巧。 70. 71. 72.积分区域D如图1-4所示。 D可以表示为 0≤x≤1，0≤y≤1+x2 本题考查的知识点为计算二重积分，选择积分次序。 如果将二重积分化为先对x后对y的积分，将变得复杂，因此考生应该学会选择合适的积分次序。